Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара (1061797), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Для сравнения на рис. !Ч.43, з приведена эпюра изгибающих моментов, возникающих в условиях статического нагружения той же балки силой 600 кгс (обе эпюры соответствуют дополнительному нагруженню к чисто статическому нагружению силами тЯ, амплитуды а, и а, получают следующие значения: (17.102) а,=0; а, = — Р,~с,, т. е.
первая масса остается неподвижной, хотя именно к ней приложена возмущающая сила (антирезонанс). Этот любопытный результат положен в основу устройства динамического гасителя колебаний (виброгасителя). Пусть, например, имеется система (рис. 1Ч.44, а), испытывающая действие возмущающей силы Р з1п в1.
Чтобы погасить колебания этой системы, достаточно присоединить к ней дополнительную массу на упругой связи (рис. 1Ъ'.44, б), подчинив параметры присоединяемой системы условию (1Ч.101). Тогда колебания основной массы исчезнут, а амплитуды колебаний дополнительной массы определяются второй из формул а) Рипа $ ~) Рис. 1Ъ'.45 Рис. 1Ъ'.44 (1Ъ'.102).
Такая дополнительная масса играет роль динамического гасителя колебаний (виброгасителя) для основной массы. Идея этого устройства нашла разнообразное практическое применение, в особенности в тех случаях, когда частота возбуждения достаточно стабильна, Если это условие не соблюдено, то возникают опасности появления резонансов полученной системы с двумя степснями свободы. Для того чтобы избежать появления значительных амплитуд колебаний при возможных изменениях частоты возбуждения, в систему гасителя обычно вводятся демпфирующие элементы (рис. 1Ч.44, в).
Существует ряд конструкций виброгасителей для станков. На рис. 1Ч.45 показана одна из схем виброгасителя для расточных и токарных станков. Здесь 1 — груз гасителя; 2 — тарельчатые шайбы, служащие упругим элементом; 3 — центральный стержень, который ввертывается в вибрирующее звено станка (резец или расточная оправка); 4 — гайка. В этой схеме демпфирование создается трением тарельчатых шайб.
В некоторых системах виброгасителей станков для целей демпфирования используется сухое или вязкое трение или эффект удара (в последнем случае образуется система, близкая к показанной на рис. 1Ч.34, в). 260 Для того чтобы виброгаситель был способен гасить колебания с некоторой заданной частотой н, нужно, чтобы его параметры удовлетворяли условию (1Ч.101), т. е. Р2 ®> (1Ч. 103) где р., = 1' с„~т,.
— «парциальная» частота гасителя, т. е. его собственная частота, определяемая при неподвижности основной массы системы. Тот же принцип может быть применен и для гашения крутильных колебаний. Малый дополнительный диск может при надлежащей настройке служить динамическим гасителем крутильных колеоаний двухмассовой системы (рис. 1Ъ'.46). Если необходимо исключить колебания основной системы, подверженной возбуждению частоты о, то, как следует из формулы (1Ч.103), собственная частота гасителя р„подсчитанная при неподвижности точки его крепления, должна быть равна частоте о, т.
е. Рис. 1Ъ'.4б 1 с~'7 =ю, где с — коэффициент жесткости вала гасителя; 1 — полярный момент инерции массы диска гасителя. Очевидно, что настроенный на одну определенную частоту дополнительный упруго прикрепленный диск окажется гасителем колебаний только этой частоты, а при других частотах возбуждения может оказаться неэффективным или даже стать причиной резонанса. Это особенно важно для валов двигателей внутреннего сгорания, поскольку с изменением частоты вращения пропорционально меняется и частота возбуждения. Поэтому в подобных случаях желательно обеспечить гаситель следящей настройкой, чтобы при изменении частоты возбуждения соответственно менялась и собственная частота гасителя. Так как упругое крепление дополнительного диска не в состоянии обеспечить следящую настройку, то для гашения колебаний вращающихся валов применяют м а я т н и к о в ы е г а с и т е л и.
В п. 4 было показано, что маятник, подвешенный к вращающемуся диску, имеет собственную частоту, пропорциональную угловой скорости вращения: р = о1' И/1, (1Ч.104) где Й вЂ” расстояние от центра диска до точки подвеса маятника; 1 — длина маятника. С другой стороны, в.двигателях внутреннего сгорания частота всякой гармоники возбуждения также пропорциональна угловой скорости вращения ь. Поэтому такой маятник может служить динамическим гасителем колебаний, вызываемых одной определенной гармоникой при любой скорости вращения. 2б! В первую очередь должна быть устранена наиболее опасная гармоника, Пусть, например, решено исключить колебания, вызываемые гармоникой возбуждения, имеющей частоту За.
Тогда из формулы (1Ъ'.104) следует а 1' К// = За, т. е. й/1 = 9. Для гашения колебаний, вызываемых какой-либо иной гармоникой, потребовалось бы иное отношение Я//. Так как размер Я ограничен, то величина 1 оказывается очень малой; это делает затруднительным конструктивное оформление маятника, показанного на рис. 11.8. Однако в системе двойного подвеса маятника (см.
рис. 11.9) согласно формуле (11.17) расчетная длина / может быть сделана сколь угодно малой; для этого нужно лишь соответственно уменьшить разность между диаметрами роликов и отверстий. Хотя изложенное выше предполагает линейный характер колебаний, но линейность системы не следует считать условием успешного гашения колебаний.
Напротив, нелинейность, появляющаяся при больших колебаниях маятника, дополнительно способствует гашению колебаний. 2Э. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ Указанные в и. 22 два способа решения задачи о вынужденных колебаниях систем с несколькими степенями свободы пригодны и для анализа колебаний систем с распределенной массой. Выбор способа подсказывается характером возмущающих сил: при гармоническом возмущении удобнее первый способ, а при произвольна заданном возмущении — второй. Уравнение продольных колебаний стержней Гармоническое возбуждение; непосредственное решение. Рассмотрим случай, когда стержень испытывает действие одной сосредоточенной продольной силы, изменяющейся по гармоническому закону Р = — Р, з1п а/.
(1Ч.105) Стационарные вынужденные колебания происходят с частотой возбуждения и, следовательно, описываются законом и (х, 1) = (/ (х) з1п а /, (1Ч. 106) где 1/ (х) — подлежащая определению функция абсциссы (форма вынужденных колебаний). Для элемента стержня (см. рис. 11.49, в) получим уравнение (11.180); подставив в него выражение (1Ъ'.106), придем к обыкновенному дифференциальному уравнению для функции 1/ (х): (1Ч.107) где с' определяется формулой (11.181). 262 Уравнение (1Ч.107) отличается от уравнения (11.184) для формы свободных колебаний тем, что частота ж заранее известна.
Подобно выражению (11.186) решение уравнения (1Ъ'.107) запишем в виде го, го (7 = С 51п — х + В соз — х. с с (Ю.108) Постоянные С и 1л должны быть определены из граничных условий, которые формулируются следугощнм образом. 1.
Закрепленный конец стержня. В этом случае и=-0 при любом 1; это требует, чтобы в данном сечении 17 = О. 2. К концу стержня приложена возмущающая сила (1У.105). Она должна быть равна продольной силе в концевом сечении. Согласно формуле (11.178) имеем Л' = ЕР—. =- ЕГ1)'з)па1. ди дх (17.109) Приравняв выражения (17.105) и (1Ч.109), получим граничное условие ЕР ' (1Ч.110) "'ого (7о = 17о ЕР Пример 26.
Определить амплитуду колебаний конца стержня, к которому приложена возмущающая сила Р =- Р, в)п гоб Другой конец стержня закреплен. Совмещая начало координат с закрепленным концом, имеем граничные условия: У= О при х= О; 1/' = прн х — Е Подставив это в решение (Ю.108), Р, ЕР получим Рч го со ЕР— сов — 1 с с Следовательно, амплитуда колебаний конца стержня (17.111) 3. Конец стержня свободен от нагрузки. Согласно формуле (1Ч.110) У' = О. 4. На конце стержня имеется сосредоточенная масса т,. Развиваемая ею сила инерции — т,ио = т,го'(7о 81п в1 (здесь ив и Уо — величины, относящиеся к точке прикрепления массы то) ди должна быть Равна пРодольной силе Уо —— — ЕŠ— = Етс(7е з1п а1. дх Следовательно, Ы При весьма малой частоте (т.
е. при медленном изменении силы Р) 1я— ь)1 = — и формула (1~г.1! 1) преобразуется в выражение статического перемещения с У (() = — ", . Р„( ЕЕ Прн ьг1/с = сг2, т. е. когда ьг — пс/(21), амплитуда (У (1) обращается в бесконечность, что соответствует резонансу, прн этом частота ог равна низшей собственной частоте. Резонанс с высшими частотами соответствует частотам возбуждения гсс ьг = — (2а -'-!) (гг =-- 2; 3 ...).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
