Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара, страница 47

26, СЛУЧАИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ИЗМЕНЕНИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ НАГРУЗОК Р~=Р созе~ о) 'р~ с,1 |Я Рис. 7.5 система представляет собой результат упрощенной схематизации реального стержня, обладающего распределенными массой и упр у гостью.

Сила Р является параметрической нагрузкой, и, если она неизменна во времени, ее критическое значение можно найти при помощи метода Эйлера. Пусть ~ — угол отклонения стержня от вертикали и с — коэффициент жесткости упругого шарнира. Тогда восстанавливающий момент (момент упругого шарнира) составляет — с~р, и уравнение равновесия стержня в отклоненном состоянии приобретает вид Р1ср — сср = О. (Ч. 10) Из условия ~ + О находим, что отклоненное состояние равновесия возможно, если сила Р равна (У.11) 277 Р г с 1 Простейший пример системы рассматриваемого типа представлен на рис. Ч.5, а.

Масса 1 закреплена на верхнем конце вертикального совершенно жесткого стержня 2; внизу стержень имеет опору 3, упруго сопротивляющуюся повороту (упругий шарнир). На верхний конец стержня действует вертикальная сила Р. Такая Этой формулой определяется критическое значение статически .действующей силы Р (например, веса груза 1). То же значение можно найти, рассматривая свободные колебания груза 1.

В отличие от уравнения статики (Ч.10) уравнение моментов относительно шарнира 3 содержит инерционный член и имеет вид Р1ц — с~р = т12ср, (Ъ'.12) т. е. с — И ~+ — „р=О. При с = Р1 частота свободных колебаний системы обращается в нуль, т. е. система становится неустойчивой. Для значения критической силы вновь следует прежний результат (Ч.11).

Рассмотрим теперь случай, когда сила Р изменяется во времени, следуя гармоническому закону Р ='Р, + Р, соз а1. При этом уравнение колебаний стержня (Ъ'.12) запишется в ниде (Ро + Р, соз а1) йр — с~р = тсср, ь' ср +, (с — Р,,1 — Р,асов о) 1) ср = О; ! т. е. это уравнение приводит к стандартной форме уравнения Матье (Ч.5), если положить 2т = и1; а=, ( —,— Р,); д —,', . (Ч.)3) При возрастании частоты о параметры а и д пропорционально уменьшаются.

Штриховой луч на рис. У.З указывает, что система проходит ряд последовательно чередующихся устойчивых и неустойчивых состояний. Наклон луча определяется отношением где Р„р — статическая критическая сила, определяемая выражением (Ч.11). При данном значении Р, величина й зависит от разности Р,~ — Р,. Чем ближе значение статической составляющей Р, к критическому значению Р,,„, тем круче проходит луч и тем шире пересекаемые им участки областей неустойчивости; это естественно, так как приближение силы Р, к эйлеровой силе должно облегчить возникновение неустойчивости. Важно заметить, что потеря устойчивости возможна при сколь ' угодно малых значениях сжимающей статической составляющей Ро и даже при изменении ее знака (т, е. при растягивающей стати- 278 ческой составляющей). Как видно из рис. Ч.З, луч г7 = гга при Р, < О проходит весьма полого, но также пересекает ряд областей неустойчивости.

С другой стороны, диаграмма Айнса — Стретта позволяет установить, что устойчивость системы возможна при Р, = Р,р и даже при Р, ~ Р„р, В самом деле, если Р, = Р,р, то а = О, луч д =- 7га совпадает с осью ординат диаграммы Айнса — Стретта, но система остается устойчивой, если ~ гг~ С 1. Согласно условиям (Ч.13), для этого необходимо выполнение неравенства 2Рг О) иг При Р„> Р„луч г7 = Йа располагается во втором квадранте диаграммы Айнса — Стретта. На рис. Ъ'.5, б видно, что и в этом случае возможна устойчивость системы в надлежаще выбранном диапазоне изменения частот сч. Таким образом, вибрационная составляющая сжимающей силы при известных условиях может стабил:зировать систему, которая неустойчива при отсутствии колебаний. Аналогичным образом решается задача Н.

М. Беляева о возможности параметрического резонанса для шарнирно-опертого стержня, на который, как и в предыдущем случае, действует продольная сила Р„+ Р, соз о1 (рис, У.5, в). Подставив последнее выражение в уравнение (П.219), получим дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами в частных производных д-у Р,+Р,созЫ д'у Е,7 д у дг~ ~ и дх'- и дх4 Для решения этого уравнения положим у= А1г) з1п где А (г) — неизвестная функция времени. При этом уравнение приобретает вид А+ — 1Р„р Рр — Р,созе)А=- О, где Р„р —— гг'Е1/Р— первая эйг.ерова критическая сила для рассматриваемого стержня. Если теперь положить 4л' (Р„р -- Ро) 2-,ЯР и1 =- 2т; а =,,; гг = то вновь получится стандартная форма уравнения Матье и можно прежним образом установить условия возникновения параметрического резонанса.

Еще ряд возможностей параметрического ппх резонанса обнаружится, если принять у = А (1) з1п — и последовательно положить и — 2; 3;... 279 Еще одним примером параметрической системы с аналогичными свойствами может служить маятник, показанный на рис. Ч.6, а. Если точка подвсса неподвижна, то единственной силой, создающей момент относительно точки подвеса, является вес груза тд. Соответственно уравнение малых колебаний имеет вид — тдйр = тсср, где 1 — длина маятника; ~р — угол отклонения.

Если же точка подвеса колеблется вдоль оси у по закону у=Асозь|, то при составлении уравнения моментов нужно учесть переносную силу инерции — ту =- пгАсо' сов а~; ее момент составляет Рис. Ъ'.6 Г д Лю~ ~-(- ~ — — — ~со~и 1) ~=0. (Ч. 14) Это уравнение можно привести к стандартному виду (~У.5), если положить 2т=ш~; а= .,; д=— 4д 2.4 Теперь из диаграммы Айнса — Стретта непосредственно видно, что параметр а не зависит от амплитуды колебаний точки подвсса и сколь бы малой ни была амплитуда А, неустойчивость нижнего положения маятника наступает вблизи значений а = 1; 4; 9; т.

е. при 2 гв = — )~'дЯ . = 3 о) = — 2 )~ дЯ (о =- 1' дЛ Обсудим теперь вопрос об устойчивости верхнего положения маятника (рис. Ъ'.6, б). При неподвижной опоре это положение, 280 тА вар сов в1, и уравнение колебаний маятника запишется в виде — пуЦ + тАа'1ц соз ь| = т1Рср, т. е. конечно, неустойчиво; однако вибрации основания могут придать этому положению устойчивость. Чтобы получить уравнение движения для данного случая, достаточно изменить знак перед членом, содержащим ускорение д в уравнении (У.14); соответственно параметр а становится отрицательным: (Ч.15) остальные величины останутся прежними.

Из рис. У,6, в видно, что верхнее положение маятника может быть устойчивым. При небольших амплитудах А колебаний точки подвеса (когда д <.'1) устойчивость верхнего положения достигается, если удовлетворяется неравенство ~ а ~ < дЧ2. Согласно выражению (Ч.15) это условие устойчивости принимает вид ь ) )» 2ф1А. 27. СЛУЧАИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ИЗМЕНЕНИЯ ИНЕРЦИИ СИСТЕМЫ Решим вспомогательную задачу о крутильных колебаниях системы, показанной на рис, У.7, а. Примем, что в этой системе массой обладают только диск 1 и груз 4, причем 1 — полярный момент инерции диска; и — масса грузя.

Вал 2 закреплен одним концом и может только закручиваться. Тяга 3 является совершенно жесткой и служит лишь связью между диском 1 и грузом 4, который может перемещаться по горизонтали вдоль неподвижной втулки 5; длина тяги значительно больше радиуса диска. Такая система имеет одну степень свободы.

Положим, что диск совершает свободные колебания около положения равновесия. Очевидно, что в этот процесс будет вовлечен и груз 4, влияние инерции которого можно определить энергетическим методом. Пусть ~ — угол поворота диска в процессе колебаний, так что закон свободных колебаний диска имеет вид с~ = и з1п р1, где р — собственная частота системы; а — амплитуда крутильных колебаний диска. Максимальная угловая скорость вращения диска ~„,„, — — ар, максимальная кинетическая энергия диска 7 1~пах 1 (ОР) 1 Из рис.

Ч.7, б видно, что углу поворота диска ~р соответствует горизонтальное смещение точки М, равное пр з1пи (» — радиус 281 диска). При большой длине тяги 3 допустимо считать, что пере- мещение груза 4 равно той же величине х = г<р з1па. Скорость груза 4 х= прз1па, ее максимальное значение Апах = ~'ОР 81п Я так что максимальная кинетическая энергия груза составляет '2 ~~~'~~пах ги (АР Я1п и)~ Tд 2 2 грлпа т~ тд Ряс. Ч.7 Следовательно, максимальная кинетическая энергия системы отсюда видно, что величина Г,=Г+ —," (1 —. ~я) (7.16) 2Ц2 может быть истолкована как приведенный момент инерции массы диска и позволяет вместо системы на рис.

У,7, а рассматривать эквивалентную систему (рис. Ъ'.7, в). Из выражения (К16) видно, что влияние инерции груза 4 на процесс колебаний зависит от угла а. Основываясь на выражении (Ъ'.16), обратимся к задаче о колебаниях простейшего кривошипно-ползунного механизма (рис. У.7, г). Если, как обычно, массу шатуна заменить двумя массами, из которых одна (т,) вращается вместе с кривошипам, а другая (т,) движется вместе с поршнем, то получится схема, показанная на рис. У.7, д. Здесь кривошип вместе с присоединенной частью массы шатуна заменен одним диском с полярным моментом инерции 7 + т,г', а общая масса поршня вместе с другой присоединенной частью шатуна равна т+ т,. Теперь на основании приведенного выше решения вспомогательной задачи от этой схемы можно перейти к схеме на рис. Ъ'.7, е, состоящей из двух дисков: один из них (маховик) имеет момент инерции 1„ а второй — момент инерции 7„определяемый по формуле (Ч.16); в данном случае 7, = 7+ т,г'+ ' (1 — сов 2со1).

(Ч,17) Здесь т + т,, — общая масса поршня и соответствующей части шатуна. Уравнение колебаний такой системы имеет вид (см. формулы (11.9) и (11. 12) ] "+ с(1 +У ) ~~~м Подставляя сюда выражение (Ч.17), получим 1 —, ' соя 2ом 2~о где у у 1 2 (я+то) Г' о= +т1Г 2 есть среднее значение приведенного момента инерции кривошипа.

Из уравнения (У.18) видно, что коэффициент при функции ср зависит от времени 1, как и в рассмотренных выше случаях. Однако в нашей задаче переменность коэффициента связана с периодическими изменениями момента инерции, а не коэффициента жесткости. (и+то) Г Ввиду того что (( 1, допустимо принять 2!о (т+ то) го ~ 27а сов 2М 2~о Тогда уравнение (Ч.18) примет вид ~. -~ с ~ ~ -~- 1 -~ ~~~,'~' сои2~1] а=о. ~Р.1о) ~м ~о 2та' 283 Для определения областей параметрического резонанса нужно представить это выражение в стандартном виде (Ч.5), полагая (1„-)- г„) с (~+ ~,) 1' !о!~в~ ' 4! 'о)~ Вычислив значения этих параметров, можно проконтролировать устойчивость системы по диаграмме Айнса — Стретта.