Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара, страница 45

Прн ьг(гс — пи (и = 1; 2;...) концевое сечение неподвижно (антнрезонанс), Пример 27. Решить аггее же задачу е ггредгго~гогкенигг, что на конг(е стержня имеется сосредопгоченная масса т„. Пользуясь прежней координатной системой, имеем граничные условия: при х = О имеем (l =- О; при х Рь огосо ЕЕ + ЕЕ Второе граничное условие выражает равенство продольной силы на правом конце стержня сумме возмущающей силы и силы инерции концевой массы.

Подставив первое из условий в выражение (1Ъ'.108), найдем 0 = О; из второго условия получим !г' и ы! „, и! С = Р (( ЕŠ— сов — т и."з1гт /! с с ' О с )' Амплитуда колебаний конца стержня со( Р, кгпв с и (1)— со со1 огl Еà — соз — т ыг з1п— с с с Если стержень имеет переменное сечение, меняющееся по ступенчатому закону, решение (1У.108) должно быть записано отдельно для каждого из ьг участков: со ьг 1 г = С з1п — хг + Вг сов — хг,' с с ш гв 1!., = С.

вгп — ха+ г.)г сов — х„. со И (/о = Со яп — х„+ В„соз — х„. Постоянные С, и 0; определяются из двух условий на концах стержня и 2 (и — 1) условий сопряжения. Последние выражают равенство перемещений и продольных сил на границе двух участков: и,, У,,) =- и, (О); (КГГ)г т ((,, ) = (ЛГГ), (()), Аналогично следует поступать и в тех случаях, когда возмущающая сила приложена в ряде промежуточных сечений.

Обратимся к случаю, когда внешняя нагрузка непрерывно распределена по длине стержня: 9 (х, г) =- 90 (х) я1п О1. (И. 112) Возвращаясь к рис. 11.49, запишем уравнение движения с учетом элементарной внешней нагрузки д, (х) их з1п а1, Тогда при помощи соотношения (1Ч.106) при ЕР = сопз( получим Общее решение этого дифференциального уравнения зависит от вида правой части. Так, если д, = сопз1, то У = С з1п — х + асов — х+ с с рри1 В общем случае У=- Сз1п — х —,- асов — х+ 0) О) с с -~- „]д,д)к~п — (к — цд, о (1Ч.113) Если сечение стержня непрерывно меняется, то исходное дифференциальное уравнение запишется в виде (при отсутствии распределенной внешней нагрузки).

После подстановки выражения (1Ч.105) это уравнение принимает форму (Лl')'+,, Лl = 0; (1Ч. 114) (1Ч.115) Функция У, должна удовлетворять граничным условиям, причем по крайней мере одно из них зависит от амплитуды возмущающей силы 1например, условие (1Ъ'.110)]. Поэтому нужно задаваться функцией У, так, чтобы удовлетворить обоим гранич- 265 оно имеет переменные коэффициенты и в общем случае не может быть решено в замкнутом виде. Поэтому приходится пользоваться приближенными способами, например, методом Бубнова — Галер- кина. В первом приближении, принимая для У (х) подходящую функцию 1/,, получаем уравнение в виде ным условиям задачи и, кроме того, иметь один неопределенный параметр, который найдется из уравнения (1Ъ'.115), Разложение решения в ряд по собственным функциям. В общем случае внешняя нагрузка произвольным образом распределена по длине и является какой угодно функцией времени: у= д(х, 1).

В частности, нагрузка может меняться во времени по закону, общему для всех точек: д = д, (х) Н (~). (1Ч.116) Согласно рис. 11.49, учитывая элементарную внешнюю нагрузку дух, получим при ЕР = сопз1 (1Ч.117) Далее нагрузка д(х, 1) и перемещение и (х, 1) представляются в виде рядов по собственным функциям соответствующей задачи о свободных колебаниях 1см. формулу (11.186) 1: д = Х1 (х) Я, (~) + Х, (х) Я, (~) +...; ~ и =Х1(х) Т1(~)+Х,(х) Т,(1)+... (1Ч.118) ) д (х, 1) Х~ (х) ~х ~ И)=' Х~ (х) ~х о (1'Ч.119) Если нагрузка меняется но закону (1Ъ'.116), то ~ дд (х) Х; (х) сИ Я; (1) = Н(1) ~ Х; (х) йх (17.120) т.

е. функции Я,. (1) для всех номеров ~ различаются лишь мас- штабом. 2бб Для определения функций времени 3; (~) умножим обе части уравнения (1Ч.117) на Х;(х) и проинтегрируем результат по всей длиие стержня. При интегрировании в правой части исчезнут все слагаемые, кроме ~-го (вследствие свойства ортогональности собственных функций), и для 5; (1) получится формула Если нагружение осуществляется сосредоточенными силами Р, (1), Р, (1),... в сечениях с абсциссами а, б, ..., то формула (1Ч.119) принимает вид Ра (1) Хю (а) — ' Рь (1) Х; (Ь) -'- 1( ю Х, (х) с1х о Определение функций Т; (~) основано на том, что каждое слагаемое в правой части верхнего ряда (1Ъ'.118) вызывает движение, определяемое соответствующим слагаемым нижнего ряда (Ж.118).

Поэтому в уравнение (1Ъ'.117) можно подставить д =- Х, (х) 5; (1); и = Х; (х) Т; (1). Тогда получим уравнение КГХ;Т, — рГХ,Т', = ХД, или после деления на рГХ,Т,. ~ х~ т; 5у с — = — + — —. х, т; рРт; ' Согласно первой формуле (!1.183) левая часть полученного равенства постоянна и равна — рК Следовательно, тому же равна и правая часть; отсюда Т, +Р',Т= — — '„'. р Как было указано выше (см. стр. 196), решение такого уравнения имеет вид с 1 т,= — — 1 я,Фрипп,и — )д . о Эта формула и решает задачу, так как дает возможность образовать вторую из сумм (1Ъ'.118).

Если нагрузка следует закону (1T.116), то с учетом выражения (1Ъ'.120) можно написать ~ до (х) Х; (х) дх Т;=- —, ~ Н (т) з1п р; (1 — т) сЫ. (И.122) рРР; 1 Х,. (х) Дх о В случае произвольной периодической функции Н (т) следует воспользоваться способами, изложенным в п. 18. Конечно, в простейшем случае (1Ч.112) проще искать решение в виде (1Ч.106), определяя У (х) по выражению (1У,113), Уравнения изгибных нолебаний балок Гармоническое возбуждение; непосредственное решение. Рассмотрим в качестве типичного примера случай, когда возмущающая нагрузка задана в виде сосредоточенной силы Р = Р,з1па~ (1Ч.123) или комбинации нескольких нагрузок того же вида с одинаковой частотой.

Решение для прогибов будем разыскивать в виде у (х, 1) = 1 (х) з'1п н1, (1Ъ'.124) сводя задачу к определению формы колебаний (кривой амплитуд прогибов) 1' (х). В случае т = сопМ, подставив в уравнение (11.196) выражение (%.124), получим подобно уравнению (11.199) 1'" — 1' == 0. (1Ъ'.125) у) Рр Хпш р Решение дифференциального уравнения (1Ч.125) имеет впд, подобный выражению (1Ч.126): Рр ллю1 1' = С15 + СгТ+ Сз(7+ С417 (1Ъ 126) где 5, Т, 1.7 и [7 — функции Крылова (11.202), в которых вместо выражения (11.200) нужно принять 7 ти' Рис 1~' 47 lг= ), Е.7 Для определения постоянных С,, С,, С., и С„входящих в об- щее решение (1Ч.126), неооходимо использовать граничные усло- вия. Кроме сказанного выше 1см.

формулы (11.206) — (11.210)~, здесь необходимо рассмотреть, по крайней мере, еще два случая. Возмущающая сила Р, з1п о~ приложена на конце балки (рис. 1Ч.47, а, б). Тогда этой силе должна быть равна попереч- ная сила: Я = Е/у'" = Е3 1"" з1п в1, и граничное условие принимает вид 1"" = -~- —" Е1 (верхний знак соответствует силе, приложенной к правому концу, нижний знак — силе, приложенной к левому концу). Кроме того, здесь же должно быть 1'" = О. Возмущающая сила Р„з1п а1 приложена в промежуточном сечении балки (рис.

1Ч.47, в). В этом сечении должны выполняться четыре условия сопряжения: 1'(а ) = У (а,); Г (а ) = Ъ" (а,); Ъ'" (а ) = Ъ'" (а,); (+) ЕУ ' жв где а — абсцисса сечения, в котором приложена возмущающая сила. Индексы — и + соответствуют сечениям, расположенным непосредственно рядом слева, и справа от сечения а. Первые три условия означают непрерывность прогиба, угла поворота сечения и изгибающего момента в точке приложения возмугца!огцей силы; четвертое условие выражает разрыв функции поперечной силы в указанном сечении на величину Р,. При большом числе возмущающих сил удобен предложенный Н.

И. Безуховым способ начальных параметров. Пример 28. Опреде~гипгь кривую алгплитуд колебаний консольной балки длиной 1, если к ее свободному правому концу приложена возмугцаюгцая сила (11г.123). Граничные условия имеюг вид: К (О) = 0; У" (О) — 0; )' " (1) =- 0; )"" (1) = — ' Первые два условия дают Сг —— Св = О, а третье и четвертое условия приводят к уравнениям ггз (С ~г+ Е Уг) О.

ггз (!з )г г С .чг), о отсюда находим уг гзп рз — у 1') Подставив это в выражение (1гг".126), получим Р,(ргрк — Уги,) ДзЕ,1(Яг 7 ~/) Яг 4 =' ьзЕу(сз у )г ) о. (1У.127) Амплитуда прогиба конца консоли равна 1'о (Ег~'г — Уг(уг) ггзЕУ (сз У )г ) Если подставить сюда выражения функций Крылова, то получится Ро (з!г И соз И вЂ” с!г И з!гт И) 'к'Е5 (с!г И соз И г -! ) Отсюда видно, что при с)т И соз И = 0 наступает резонанс; этот случай соответствует совпадению частоты возмущающей силы с какои-либо из собственных частот. В то же время, если выполняется равенство !д И = !!г И, то конец консоли будет оставаться неподвижным (антирезонанс).

(1Ч.128) и отличается от уравнения (11.198) наличием правой части. Разложение решения в ряд по собственным функциям. В общем случае, когда возмущающая поперечная нагрузка задана произвольным законом а=у(х, 1), дифференциальное уравнение приобретает вид доу ЕУ доу г7 - дга т дк'г т Как и выше (см. стр.

266), представим д (х, 1) в виде ряда д (х, 1) = Х, (х) 5, (1) + Х, (х) 5, (1) +... (1Ч.129) и также в виде ряда будем разыскивать решения для прогиба у (х, ~) = Х, (х) Т, (~) + Х, (х) Т, (~) +... (ГЧ.130) Для определения функций времени 5;(~) умножим обе части равенства (1У.129) на Х,(х) и проинтегрируем результат по всей длине балки; ввиду ортогональности собственных функций в правой части остается только одно слагаемое, соответствующее номер у 1, так что ~ д (х, ~) Х; (х) дх 5;И) =— (1У.131) Х~ (х) Ых о Эта формула совпадает по записи с формулой (1Ч.119), выведенной выше для случая продольных колебаний, но в выражении (17.131) Х; (х) представляют собой собственные функции задачи о свободных колебаниях балки.

Поэтому здесь также справедлива формула (1Ъ'.121), относящаяся к случаю сосредоточенных возмущающих сил. Учитывая, что каждое слагаемое ряда (1Ъ'.129) вызывает движение, описываемое соответствующим слагаемым ряда (1Ъ'.130), можно записать уравнение (17.128) в виде Х,Т, + Е7 Х Т. Разделив обе части на Х;Т;, получим т Х; Т; тТ; Левая часть этого равенства равна — р',;, поэтому Ти.

Б~ 2 — = — р. Т; тТ, Отсюда получим дифференциальное уравнение для Т;: Т, — р',Т,, = Общее решение этого уравнения имеет вид (17.8): Т, (1) — ~ 5; (т) з1п р; (1 — т) с1т. о (1Ч.132) Изложенный способ позволяет получить решения и в случаях переменного сечения, если заранее найдены собственные формы Х; и собственные частоты р;. 270 ГЛАВА Ч ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ М.

ОСНОВНОК УГАВНКНИК В ряде случаев параметры механической системы (т. е. ее жесткость или масса) не остаются неизменными, а являются некоторыми заданными функциями времени (обычно периодическими). Если нарушить состояние равновесия такой системы, то будут совершаться своеобразные колебания: с одной стороны, их нельзя назвать свободными, поскольку система неавтономна и испытывает заданное внешнее воздействие в виде изменения параметра, а с другой стороны, они не являются вынужденными, так как внешнее воздействие не проявляется в виде заданной силы.