Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара (1061797), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Для решения полученной системы уравнений могут быть использованы оба указанных выше способа. Непосредственное решение. Для применения первого способа необходимо предварительно разложить периодические возмущающие моменты в ряды Фурье. После этого уравнения (1Ч.89) решаются несколько раз — отдельно для каждой гармоники возбуждения. Это приводит к ряду однотипных частных задач, каждая нз которых требует анализа действия возмущающих моментов одинаковой частоты за: Л1„(1) = М, з1п за1; М„. (1) = М, з1п зв1; (1Ч.
90) Л4„, (1) = М„з(п ио1. При этом стационарные колебания будут происходить с частотой возбуждения: ср, = а, з1п зсв1; ср,, — а,, зш яв1; (1Ъ'.91) ср„== а„зш эсо1. 254 Подставив выражения (1Ч.90) и (1У.91) в уравнения (1Ч.89), получим систему алгебраических уравнений — — 7,я'0)'а, — с, (а, — а,) = М„; 1.,э'и'а., 1- с, (а, — а,) — с,, (а, — а.,) =- М,,; (1Ъ'.92) — 7„э'в'а„-,'— с„, (а„— а„,) = М„,. Решая эту систему, находим амплитуды а„а„..., а„, а затем и крутящие моменты в сечениях вала: с, (а, а,) — — па первом участке, с, (а, — а.,) — на втором участке и т. д. При решении системы алгебраических уравнений (1Ч.92) целесообразно использовать особенности ее цепной структуры, поскольку в каждое из уравнений входит не более трех неизвестных.
В литературе можно встретить ряд рекомендаций по упрощению процесса вычислений (способы динамических жесткостей, цепных дробей и др.). В частности, возможна следующая модификация способа Хольцера — Толле. Если сложить первые 1 уравнений (1Ъ'.92), то аналогично системе (11.154) получится 1 с;(а;„— а;) = — э2о' ~,(„а~ — ~, М~ ° (1Ч.93) 1=1 /г=1 Каждое такое соотношение выражает равенство крутящего момента в сечении 1-го участка вала (левая часть) сумме моментов сил инерции и впепших моментов всех расположенных слева дисков (правая часть); разумеется, здесь речь идет об амплитудных значениях всех упомянутых величин. Из выражения (1Ч.93) следует формула, подобная выражению (11.155): а„,=- — — э'а' ~ 1„а + ',~~ М~ + а,.
(1У.94) ~+1 с,. 4=1 2 — 1 При изложении этого способа в задаче о свободных колебаниях отмечалось, что амплитудой колебаний первого диска можно произвольно задаться и что искомой является частота. В рассматриваемой задаче о вынужденных колебаниях нужно считать частоту о известной и принять за основную неизвестную первую амплитуду а,.
Последовательно принимая ~ = 1; ~' =- 2,..., можно из формулы (1У.94) выразить сначала а., через а„затем а,, через а, и т. д. Последняя формула системы уравнений (1Ч.92) позволит определить неизвестную а„ после этого легко вычисляются остальные амплитуды.
Указанные выкладки обычно выполняют в табличной форме. В принципе все эти выкладки сравнительно просты, но не следует забывать, что они должны быть повторены для'всех важнейших гармонических составляющих возмущения.' Расчет обычно осложнен тем, что число гармоник довольно велико. Следующий пример дает представление об относительной важности различ- 25;) ных гармоник возмущения в частном случае одного четырехтакт- ного двигателя внутреннего сгорания: Номер составляющей .. ! 2 3 4 5 б 7 8 9 10 Амплитуда составл яюпсейс 2,38 2,69 2,65 2,31 1,95 1,64 1,01 0,76 0,59 0,47 срс = са 1 ап1т + ата1а + ' ' ' + ас, а тса т сра =1а ~~ аассст ~ аа~1а+ ' ' ' + аа, (1Ч.95) сР„= ~, —; а„1, + а„.,~а+ .. + а„а,~„,. Тогда для 1-й функции 7', можно получить дифференциальное урав- нение типа (1Ч.87): А4;а„+ М,а,с — ' + Л4„а„; К -~- Рс1'— а„,7 + аа,7а+ ° — 'а„,.7„ (1Ч.96) При помощи таких уравнений задача о колебаниях системы с п степенями свободы заменяется п простыми задачами о колебаниях системы с одной степенью свободы.
Каждая из таких задач решается при помощи методов, рассмотренных в п. 18. При практическом расчете крутильных колебаний валов существенными оказываются решения, соответствующие первым двум-трем собственным формам колебаний. Это значит, что достаточно решение двух-трех уравнений типа (1Ъ'.96) для с = = 1; 2; 3. Ввиду того что угловая скорость вращения вала может меняться в процессе эксплуатации, частоты возбуждения со, =- зсо непостоянны; опи меняются вместе с изменением режима враще- 256 Как видно, амплитуды гармоник убывают очень медленно, и в данном случае в расчете нужно учесть не менее 13 — 15 гармоник.
. Однако разложение возмущающих моментов в ряде Фурье необязательно, если решение находится при помощи следующего способа. Разложение решения по собственным формам колебаний. Этот способ требует предварительного расчета частот и форм свободных колебаний, после чего определение вынужденных колебаний становится сравнительно простым. Обоснование расчетного способа совпадает с данным выше. Будем считать, что известны как собственные частоты р„ р„..., р„„так и соответствующие собственные формы колебаний (т.
е. отношения амплитуд а„, а„,..., а„, первой собственной формы, а„, а„,..., а„, второй собственной формы и т. д.). Введем новыс функции 1, (1), ~, (1),..., ~„, (1), связанные с функциями сР, (1), сРа (1),..., ср„(1) следующим образом: ния. При этом становится реальной возможность совпадения частоты какой-либо гармоники возмущения с одной из собственных частот.
В случае такого совпадения система оказывается в резонансном режиме и в расчет амплитуд колебаний следует ввести силы неупругого сопротивления. Полное решение задачи (даже в простейшем предположении о вязких свойствах сил трения) оказывается очень громоздким, поэтому практические расчеты производят приближенными способами. Основное упрощение состоит обычно в том, что форма колебаний при резонансе принимается совпадающей с соответствующей собственной формой, определенной без учета сил затухания. Пусть, например, одна из гармоник возмущающей силы имеет частоту со„равну|о 1-й собственной частоте.
Тогда в расчете колебаний учитывается только ~-я собственная форма, и если затухание носит вязкий характер, то вместо уравнения (ГЧ.96) полу- чится ~; — , .'2п;~; -~- р',,~; = Я, з1п р, 1, где и, — коэффициент затухания (зависящий от номера резонирующей гармоники); Я; — приведенная амплитуда возмущающей силы. Это уравнение по смыслу совпадает с уравнением (1Ъ'.29). Согласно формуле (1Ъ'.32) резонансная амплитуда в данном случае а" = 2пр; После вычисления резонансного значения а'"' следует образовать резонансные значения амплитуд углов поворота; при помо ци формулы (ГЧ.95) получим (в каждой строке опущены как малые все слагаемые, кроме 1-го) Уравнения изгибных колебаний балок (17.97) Р(1) = Р,„,з1па1, где Р~ — амплитуда силы; а — ее частота.
257 17 я. Г. Пвновко Исследование вынужденных колебаний многомассовых систем, подобных изображенной на рис. 11.11, можно вести любым из способов, указанных выше. Если возмущающие силы заданы в виде одной-двух гармоник, то предпочтительнее первый способ, не требующий предварительного исследования свободных колебаний. Допустим, что на Й-ю массу многомассовой системы действует возмущающая сила Тогда в уравнениях (11.157) появятся дополнительные слагаемые, соответствующие этому виду возбуждения: д, = — т,д,б„— твд,б„— — тпд„б,„+ Р»б1» з(п со/; дз = гпгдгбгг — т дзбвв ' ' ' т~д бвл + Р»бе»з!прог' ~ (1з/ 98) д„= — т,д,б„, — тгдзб„з — — т,дпб„„+ Р»бп» э!и со/.
Стационарная часть решения имеет вид д,= а,а!поз/; д, = а,з)поз/; (1Ч.99) д„= а„з)п оз1. Подстановка выражений (1Ч.99) в уравнения (1Ч.98) приводит к системе уравнений, служащих для определения амплитуд колебаний а„а„..., а,,: (1 — т,го'б~) а, — т,юзб1за, — — тп<озб,ьаь — — Р„б1»; тгсо б2г + (1 тзо1 бзз) а. ' . — т„го бз„а„=- Рпбг»' (11/. 100) — т,ьззб„аг — тзсоиб„,а, — — + (1 т„гоаб„п) а = Р„б„», В этих уравнениях известны все коэффициенты (массы т;, перемещения б,:», частота оз), и для определения п амплитуд нужно решить полученную систему а алгебраических уравнений. Пример 25.
Р/а среднюю массу системы (рис. /Ъ'.43, а) дейспгвует возмущаюи1ая сила Р з1п ь|. Определить амплип1уды перемещений всех масс и построить эпюру динамических изгибаюи!их люменисов. Моменгп инерции поперечного сечения балки / =. 35 520 смв; модуль упругости материала балки Е .= 2,1 Х Х!Св кгс/смз; пролет балки 1 =- 4СО см; вес груза (г =- 4000 кгс; масса т = = С!/у — 4,08 кгс с /см; амплитуда возмущающей силы Р =- 600 кгс; астота возмущающей силы ю — 100 с ~.
Для определения единичных перемещений воспользуемся выражениями, приведенными в примере 12, и вычисляем !з 400з 9 1296Р,/ 9 1296 2 1 10ь' 35520 6 г 1 5зз 75» = — 5,53 1 С см/к ге; 6з з = 243/г = 1 7,92 1 О см/кгс; 5з1 51з бзз бзз 1 17 г = 8,64 10 см, кгс; 5,з = 5з1 —— — 51» = 3,76. 10 в см/кгс. Уравнения (1Ъ'.100) принимают вид (1 — 4,08.5,53 10 в 1Св) а — 4,08 8,64.
10 в 1Сваз— 4 08. 3 76. 10-в. 10ваз = 600 8 64. 10-в. 4 08.8 64.10-в.!Сваг + (1 — 4,08.17 92.10-в,10в) аз— — 4,08. 8,64 10-в. 10ваз = 600' 17 92 1О в' 4 08. 3 76 ° 10-в. 1Сва — 4,08 8 64 . 10-в. 104аз -1- + (1 — 4,08 5,53 !О-е.104) аз = 600'8 64'10 в. 258 Решая эту систему уравнений, получаем п, = па = — 0,064 см и аз —— = — 0,128 см. Наиденные амплитуды колебаний более чем в 10 раз превосходят величины соответствующих статических перемешепий: Одст = Паст = Раб|э = 600' 8,64' 10 в — ' 0,0052 см; у.„т = Ра622 = 600 17,92.10 ' — 0,0107 см, что объясняется близостью частоты возбуждения к собственной частоте р,, Действительно, пользуясь данными, полученными в примере 12, находим, что первая собственная частота незначительно отличается от частоты ес Рз~пмА 5,692 т /' Е/ Р~— 5,692 17г 2,1 1ба 35 520 400 $ 4,08 400 = 96,3 с 'т.
Для построения эпюры динамических изгибающих моментов нужно рассмотреть нагружение скелета балки амплитудными значениями возмущающей силы и сил инерции та,оз', развиваемых сосредоточенными массами (рис. 1Ч 43, б), При этом следует учесть, что инерционные силы находятся в фазе, противоположнол заданному возмущению (так как ы .> и,). Подсчет дает: тариг г 3ОО О тигш г тгт< ш поксс-см ксс та,ез' =- — 2610 кгс; таэьзз = = — 5220 кгс; таз оза — — 2610 кгс.
Рис. !Ъ'.43 Динамические гасители колебаний Вернемся к схеме на рис. 1Ч.41 и рассмотрим решение (1Ч.79) в случае, когда возмущающая сила действует только на первую массу, т. е. Р,+О; Р,=О: Р, (с, — т,ш'-) (с, — се — т,шз) (сэ — т,юэ) — й ' Р,с, (с, ! с. — т,ыз) (с. — т,гвэ) с1 Из этих формул видно, что в частном случае, когда (1Ч.101) гн сов О 259 Эпюра моментов, соответствующая указанному нагружешпо, показана на рнс. 1У.43, в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
