Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара, страница 53

Ъ'П.5, а) не нарушает соотношений (ЧП.6), потому что за нулевое время соударения координаты точек системы не изменяются и реакции в упругих связях не возникают. Конечно, дальнейшее после- ударное движение будет происходить по-разному, в зависимости от наличия или отсутствия упругих связей. Соотношения (И1.6) сохраняются и в тех случаях, когда в системе есть вязкие элементы "' Для понятия, которое здесь определено как мгновенный ударный импульс, некоторые авторы пользуются терминами «сила удара» или «ударная сила».

Но при этом получается, что «сила» измеряется в единицах импульса, н возникает неудобство, сходное с тем, которое в свое время возникало из-за неудачного термина «живая сила». 20» ЗО? (И1.8) ~А ~ ~в~ 1~(~А о ~во) изменив знак в правой части. Можно было считать последнее соотношение вполне общим, охватывающим как случаи пробивания (й > 1), так и случаи отскока (А < 1), т.

е. отойти от традиции и считать коэффициент восстановления при отскоке отрицательным. В практических задачах, конечно, не ограничиваются определением послеударных скоростей по формулам (Ч!!.6), а находят окончательные эффекты соударсния из условий послеударного движения. Рассмотрим в качестве типичного примера случай удара двух тел А и В, показанных на рис. Ъ'11.5, а. Для того чтобы найти наибольшее обжатие пружины, нужно прежде всего найти скорость тела В, которую оно приобретает сразу после соударения; согласно второй формуле (У11.6) она равна (1 + /г) ~в~ = "Ао 7л„+ шв 308 (см., например, рис. Ч!1.5, б). Хотя при ударе в этом случае мгновенно возникают реакции в вязких связях, но они имеют конечные значения (поскольку скорости конечны), и, следовательно, их импульс за нулевое время удара равен нулю.

Условность изложенного представления об ударе очевидна. Основное соотношение (Ъ'11.5) есть, в сущности, произвольное допущение и, как теперь твердо установлено, не отражает истинных закономерностей: в действительности относительная скорссть после удара не пропорциональна относительной скорости перед ударом. Тем не менее до сих пор в практике нередко пользуются предложением Ньютона, достоинством которого является большая простота.

Однако нужно всегда иметь в виду, что значения коэффициента восстановления, полученные в определенных условиях эксперимента, — можно лишь с осторожностью приК10 % менять для других условий. Выше мы считали, что соударение завершается отскоком тел и что их относительная скорость вследРис. Ч!1.6 ствие удара меняет знак. Однако существуют случаи, в которых соударение завершается не отскоком, а пробиванием одного тела другим (рис. И1,6).

В этих случаях относительная скорость вследствие удара меняется по величине, но сохраняет прежний знак. Для задач о пробивании также можно ввести понятие о коэффициенте восстановления, но вместо соотношения (Ч11.5) принять Теперь можно найти кинетическую эпергшо этого тела в первый послеударный момент: 2 2 2 Т вЂ” —— тв"в1 тАтв (1 И "Ао (И1.9) 2 2(т ~+ тв) Приравняв найденную величину наибольшей потенциальной энергии пружины с/Ч2, найдем искомое обжатие пружины т, (1-~А)о / т А+ В Часто в подобных случаях предполагают, что соударение абсолютно неупругое и происходит слипание ударяющего тела с ударяемым.

В этом случае по формулам (И1.6) получается т Св 1 ~А 1 ВА о тА+тв и кинетическая энергия в первый вается равной Т ( А+ Л) В1 послеударный момент оказы- 2 2 А АО (Ч11.1О) 2 (тА — ', тв) Приравняв ее наибольшей потенциальной энергии пружины, найдем для максимального обжатия пружины выражение А АО ГА -~- -В) В таком расчете неявно предполагается, что допущение й = О направлено в запас, так как кинетическая энергия определяется пе ДлЯ массы тв, а ДлЯ сУммаРпой массы тА + тв. Но в Действительности такой расчет может привести к приуменьшению эффекта удара, а не к его преувеличению.

В самом деле, отношение выражений (Ъ'П.10) и (Ъ'П.9) тА+тв т, Г тв (1+ ~)Я может быть и больше и меньше единицы — это зависит от значений коэффипиента восстановления и отношения масс тА/тв. 1) Т,./Т >1 при тА/тв>А+А~; 2) Т,/Тс 1 при тА/тв(21+У. Таким образом, часто принимаемое предложение о том, что удар является абсолютно неупругим, может привести к недооценке последствий удара.

Нужно отметить, что во многих случаях удар представляет собой серию повторных соударений, и это должно быть учтено при определении деформации упругих связей. Возвращаясь 309 к рис, Ъ'11.5, а и рассматривая первую из формул (П1.6), замечаем, что если т~(тв > А, то после удара груз А хотя и потеряет скорость, но все же будет продолжать двигаться вправо (равномерно). При этом груз В, приобретший мгновенно начальную скорость вв „станет двигаться замедленно, так что после промежутка времени, удовлетворяющего равенству св1 пл11 = — з1п Р1, Р произойдет повторное соударение.

Если упругая связь имеет небольшую жесткость и продолжительность процесса обжатия достаточно велика, то произойдет несколько таких соударений, пока груз А полностью не потеряет скорость. Точно так же при падении груза по вертикали груз по прошествии некоторого времени после отскока вновь упадет на упругую конструкцию и возникает длинная серия повторных ударов. 34. УЧЕТ МЕСТНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ ПРИ УДАРЕ (И1.11) Это — формула статической теории упругости (формула Герца); она отражает нелинейную зависимость между силой и сближением тел.

В частности, если выступы имеют сферическую форму, то где Š— модуль упругости материала; р — коэффициент Пуассона; Я, и Й, — радиусы сферических поверхностей. При таком подходе к решению задачи она приобретает полную определенность. Но в отличие от способа, предложенного Ньютоном, дополнительное соотношение, необходимое для составления 3!О Представление о мгновенности акта соударения, принимаемое в предложенной Ньютоном упрощенной схеме удара, не позволяет определить силы взаимодействия между соударяющимися твердыми телами — формально эти силы получаются бесконечно большими. Для того чтобы хотя бы приближенно найти силы ударного взаимодействия, часто пользуются следующей схемой.

Если соударяющиеся тела имеют выступы, то считают, что деформации при ударе возникают только в зоне этих выступов, а так как соответствующие объемы материала относительно весьма малы, то можно пренебречь массой деформируемых объемов. В таком случае связь между силой Р и сближением х соударяющихся тел можно принять такой же, как и при статическом нагружении, и если начальное касание тел осуществляется в одной точке, а расстояния между поверхностями тел вблизи этой точки описываются уравнением второго порядка, то Р = рх"'. полной системы уравнений, формулируется с помощью деформационных соображений. Рассмотрим соударенис двух тел со сферическими выступами. Будем отсчитывать координаты центров тяжести тел х~ и х~ от состояния, соответствующего моменту первого контакта„и совместим начало отсчета времени с этим моментом.

В таком случае сближение центров тяжести тел в процессе соударения определяется выражением х = х~ — хя. (И1.12) Уравнения движения обоих тел в этом процессе записываются в виде т,х, = — Р (х); т,х, = Р (х). (Ъ'1 1. 13) Исключив из этих уравнений координаты х, и х, с помощью равенства (У11.12), приходим к следующему уравнению: Р (х) х= —— 713 Здесь т = т,т,/(и, + ~и.,) — приведенная масса системы. Первое интегрирование дает (ср. со стр.

71 — 72) х — х' = — — 1 Р (4 ых -~- о. 1 . 1 о (ЧИ.14) Для определения постоянной С воспользуемся начальным условием; в начальный момент процесса (когда 1 =- О) относитель- ная скорость тел равна о„ вЂ” ~„; обозначив эту скорость через о„ находим, что постоянная интегрирования С равна оо,2 и, 2~ следовательно, х 2 х — ~о= — — ~ Р(х) пх. гл о (И1.15) Худа 2 à — — ) Р(х) йх= во. о Пользуясь выражением (Ъ"11.11), имеем п~ах ~ Рх дх= —,р, '~,'„. о З11 Из (У!1,15) можно найти наибольшее сближение тел и наибольшую ударную силу. Для этого нужно учесть, что в момент наибольшего сближения относительная скорость равна нулю (х = = О) и, следовательно, Следовательно, 1 ~"'оо (И1.16) Отсюда следует ~п>ах о х 2 о Р(х) Ых 0 о, о Подставляя сюда (И1.11), находим с учетом (Ч11.16) т= 2,943 — од ~ . (Ъ'11.18) Здесь учтено, что поскольку материал соударяющихся тел абсолютно упругий, то при разжатии контакта процесс будет повторяться в обратном порядке, так что продолжительность этапа разжатия равна продолжительности этапа сжатия.