Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара, страница 46

Эти колебания называются параметрическими и в зависимости от свойств системы и характера изменения ее параметров могут иметь ограниченные или возрастающие во времени пиковые значения; последний случай называют параметрическим резонансом. Если на систему с переменными во времени параметрами действует внешняя возмущающая сила, то задача приводит к изучению вынужденных колебаний в параметрической системе; этот относительно сложный вопрос ниже пе рассматривается.

Последующее изложение посвящено в основном определению условий возникновения параметрического резонанса, т. е., в конечном счете, исследованию устойчивости системы. Это сближает содержание настоящей главы с гл. 111, где речь шла об устойчивости автономных систем. Простейшая система Рассмотрим систему, показанную на рис. Ч.1. Как видно, сосредоточенная масса 1 закреплена на конце невесомого стержня 2, причем свобода перемещений стержня дополнительно ограничена втулкой 3, удаленной от нижнего конца стержня на расстояние 1. Составим уравнение свободных колебаний груза, считая, что они происходят в плоскости чертежа. Если в текущий момент времени 1 перемещение груза составляет х, то восстанавливающая 27! а сила упругости стержня равна — сх ~) уравнение движения груза имеет вид — сх = тх, (7.1) где с — коэффициент жесткости системы.

Втулка 3 при ее достаточной длине обеспечивает практически полное защемление нижней части стержня, и коэффициент с можно определить по известной формуле с — ЗЕ1~Р. Здесь предполагается, что стержень имеет постоянное поперечное сечение с моментом инерции 1; Š— модуль упругости материала стержня. Таким образом, дифференциальное уравнение (Ъ'.1) принимает вид х+ ~, х=О. ЗЫ Если расстояние 1 постоянно, то уравнение (Ъ'.2) описывает свободные колебания массы около ее среднего положения, причем дробь 3Е5~(тР) представляет собой квадрат собственной частоты колеоаний. Допустим теперь, что втулка 3 скользит вдоль стержня 2 по заданному закону г=Асози~, Рис Ъ'А т.

е. совершает около среднего положения гармонические колебания с амплитудой А и круговой частотой а. В этом случае коэффициент жесткости оказывается функцией времени: ЗЕ1 ЗЕ1 )з (~+ А ~,>~., ~)з ( -) и дифференциальное уравнение (Ъ'.2) становится уравнением с переменными коэффициентами: ЗЕХ х + и (1 - А сов шО' х — О. (7.4) Именно переменность коэффициентов типична для систем с параметрическим возбуждением колебаний. Уравнение Матье Существует много других механических систем, подверженных параметрическому возбуждению. Ряд примеров, приведенных ниже, убеждает, что во многих практически важных случаях дифференциальное уравнение параметрических колебаний можно привести к стандартной форме ,, + (а — 2д соз 2т) х = О, (У.5) где а и Π— некоторые постоянные.

272 Вернемся для примера ~ механической системе, показанной на рис. Ч.1, и положим, что аМплитуда А колебаний втулки весьма мала по сравнению с длиной,1; тогда вместо выражения (Ч.З) приближенно получается ЗЕУ ЗЕ1 ЗЕЛ Г ЗА с= ' — — — = -- — ~1 — — созе (1+ А сов а1) 1'--,— 31'сок ь1 1' (Ъ'.6) и дифференциальное уравнение (7.4) принимает вид ЗЕ,1 Г ЗА л -~- — — (! — со~и1) х= О. (Ъ .7) Переходя теперь к безразмерному времени т (2т = о 1), имеем с~'х н' ~'х ~~~2 4 ~Дх2 и дифференциальное уравнение (Ч.7) приобретает стандартную форму (Ч.5), причем (У.8) Преобразования этого рода типичны для случаев малой глубины пульсации переменного параметра системы.

Обратимся теперь к основному уравнению рассматриваемых здесь задач (Ч.5), которое называется уравнением Матье. Решения уравнения Матье носят колебательный характер, и их свойства зависят от конкретных значений параметров а и д. В одних случаях данной комбинации значениям а и д соответствуют колебания, ограниченные по амплитуде, а в других случаях — колебания с возрастающими амплитудами.

Очень часто (при исследованиях устойчивости) подробности колебаний малосущественны, так как основную важность представляет именно тенденция колебательного процесса: если амплитуды остаются ограниченными, то система устойчива; в противном случае имеет место параметрический резонанс и система неустойчива. Результаты решения уравнения Матье для двух различных комбинаций а и о показаны на рис.

~~.2, и, б (эти решения получены при помощи электронного аналогового устройства). Хотя в обоих случаях параметр д системы одинаков (д — 0,1), но колебания имеют резко различный характер из-за различия между значениями параметра а (а = 1; а — 1,2); в первом случае они возрастают, т. е. система неустойчива, а во втором случае остаются ограниченными, т. е.

система устойчива. Для практических целей наибольшее значение имеют границы между областями устойчивых и неустойчивых решений. Этот вопрос хорошо изучен, причем окончательные результаты пред- 1З я. Г. пановно 273 ставляются в виде диаграммы, построенной в плоскости параметров а и д. Она называется диаграммой Айнса — Стретта. На рис. Ч.2, в изображена часть диаграммы Айнса — Стретта, относящаяся к малым значениям параметра а. Каждой данной системе, характеризуемой параметрами а и д, соответствует точка с координатами а, д на диаграмме Айнса — Стретта (изображающая точка), Если изображающая точка находится в пределах заштрихованных полей диаграммы, то система устойчива; неустойчивым системам соответствуют изображающие точки, расположенные на белых полях, и) х М) к а=г,г Рис.

Ъ'.2 (У.9) д' < (1 — а)'. 274 В качестве примера на диаграмме указаны точки 1 и 2, соответствующие параметрам а, = 1; д, = 0,1; а, — 1,2; д., = — 0,1 (решение уравнения Матье для этих случаев даны на рис. Ч.2, а, б). Точка 1 находится в белой зоне (неустойчивость), и колебания происходят с возрастающими амплитудами (рис. 'Ч.2, а). Точка 2 находится в пределах заштрихованной зоны, ей отвечает движение с ограниченной амплитудой (рис. Ъ'.2, 6). Полная диаграмма Айнса — Стретта представлена на рис. Ч.З.

Как видно, в плоскости параметров а, д области устойчивости чередуются с областями неустойчивости, причем наиболее широкая, а потому и наиболее важная область неустойчивости содержит точку а = 1; д = О. В окрестности этой точки, т. е. при небольших значениях д, условия устойчивости а ( 1 — д и ст ) 1 + д (см. рис. Ъ'.2) можно объединить в одно общее условие Диаграмма Лйпса — Стретта полностью освобождает от выполнения каких-либо операций по решению уравнения Матье.

В каждом конкретном случае достаточно составить это уравнение, т. е. найти значения параметров системы а и д; после этого диаграмма сразу дает ответ на вопрос об устойчивости или У неустойчивости системы. Проследим за изменением Ю свойств параметрических колебаний при постепенном ф изменении частоты возбу- у=lга ждения. Возвращаясь для 7,Г примера к выражениям (У.а), г видим, что с возрастанием г .,4,К,г, ~а,~г а частоты оба параметра а и д пропорционально уменьшаются. Так как отношение Рис. Ъ'.3 обоих параметров остается постоянным, то последовательные состояния системы определяются изображающими точками на штриховом луче О = йа, проходящем через начало координат.

На рис. Ч.З отчетливо видно чередование устойчивых и неустойчивых состояний при возрастающих значениях частоты возбуждения. 25. СЛУЧАИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ИЗМЕНЕНИЯ ЖЕСТКОСТИ Эти случаи весьма часто встречаются в системах самого различного вида. Приведем несколько примеров. На рис. Ъ'.4, а показана система, упругой частью которой является зубчатый (шлицевый) вал 1. На нижнем конце вала нахо- Рис. Ч.4 дится диск 2.

С валом соединена зубчатая (шлицевая) массивная втулка 3, которая может скользить вдоль оси вала и совершать гармонические колебания в вертикальном направлении. В этой системе возможно возбуждение не только изгибных, но и крутиль- 18* 275 ных колебаний. Пусть свободная длина вала в текущий момент времени г составляет ~ =- 1,, -~- Л соз ь|. При этом коэффициент жесткости вала на кручение Если амплитуда колебаний А значительно меньше среднего значения длины 10, то выражение для с можно представить в форме бар / А с= — "' (1 —— ~о , ~о что по структуре полностью совпадает с выражением (Ъ'.6).

Поэтому крутильные колебания рассматриваемой системы также описываются уравнением Матье (Ч.5), причем 46./р 2АОУр а= . д= сй 1 ' О)'-'Г о р Следовательно, рассматриваемая система при некоторых условиях, определяемых диаграммой Айнса — Стретта, может оказаться в состоянии параметрического резонанса. Конечно, то же может быть и в случаях, когда ось вала не совпадает с вертикалью. Другой пример системы с периодическим изменением жесткости представлен на рис. У.4, б. Система содержит диск 1, закрепленный посередине вертикального вала 2. На части длины вал имеет поперечное сечение с различными главными моментами инерции, по этой причине жесткость вала неодинакова в двух главных направлениях х и у.

Направляющие 3 фиксируют плоскость, в которой может происходить изгиб вала. Поэтому при вращении вала в подшипниках его жесткость на изгиб в этой плоскости периодически меняется и возможно параметрическое возбуждение колебаний. Заметим, что если направляющие отсутствуют, то, как было указано выше (см. стр. 170), вал неустойчив во всей области угловых скоростей: 1 с,,,'и(а()' с,/и. Поучительный пример параметрического возбуждения колебаний представляет собой система, показанная на рис.

'Ч.4, в. Шахтная клеть 1 равномерно движется по вертикальным направляющим 2, которые закреплены на шпалах 3. В этой системе поперечная жесткость, определяющая восстанавливающую упругую силу при поперечных колебаниях клети, переменна: если клеть находится на уровне очередной пары шпал, то эта жесткость 27в достигает максимума; если же клеть расположена против середины свободного пролета направляющих, жесткость минимальна. Частота изменения жесткости зависит от расстояния между шпалами и от скорости движения клети а =- 2лоЛ; отсюда ясно, что существует ряд «запретных» диапазонов скорости о, соответствующих условиям параметрического резонанса, Эти соображения позволили объяснить причину опасных колебаний шахтных клетей, которые неоднократно наблюдались в натурных условиях.