Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара, страница 42

Записывая уравнения движения каждой из масс, получим подобно выражениям (11.129) и (11.130): Р~ з1П Юг — С~Х~ ~- С2 (Х~ — Хт) . Л7~Х~', Р 2 э1п ю 1 — — с~ (х~ — х~) =- !п2х2, (17.75) или ~н,х, + ~,х, — ~2 (х~ — х,) -=- Р~ з1п 0~~; ~п,х~ + ~, (х, — х,) =- Р, з~п ~) г. (1Ч.76) 249 Решение этой системы, как и рещение одного уравнения, составляется из двух частей: решения соответствующей однородной системы, имекпцего вид выражения (11.142), и частного решения неоднородной системы (1T,76), Раньше отмечалось, что слагаемое, описывающее колебания с собственной частотой, меняется во времени, быстро уменьшаясь вследствие действия неизбежных сил затухания.

Основной интерес представляет вторая часть П( решения, соответствующая не- Б затухающему, установившемуся 5 процессу вынужденных колебанийй. Приняв частное решение 3 в виде х = а2з1п вг Х1 — й1 51П ИГ; (1Ъ'.77) Рис. 1Ъ'.42 и подставив его в выражение (1Ъ'.76), получим два уравне- ния с двумя неизвестными амплитудами колебаний а, и а,: (1 78) — ~~2111 й2 + с2 (й2 — й1) = Р2.

Р1 (с, — т2в2) + Р2с2 (с1 + с2 — т1О ) (с2 — т2И ) — с2 Р, (с + с2 — т1122) + Р,с, (1Ч.79) (с, + с2 — т1а') (с, — т2в') — с,' Знаменатели полученных выражений совпадают с левой частью частотного уравнения (11.138), если заменить в нем букву р буквой в. Следовательно, если частота возбуждения в совпадает с любой из двух собственных частот р, или р„то знаменатели формул (1Ч.79) согласно уравнению (11.138) обратятся в нуль, а амплитуды а, и а, станут бесконечно больп|ими (резонанс). При в = О формулы (1Ч.79) определяют статические отклонения обеих масс, вызванные силами Р, и Р,: Р1 ~ Р2 ° Р1+Р2 1 1 2 а,=; а,= с, С1 С2 При и оо решения (1Ъ'.79) стремятся к нулю. Зависимость амплитуды а, от частоты показана на рис.

1Ч.42; график построен для случаев Р, = 1; Р,= О; с, = с2 = — 1; т = т2 = 1. В этом 250 Решение (1Ъ'.77) означает, что колебания происходят с той же частотой, с которой происходит изменение самих сил. Решая систему уравнений (1Ч.78), находим х, — а„з1п (р11 -.'; а1); х2 = а21 з1п (р11 + а1), (1Ч.80) так и решениями х, — а12 з1п (р21+ а2); х, = а22 з1п (р2г+ и2). (1Ъ'.81) Подставляем в уравнения (П.129) и (11.130) сначала решения (1Ъ'.80): — — с,а„+ с, (а„— а„) = — т1р1а„; — с, (а„— а„) = — т2р1а„, а затем решения (1Ъ~.З Ц; — с1а12 + с2 (а22 а12) = — т,Р.'-а„; 1 (17.83) — с2 (а„— а,,) = — т,р3а,2 Эти соотношения определяют собственные формы колебаний рассматриваемой системы и необходимы для дальнейшего.

В дифференциальных уравнениях (1Ъ'.76) неизвестными являются функции х, и х,. Основная идея рассматриваемого способа состоит в замене этих функций двумя новыми функциями 11 (1) и 12 (1) согласно равенствам а1 1~1 а1 2121 х, = а2111 -~- а2212 ! (Ю.84) где а„и а„— произвольные числа (можно, например, принять а„= а„—.— 1), с которыми а„и а22 связаны соотношениями (1Ч,82) и (1Ъ'.83). 251 случае число резонансов равно двум, что соответствует числу степеней свободы системы и числу ее собственных частот. При а = 1 амплитуда а, = 0; этот случай антирезонанса рассмотрен на стр. 259, 2бО.

При помощи выражений (1Ъ'.79) можно найти форму вынужденных колебаний, определяемую отношением а2/а1. В общем случае эта форма не совпадает ни с одной из собственных форм; лишь при резонансах форма вынужденных колебаний совпадает с формой свободных колебаний. Если возмущающие силы имеют полигармоническую структуру, то резонанс становится возможным при совпадении свобой из частот возмущающей силы с любой из двух собственных частот системы. Разложение решения по собственным формам колебаний.

Предварительно образуем вспомогательные соотношения исходя из уравнений (11.129) и (П.130). Эти уравнения удовлетворяются как решениями Подставив выражения (1У.84) в уравнения (1Ъ'.76), получим систему уравнений относительно новых функций 1 и ~2: пг1 (а1111 = а12~2) + 11 гсга11 — с2 (а21 — — а11) ) + -~- ~2 (сга12 — с, (а„— а,,)1 =- Р, згп га~; ! т, (айаг, —,'- а„,г,г -~- г,с, (а„— а„г .г+ г 2с2 (а„— а„) = Р, з1п га1.

На первый взгляд эта система уравнений ничуть не проще системы уравнений (1Ч.76), Однако последующие выкладки покажут, что возможно существенное упрощение уравнений (1Ъ'.85). Прежде всего при помощи соотношений (1Ч.82) и (1Ъ'.83) перепишем уравнения (1Ч.85): т, (а„1, + а121'2) + т1(ргга„)1 --- р22а1212) = = Р, з1п са1; аг2 (а21Ь + а2,72) + т2 (Рга2111 + р2а2.т2) = 2 Дальггейцгие упрощения вытекают из свойств ортогональности собственных форм колебаний.

Умножим первое уравнение (И.86) на а„, а второе — на а„; сложив затем полученные уравнения, найдем (т,а',1 1- т2агг) 1, -г- (тга„а12 -+ т,а„а„)12 —, + РЛ (т а11 + т а21) + Р'-'~ (т а11а 2 г т2а'1а 2) = (Р,а„-- Р,а„) з1п аг|. Согласно свойству ортогональности т,а„а„+ т,аа,а„= О из записанного уравнения выпадают функция 12 и ее вторая производная 1'2; в результате получается дифференциальное уравнение для одной функции 71: (1Ч,87) тга11 ~ т2аЪ1 Совершенно так же может быть получено дифференциальное уравнение относительно функции 1, Для этого нужно первое уравнение (1Ъ'.86) умножить на а„, второе уравнение — на а„ и сложить полученные уравнения. Используя затем то же свойство ортогопальности, получим (1Ч.88) Таким образом, способ разложения по собственным формам колебаний приводит к раздельным уравнениям (1Ч.87) и (1Ч.88), 252 каждое из которых описывает колебания некоторой системы с одной степенью свободы.

Если обозначить правые части дифференциальных уравнений (1Ч.87) и (1У.88) соответственно через Р1 з1п са1 и Р2 з(п аг, где 1 11 Г 2 21 ° Р 1 12+~2 22 1 2 т,а'„+т,а';,', ' т1а12 т таа',-2 2 1 2 2 2 то установившуюся часть решения можно записать в виде з!п М; 12 = ., ° з(п айаг. Р1 — 1а р;, — ю Теперь прн помощи соотношений (1У.84) образуем решения , Р'1' — - а1 Р', — а12 Х2= 2 + 2 2 З1П а11 Нужно отметить, что указанные приемы обеспечивают разделение уравнений н при большем числе степеней свободы. Разложение решения по собственным формам колебаний при сохранении заданного вида периодических нагрузок.

Основное преимущество рассмотренного выше способа — разделение уравнений — никак не связано с тем или иным конкретным видом возмущающих сил: оно столь же легко достигается в случае произвольно заданных возмущающих сил Р, (1), Р, (1), как н в рассмотренном случае гармонических возмущающих сил Р, з1п а1 и Р, з(п 1а1. Не повторяя выкладок, приведем сразу окончательные уравнения для общего случая: 2~ Р1 (~) а11+ ) 2 ( ) а21 2Р Р1 (~) а„+ 2'2 (() а„ т1а22 -) т2а!2 В п.

18 мы видели, что подобные уравнения без особых затруднений интегрируются при любом виде правых частей; там же был рассмотрен случай произвольной периодической возмущающей силы. Таким образом, способ разложения решения по собственным формам колебаний вовсе не требует предварительного разложения возмущающих снл на гармонические составляющие. Определение гармонических составляющих является громоздкой операцией и требует учета иногда большого числа гармоник; эта операция оправдана, когда намечено вести решение первым способом, но представляется необязательной или даже изли1пней, если используется разложение по собственным формам колебаний.

253 Уравнение крутнльных колебаний валов Общие сведения. Вынужденные колебания валов являются неизбежным следствием переменности вращающих моментов, действуюгцих на вал; эти моменты носят периодический характер и обусловлены как давлением газа в цилиндрах, так и силами инерции движущихся частей. Рассмотрим наиболее общий случай, когда на отдельные диски эквивалентной системы (см.

рис. 11.34) действуют любым образом заданные переменные моменты. Средние во времени значения этих моментов вызывают также постоянную во времени деформацию вала; поэтому для анализа колебаний достаточно учесть влияние лишь переменных частей каждого момента. Эти части обозначим через М, (1), М, (Х),..., М„(1) и будем называть их возмущающими моментами. Если считать неупругие сопротивления отсутствующими, то уравнения вынужденных колебаний будут отличаться от уравнений свободных колебаний (11.146) наличием возмущающих моментов: М, (1) + с, (~: — р,) — ~,~„ М, (1) + с, (ср, — ср,) — с, (ср, — ср,) = У„ср,; (1Ч.89) М„(с) — с„1 (ср„— ср„,) = 1„ср„.