Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара, страница 49

КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ АВТОКОЛЕБАНИЯ Вернемся к системе, рассмотренной в гл. 111 (см. рис. 111.1, а), но не ограничимся линейным приближением и исследуем влияние нелинейных слагаемых в выражении силы трения Р. Положим, что в окрестности состояния равновесия силу трения можно представить в виде суммы где Ло — изменение скорости скольжения по отношению к ее номинальному значению и,.

Так как Ли — — х, то можно написать 1~ — )~0 — ~Ох+ 2 )~Ох — в )~Ох +... (~'1.1) 1 - ° и 1 ° з Если ограничиться выписанными слагаемыми, то уравнение колебаний примет вид '! тх 1- сх+ (й0+ Й) х — — ' х + — ' х' =- О. (И.2) При этом предполагается, что скорость о„соответствует падающему участку характеристики, причем Я0+ Й ( О. 288 Стационарные автонолебания Для решения уравнения (Л.2) используем метод энергетического баланса.

Положим, что стационарные автоколебания могут быть приближенно описаны гармоническим законом х --- а э1п р1 (И.З) с частотой р свободных колебаний системы. Выражение (У1.3) становится совершенно точным, если переменная часть силы трения й, выраженная тремя последними членами (У1.1): й — — (Йц+ 1г) х+ — х — — х, (Ч.4) Ъх = йхй; следовательно, работа силы трения за период ~ Яхт=О, о где Т вЂ” период автоколебаний, полагаемый равным собственному периоду.

Подставляя сюда силу трения Д по выражению (И.4), получим — (Ио+ й) х + — х — — х й — О. (Ч1.5) Согласно выражению (И.З) х, =- ар соэ р1, следовательно, (Яю -~-1г) соэ2р1 — — „' ар созз р1+ о 1! + а2р2 соэ4 р1 ~-(1 О После интегрирования найдем амплитуду установившихся автоколебаний 2 / 2 (гг„'+ /г) (Ч1.6) 19 я. Г. Пааовко тождественно равна нулю. Конечно, вычисляя сумму этих членов при помощи уравнения (Ъ'1.3), убедимся, что это не так; однако можно для получения приближенного решения ограничиться смягченным требованием, чтобы работа сил трения оказалась равной пулю за один цикл колебаний.

Работа силы трения й~ за время а1 составляет Так как сумма Р, + й отрицательна, то подкоренное выражение положительно лишь при положительной третьей производной Я,"'; следовательно, предельный цикл существует при условии, что Я,",' > О. Часто можно пренебречь всеми неупругими сопротивлениями, кроме силы трения тт. Полагая й = — О, получим более простую форму для амплитуды: ас, =- —,7 — — „,' . (71,7) 2 / 21до Р ~/ );д" Пример 29. Определить амплитуду установившихся автоколебаний для случая, когда характеристика трения описывается уравнением (рис.

И.2) й = ЗЛ„1 — — "+ —,, (Ч!.8) Рис. И.2 где И„и о„— соответственно сила трения и скорость относительного двивкения в точке минимума харакпггристики. Номинальная скорость скольжения о, находится на падающем участке характеристики вблизи точки минимума о и равна 0,95 о,. Дифференцируя заданное уравнение, находим З~~ „х И~, Ф ] Яю Ф 2 1 3 ож о о' х Ф Подставляя в выражение Р' значение о, =- 0,95 о„,, получим 0,29250, ддо .— о~ По формуле (д71,7) находим амплитуду автоколебаний Максимальная скорость автоколебаний хд шах — ар =- 0,626о .

1-1а рис. И.2 показаны пределы колебаний скорости х,, эти колебания сравнительно с о„весьма велики. Максимальные скорости колебаний при других отношениях 0„7'о„имеют следующие значения: 0,900 0,925 0,950 0,975 1,000 0.573 0„761 0,626 0,445 0,000 ьод ди тд гпах!" а При оь ) о, автоколебания невозможны, так как величина Яв положительна. При о„( 0,9 о соответствующие вычисления не производились: колебания скорости становятся столь значительными, что относительная скорость уменьшается до нуля, и в некоторые интервалы времени груз находится в состоянии покоя относительно ленты (т.

е. движется равномерно). Это делает недопустимыМ использование гармонического закона движения (И.З) (см. пример 31), 290 Переходный процесс При помощи метода энергетического баланса можно не только определить амплитуду стационарных автоколебаний, но и исследовать ггереходный ггроггесс. Для этого нужно исходить не из выражения (Ч1.3), соответствующего движению с постоянной амплитудой, а из более общего выражения х= а(1) ипру, считая, что амплитуда постепенно меняется.

Однако это изменение можно считать медленным, полагая, что приращение Ла за один период мало по сравнению с амплитудой а. В таком случае выражение для скорости приближенно имеет вид х = а (1) р соз р1. Соответственно этому работа силы трения за один период выразится интегралом (И.5), в данном случае этот интеграл не равен нулю, а представляет собой приращение энергии системы за один цикл: — (К~+ й) х + х — — х Ж = ЛП.

(Ъ'1,9) з О Вычисляя это в предположении постоянства амплитуды а, находим — лра'(У;-~ /г ~ — И,"'а р') =ЬП. О Г 3 Приращение ЛП было найдено выше [см. (11.57)1 в виде ЛП = саЛа. (Ч1.10) Следовательно, — пра'(й;-~- й ~ — ' Л',"ар) = сайа. (Ч1.11) Рассматривая теперь а как непрерывную функцию аргумента ~, дй заменим согласно (11.58) Ла = — Т. Тогда вместо выражения гЫ (И.11) получится дифференциальное уравнение —, =- — — (Я,' ~- Й -~- — Й,"а'р') .

Интегрируя это дифференциальное уравнение при начальном условии а = а, при 1 = О, получим уравнение огибающей (уравнение установления): а,„. (И.12) "+ 00, 1 — 1 — —,, е 291 19* 2 1 /и 2(~о+~) ~о При 1 — со отсюда вновь следует формула (Ъ'1.6) для амплитуды установившихся автоколебаний.

Переходный процесс, а также предельный цикл можно построить на фазовой плоскости графо-аналитическим путем при помощи дельта-метода. Обозначив координагу х через у, имеем ау — = а. И ( ъ'1. 13) Теперь дифференциальное уравнение (Ъ'1.2) примет вид (Ч1. 14) где т + 2т 6т о+ ~о 2 о 3 ('ъ'1. 15) Разделив уравнение (И.14) на (Ч1.13), получим основное дифференциальное уравнение фазовых траекторий: сЬ г (~) — Р'у ф 0 (Ъ'1.16) Совокупность интегральных кривых этого дифференциального уравнения образует фазовый портрет системы.

ф Введем безразмерное время т = р1 и обозначим сй — Тогда дифференциальное уравнение (ъ'1.16) примет вид Р' 0у о(у) — ~ Д (Ч1.17) ду у где б (ъ) =-— (Ч1.18) В малых интервалах времени и соответственно при малых приращениях ъ величину б можно считать постоянной. При этом в дифференциальном уравнении (И.17) переменные у и ъ разделяются, и после интегрирования получается конечное уравнение ъ ' -1- (д -~- 8) ~ = сопз1; 292 это уравнение описывает окружность, центр которой расположен на оси абсцисс в точке у = — Ь; ъ =- О. Таким образом, для малого интервала времени отрезок фазовой траектории представляет собой дугу окружности с центром в указанной точке.

Построение фазовой траектории начинается с точки, имеющей координаты г/„= у (0); т, = ч (0), определяемые начальными условиями при т = О. Значение тв подставляют в выражение (И.18) и находят б (то). Найденное значение 6 определяет абсциссу центра окружности (рис. И.З). Теперь можно провести малую дугу окружности из начальной точки фазовой траектории (у„б,) по ходу часовой стрелки; таким образом определяется первый элемент фазовой траектории. С чертежа можно снять новое значение фазовой координаты м„ вновь подставить ч ее в выражение (И.18) и найти б (т,), а~Ус "в т. е.

определить на оси абсцисс положение нового центра окружности. При помощи этого центра строят второй элемент фазовой траектории и т. д. у Конечно, при этом построении нужно следовать общим правилам графиче- . /7 у ских решений и,'в частности, не брать слишком больших длин последователь- Рис. И.З ных отрезков, Пример 30. Построить фазовуго кривую длл переходного процесса фрикционньгх автоколебанггг1, описываемых дифференциальным уравнением (И.2), если сила трения дана в виде (Л.8). Параметры сиспгемы: пг —.

0,102 кгс с/см; с = 1000 кгс/см; И, =- 10 кгс; и„— 9,5 см/с; о„= — 10 см/с. Находим: Зй, "о йо —— — — * — „— — 1 == — 0,2925 кгс с,'см; о 6Л.„,о, йо —— — '",' ' —— — 0,57 кгс.сз/сыз; О з > * = 0,06 кгс св/смз. 6Я, О= „з "о Тогда выражение (И.15) принимает вид / (о) =- +2,87о+ 2,80сР— 0,10о". Определим частоту автоколебаний: р = — 1/с/пг = 100 с г. По формуле (И,18) находим 8 (ч) = — 0 029ч — 2 80че -+ 1Оча (И.