Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара, страница 41

Для построения этой кривой может быть использовано графическое решение, подобное показанному на рис. 1Ъ'.35„ 16* 243 в данном случае нужно положить Р, =- О и искать точки пересечения кривой 1' (а) и прямой г =-- тр'а, проходящей через начало координат (рис. 1Ъ',38). Каждому значению частоты соответствует одно значение амплитуды.

Точка р, (рис. 1Ч.37) соответствует случаю исчезающе малых амплитуд колебаний. Кривая амплитуд свободных колебаний (штриховая линия на рис. 1Ъ'.37) является скелстной линией, разделяющей две ветви амплитуд вынужденных колебаний. Кривые, приведенные на рис. 1Ъ'.37, типичны для систем с жесткой характеристикой, т. е. систем с постепенным увеличением жесткости. Если система имеет мягкую характеристику (когда жесткость уменьшается при росте х), то скелетная кривая оказывается искривленной влево. ~г и~, Рис.

1Ъ'.39 Рис. 1Ч.38 Рассмотрим изменение амплитуды вынужденных колебаний при постепенном увеличении частоты возбуждения в (рис. 1Ч.39). Сначала при увеличении а амплитуды также увеличиваются, следуя ветви 1. Если при некотором значении частоты со, система испытывает достаточно большое мгновенное возмущение, то происходит «срыв» амплитуды на ветвь П1 (точки 1г и й'). Дальнейшему возрастанию частоты будет соответствовать постепенное уменьшение амплитуд вдоль ветви 111. Если после срыва в точке й частота о начнет уменьшаться, то амплитуды колебаний будут сначала плавно увеличиваться, а затем, при значении частоты о, (точка й") произойдет обратный срыв амплитуды на ветвь 1 до значения, соответствующего точке Й"'.

Дальнейшему уменьшению частоты будет соответствовать уменьшение амплитуды вдоль ветви 1 вплоть до оси ординат. Ветви П соответствуют неустойчивые, следовательно, физически неосуществимые режимы (см. стр. 284). Примененный способ рсшения задачи правильно выявляет общие закономерности, связывающие амплитуду вынужденных колебаний с частотой возбуждения, но для получения более точных количественных результатов необходимы уточненные способы решения той же задачи. Решение уравнения методом Бубнова †Галерки. Согласно этому методу нужно задаться искомым решением в виде суммы 244 х (~) = а,х, (1) ~- а,х2 (Г) + ..., в которой х, (1) — избРанные подходящие функции (их выбор подчиняется физическим соображениям о возможных частотах искомого режима); а; — неопределенные коэффициенты, значения которых определяются из уравнений 1 ~тх-~-Р(х) — Р,опиох;дую=0.

о х — 'р х = — -з1пв1, 2 ~о т (17.62) определяется так, как было пояснено решения линейного уравнения (1Ъ'.62) в котором величина р' выше (см. стр. 81). Стационарная часть имеет вид ро ЫП а~ т(р' — во) ' так что для амплитуды можно записать ро т (р2 — ао) (17.63) Если например — = рок + ах, то, как было наидено выше, ~ (Х) ..

3 1 т р' = р„'— ' — аа2, и соотношение (1Ч.63) принимает вид а— тр'+ — таа — та 5 о т. е. 7 + 5 ( 1У.64) Например, приняв в виде решения одночленное выражение (1Ч.59), получим ( — таш2 з1п ю1+ Е (а з1п а1) — Р, з1п Ы) з1п а~ й = О. о Выполняя интегрирование, получим нелинейное алгебраическое уравнение для амплитуды колебаний а; в развернутой форме оно может быть записано после конкретизации вида характеристики г" (х). Общий характер решения соответствует установленному выше (см. Рис. ГЧ.ЗЗ).

Решение уравнения способом прямой линеаризации. Согласно этому способу нелинейное уравнение (1Ъ'.68) заменяется линей- ным далее из этого нелинейного уравнения нужно определить неизвестную амплитуду а. Решение уравнения методом Дуффинга. В основе этого метода лежит прием исключения вековых членов, указанный М. В. Остроградским для задачи о свободных колебаниях нслинейной системы. Следуя Дуффингу, ограничимся рассмотрением кубической характеристики Р (х) — = рох+ их', когда уравнение вынужденных колебаний принимает вид +Р2 + 3 РО Бп 1 (1Ч.65) В качестве первого приближения примем х =- а з1п а1, (1Ъ'.

66) что является точным в случае линейной системы (т. е. при а = О). Прежде чем искать следующее приближение, перепишем дифференциальное уравнение (1Ъ'.65) в виде х + в'х = (ог — ро) х — ах' + — ' з'1п а1. (1Ъ'.67) Подставим в правую часть уравнения (1Ч.67) решение (1Ъ".66): х, г~ х = ~ (~ — РО) а — 4 Яа + — ~ з1п и1 + — Яа з1п Зи1.

и ~ ~ ~ з з з т 4 Если выражение, стоящее в квадратных скобках, отлично от нуля, то в решении появится вековой член и оно будет носить резонансный характер. Для исключения векового члена необходимо положить ( Ро) 4 + О' (1У.68) т Это соотношение, совпадающее по своей структуре с уравнением (1Ъ'.64), может быть использовано для определения амплитуды а. Если соотношение (1Ъ'.68) выполнено, то уравнение (1Ч.67) приобретает вид 2 + ~Рх иаз з1п ЗЫ 4 Частное решение этого уравнения имеет вид '"'Г'-( — "-" Л так что общее решение будет с~~з х = С, з1п в1 + С, сов а1 —, з1п ЗЫ.

32м~ Полагая, что решение носит периодический характер с периодом 2л/о, найдем постоянные из условий х = а, х = О при г = тс/(2м): Тогда ддЗ + 32 Таким образом, уже в этом приближении видно, что гармоническая сила Р, з1п а1 вызывает в нелинейной системе не только колебания основного тона с частотой а, но и колебания с более высокой частотой. Для построения следующего приближения нужно подставить выражение (1Ч.64) в правую часть уравнения (1Ч.67).

Далее для исключения возможности появления векового члена необходимо вновь положить коэффициент при з1п а1 равным нулю; это даст уточненное уравнение типа (1Ъ'.68), связывающее частоту со и амплитуду а, и т. д. Найденные в этом решении колебания с частотой Зв (а также колебания с частотами 5о, 7а,..., которые можно обнаружить в следующих приближениях) называются супгргармоничгскил4и.

Их амплитуды быстро убывают с увеличением номера гармоники. Наряду с этим в нелинейных системах могут возникнуть также субгармоничккие колебания, частота которых в целое число раз меньше основной частоты. Как оказывается, эти колебания могут иметь значительные амплитуды, но они полностью исчезают нри достаточно больших диссипативных влияниях. Системы с вязким сопротивлением В данном случае естественно предполагать, что колебания будут отставать от возмущающей силы, так что если сила меняется по закону Р = Р, зш ь1, то колебания в первом приближении описываются уравнением х = а з1п (в1 — 7), где у — фазовый угол. Можно описать колебания уравнением х = а з1п а1, принимая закон изменения силы в виде Р = Р, з1п (в1 + у); при этом дифференциальное уравнение колебаний записывается так: ях --, 'Йх + Р (х) =-= Р, з1п (а1 + у), (1Ъ'.69) а приближенное решение — в виде х = а з1п бэ1.

(1Ъ'.70) Потребуем, как и вьнне, чтобы уравнение (1Ъ'.69) удовлетворялось в моменты наибольших отклонений, когда з1п о1 = 1. При этом х = а; х = О; х = — аа', зш (о~1+ у) = соз у и дифференциальное уравнение (%.69) заменяется соотношением — таю' + Р (а) = Р, соз у. (1Ч. 71) 247 Кроме того, потребуем, чтобы решение (1Ч.70) удовлетворяло уравнению (1Ъ'.69) в моменты перехода через положение равновесия.

Подставляя в уравнение (1Ч.69) х = 0; Е (х) = 0; х = иа; х = 0; яп (а1 + т) = 81п у, получим Йао = Ро з1п у. Таким образом, для определения неизвестных а и у служат уравнения (1Ъ'.71) и (1Ч.72). Возводя эти уравнения в квадрат и складывая, исключим фазовый угол у и получим уравнение для искомой амплитуды: Р (а) = )'Рс — (1~аа)' -~ таа'. (1Ч.73) Отсюда, при отсутствии сил вязкого сопротивления, когда й = О, следуст полученное ранее уравнение (1У.60).

При малых амплитудах а второе слагаемое под радикалом мало сравнительно и) а Рис, 1Ч.40 о Р /го> (1Ч. 74) является максимальным. При этом уравнение (1Ъ'.73) принимает вид Р (а) =- так', и если сюда подставить амплитуду по (1Ч.74), то можно вычислить резонансную частоту ч l Р(а) рез — ~1/ та На рис. %.40, а показаны кривая амплитуд с учетом сил затухания (сплошная линия) и кривая амплитуд без этого учета 248 с первым, так что решение (1Ч.37), полученное выше, приближенно верно и в рассматриваемом случае.

Значительная разница появится при больших амплитудах, когда второе слагаемое под знаком корня станет близким к первому слагаемому. Такое сближение двух слагаемых означает, что эффективное значение силы Р, мало, т. е. решение приближается к решению задачи о свободных колебаниях. Наконец, при агав = — Р„радикал обращается в нуль, и дальнейший рост амплитуд становится невозможным. Таким образом, значение амплитуды (штриховая линия). Процесс постепенного увеличения частоты н приводит к изменению амплитуд в соответствии с рис.

1Ъ~.40, б (сплошная линия); последующий процесс уменьшения частоты показан штриховой линией, В данном случае неизбежен срыв амплитуды (точка Й)даже при непрерывном увеличении частоты а. 22. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ Принципы решения уравнений колебаний систем Если внешние возмущающие силы изменяются по гармоническому закону Р; з1п й, т. е. имеют одинаковую частоту и фазу, то праще всего воспользоваться непосредственным способом решения, разыскивая установившееся движение в форме х, — а,. з1п о1. Этот способ можно применить и к более сложным задачам, когда возмущающие силы изменяются по периодическому закону; в этих случаях необходимо предварительно разложить возмущающие силы на гармонические составляющие., ~п~, т ~7 Более общим является спо- Р— ю- Р -особ, основанный на разложении г~ решения по собственным формам колебаний.

Главное до- Ряс. 1У.41 стоинство этого способа состоит в том, что с его помощью можно получить решение задачи о вынужденных колебаниях при любых заданных возмущающих силах и, в частности, непериодических. Если же силы изменяются по периодическому закону, то предварительное разложение их на гармонические составляющие становится излиишим. Особенности каждого из этих способов проследим на простейшем примере двухмассовой системы (рис. 1Ъ'.41).

Непосредственное решение. Исследуем движение системы, вызванное одной гармоникой возбуждения, предполагая, что внешняя нагрузка изменяется по гармоническому закону (или по периодическому закону, но разложена в тригонометрический ряд). Силы, действующие на каждую массу, обозначим через Р, з1п а ~ и Р, з(п ю 1.