Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара, страница 54

35. ВОЛНОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ ПРИ УДАРЕ Если при решении задач об ударе полностью учитывать деформационные и инерционные свойства соударяющихся тел, то чаще всего возникают большие вычислительные трудности. Рассмотрим лишь простейшую задачу этого типа — внезапное приложение сжимающей силы к торцу призматического стержня (рис. Ъ'11.7).

В первый момент сила Л' вызовет сжатие бесконечно малого элемента, непосредственно примыкающего к торцу. Это сжатие передается следующему элементу и т. д., причем этот процесс будет постепенно (не мгновенно) развиваться во времени. В любой момент процесса сжатой будет лишь некоторая часть длины стержня (она заштрихована на рисунке), тогда как остальная часть еще не испытывает сжатия. Обозначим через с скорость, с которой распространяется деформация сжатия вдоль оси стержня. Тогда с1 есть длина сжатого участка стержня в момент времени 1. Считая, что материал стержня подчиняется закону Гука, найдем, что 312 Соответствующее (наибольшее) значение ударной силы составляет г 2 3/Б Р „=- рх'~,.

= р~ ' (И1.17) Продолжительность соударения можно найти при помощи второго интегрирования: л~ укорочение сжатой части равно —.с1. Но это выражение также ЕЕ определяет перемещение торца стержня в рассматриваемый момент времени. Следовательно, скорость движения торца определяется выражением Л'с 0 —— ЕР (711.19) С этой скоростью движутся все частицы, принадлежащие сжатой части, причем, конечно, скорость и во много раз меньше скорости с. Составим уравнение количества движения. Количество движения стержня в момент времени 1 равно импульсу силы У за время 1; рГис1 =- Л~1. (Ъ'11.20) Рис.

7!1.7 Здесь рГс1 — масса сжатой части; рГос1 — ее количество движения, Из соотношений (Ч11.19) и (И1.20) находим скорость распространения деформации сжатия (скорость волны) с=1 Е/о (711.21) и скорость движения частиц материала 0= (И1.22) Е ~ГЕр ~ГЕР Зту задачу легко обратить и рассмотреть стержень, который первоначально двигался вдоль своей оси с некоторой заданной скоростью о, а затем ударился о жесткую преграду. В такой задаче известно изменение скорости частиц, принадлежащих торцу о, и неизвестным является напряжение о.

Из соотношения (И1.22) находим о = о)/Ер. (Ъ'11.23) Далее можно определить, например, при какой скорости о,ц в сечении стержня достигаются напряжения, равные пределу пропорциональности: ~цц пц ров Если, например, удар происходит вследствие падения стержня на горизонтальную плоскость, то найденному значению скорости соответствует высота падения 2 Оцц й= 2Ещ Например, для стали, принимая Е = 2,1 10' кгсlсм', о,ц„= = 3200 кгс/см', рд = 0,0078 кгс/см', находим 6 = 312 см. При падении стержня с большей высоты в его сечениях возникнут напряжения, превосходящие предел пропорциональности. 3!3 ~~~~~ (й + 1) р1,~и ~ тах — ~ Р~ У 2 (И1.25) и наибольшее сближение соударяющихся тел то' (я + 1) ~~(~+~) П3аХ вЂ” 2р (Ч1!.26) Для второго этапа следует пользоваться законом упругой раз- грузки Р=р(х — х )'4, (Ч11.27) где х, — остаточное перемещение, определяемое из равенства выражений (И1.24) и (И1.27) при х=х,„: х, = х„„„— ( (У11.28) Дальнейшие вычисления могут показать, что в данном случае эффективный коэффициент восстановления 1 8 — 1/3 [( 2)2Я вЂ” ЗР52з+6 ( ~ 1)Я~6 (Я+-1) Р/11 29) Уй т, е.

зависит от скорости, Конечно, изложенное решение очень схематично, так как в реальных условиях невозможно обеспечить, чтобы при ударе все точки торца стержня одновременно коснулись преграды, т. е. неизбежны некоторые перекосы и эксцентриситеты, из-за которых фактические напряжения окажутся больше расчетных. После того как волна сжатия охватит всю длину стержня, начнется постепенная разгрузка сечений — от свободного конца к начальному сечению, пока не исчезнут напряжения во всех сечениях; после этого произойдет отскок стержня. Общая продолжительность удара вдвое больше времени, необходимого для того, чтобы волна сжатия прошла всю длину стержня 1: /,6,„= 2//с = 2/~ р/Е. Например, для стального стержня длиной 50 см время соударения / = 2 1О 4 с.

Теория Герца применима только при малых скоростях соударения, когда развивающиеся в контактной зоне напряжения не превосходят предела упругости. В других случаях нужно исходить из законов пластического деформирования и, в частности, учитывать различие между кривыми напряжение — деформация на двух этапах деформирования (при обжатии и разжатии контакта). Для первого этапа можно пользоваться зависимостью [381 Р=р х' (У11.24) где ~, и з — постоянные, определяемые из опыта.

При этом аналогично (И1.17) получится следующее наибольшее значение ударной силы: СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Алексеев А. М., Сборовский А. К. Судовые виброгаснтели. Л., Судпром- гиз, 1962, 196 с. 2. Алексеев С. П., Казаков А. М., Колотилов Н. Н, Борьба с шумом и вибра- цией в машиностроении. М., «Машиностроение», 1970, 208 с.

3. Ананьев И. В., Тимофеев П. Г. Колебания упругих систем в авиационных конструкциях и нх демпфирование. М., «Машиностроение», 1965, 526 с. 4. Ананьев И. В., Колбин Н. М., Серебрянский И. П. Динамика конструк- ций летательных аппаратов. М., «Машиностроение», 1972, 416 с. 5.

Бабаков И, М. Теория колебаний. М., «Наука», 1965, 560 с. 6. Беляковский Н. Г. Конструктивная амортизация механизмов, приборов и аппаратуры на судах. Л., «Судостроение», 1965, 524 с. 7. Блехман И. И., Джанелидзе Г. Ю. Вибрациоппое перемещение. М., «Наука», 1964, 410 с. 8.

Блехман И. И. Синхронизация механических систем. М., «Наука», 1971, 894 с. 9. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в тео- рии нелинейных колебаний. М., Физматгиз, 1963, 410 с. 10. Быховский И. И. Основы теории вибрационпой техники. М., «Машино- строение», 1969, 364 с. 11. Болотин В.

В. Применение методов теории вероятностей и теории надеж- ности в расчетах сооружений. М., Стройиздат, 1971, 256 с. 12. Бондарь Н. Г. Нелинейные стационарные колебания. Киев, «Наукова думка>, 1974, 212 с. 13. Бутенин Н. В. Элементы теории нелинейных колебаний. Л., Судпром- гиз, 1962, 194 с. 14. Бутенин Н. В. Теория колебаний. М., «Высшая школа», 1963, 186 с. 15. Вейц В. Л. Динамика машинных агрегатов. Л., «Машиностроение», 1969, 368 с. 16. Вейц В.

Л., Качура А. Е., Мартыненко А. М. Динамические расчеты приводов машин. Л., «Машиностроение», 1971, 352 с. 17, Вибрация энергетических машин. Справочное пособие. Под ред. П. В. Григорьева. Л., «Машиностроение», 1974, 464 с. 18. Вожжова А.

И., Захаров В. К. Защита от шума и вибрации на современ- ных средствах транспорта. Л., «Медицина», 1968, 326 с. 19. Вольперт Э. Г. Динамика амортизаторов с нелинейными упругими эле- ментами. М., «Машиностроение», 1972, 136 с, 20. Вульфсон И И., Коловский М. 3. Нелинейные задачи динамики машин.

Л, «Машиностроение», 1968, 282 с. 21. Гаврилов М. Н. Вибрация на судне. М., «Транспорт», !970, 128 с. 22. Гевондян Т. А., Киселев Л. Т. Приборы для измерения и регистрации колебаний. М., Машгиз, 1962, 467 с. 23. Гик Л. Д. Измерение вибраций. Новосибирск, «Наука» (Сиб. отд-ние), 1972, 292 с. 24. Гладких П. А., Хачатурян С.

А. Предупреждение и устранение колеба- ний нагнетательных установок. М., «Машиностроение», 1964, 275 с. 315 25, Гладких П. А. Борьба с шумом и вибрацией в машиностроении. М., «Машиностроение» 1966„100 с. 26. Григорьев Е. Т. Расчет и конструирование резиновых амортизаторов. М., Машгиз, 1960, 160 с. 27. Гладких П. А. Борьба с шулшм и вибрацией в судостроении. Л., «Судостроение», 1971, 176 с. 28. Голоскоков Е.

Г., Филиппов А. П. Нестационарные колебания механических систем, Киев, «Наукова думка», 1966, 336 с. 29. Гольденблат И. И., Николаенко Н. А. Расчет конструкций на действие сейсмических и импульсивных сил. М., Госстройиздат, 1961, 320 с. 30. Гольдсмит В. Удар. М., Стройиздат, 1965, 448 с. 31.

Горошко О. А. Динамика упругой конструкции в условиях свободного полета. Киев, «Наукова думка», 1965, 168 с. 32. Гуров А. Ф. Расчеты на прочность и колебания в ракетных двигателях. М., «Машиностроение», 1966, 456 с. 33. Ден-Гартог Дж. П. Механические колебания. М., Физмгтгиз, 1960, 580 с. 34. Диментберг Ф. М., Шаталов К, Т., Гусаров А. А. Колебания машин. М., «Машиностроение», 1964, 308 с. 35. Дондошанский В. К. Расчет колебаний упругих систем па электронных вычислительных машинах. М.— Л., «Машиностроение», !965, 368 с.

36. Ивоввч В. А. Переходные матрицы в динамике упругих систем. Справочное пособие. М., Машгпз, 1969, 200 с. 37. Ильинский В. С. Вопросы изоляции вибраций и ударов. М., «Советское радио», 1960, 160 с. 38. Инженерные методы исследования ударных процессов, Авт.: Батуев Г. А.

и др. М., «Машиностроение», 1969, 324 с. 39. Инструкция по устранению вредных воздействий вибрации рабочих мест на предприятиях железобетонных изделий. М., Стройиздат, 1962, 76 с. 40. Инструкция по определению динамических нагрузок от машин, устанавливаемых на перекрытиях промышленных зданий. М., Стройиздат, 1966, 131 с. 4!. Инструкция по проектированию и расчету виброизоляции машин с динамическими нагрузками и оборудования, чувствительного к вибрациям. М.„ Госстройиздат, 1956, 55 с. 42. Инструкции по расчету перекрытий на импульсивные нагрузки. М., Стройиздат, 1966, 134 с. 43.

Инструкция по расчету покрытий промышленных зданий, воспринимающих динамические нагрузки. М., Стройиздат, 1967, 88 с. 44. Инструкция по мерам борьбы с вибрационнь|ми воздействиями технологического оборудования при проектировании зданий и сооружений промышленности нерудных строительных материалов. М., Стропиздат, 1968, 111 с. 45. Инструкция по расчету несущих конструкций промышленных зданий и сооружений на динамические нагрузки.

М., Стройиздат, 1970, 288 с. 46. Иориш Ю. И. Виброметрия. М., «Машиностроение», 1964, 772 с. 47. Истомин П. А. Крутильные колебания в судовых ДВС. Л., «Судостроение», 1968, 304 с. 48. Канингхзм В. Введение в теорию нелинейных систем. М., Госэнергоиздат, 1962, 456 с. 49. Карпушин В. Б. Вибрации и удары в радиоаппаратуре. М., «Советское радио», 1971, 344 с. 50.