Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара, страница 51

х (Ч1.23) хЗ Нижний предел интегрирования соответствует изображающей точке 3 (см. рис. У1.5), где х, = оо — о~; верхний предел соответствует точке 4, для которой оз — — оо — с4. Период автоколебаний составляет т=- ~,+ !г. Пример 31. Как и в примере 30, характеристика трения имеет вид а Зг, ! — + — з- ЗЛ„! " х+ и оо = 0,5и,. Найти период и размах автокалебаний. По характеристике трения находим оз — $' Зоз 3,468со* Из = йг = ЗЙ,; из =- о„— 2оо; Р4 — йз й* Пределы интегрирования в формуле (И.23): хз = "о оз = — 2,468оо' хо = ао "з = "о.

стороны, поэтому удобнее говорить не об амплитуде, а о размахе автоколебаний; он определяется суммой ~хам+ ~хо~=(Йз — Йо)/с (И.21) Длительность первого этапа движения по формуле (Ъ'1.22) ЗР, — Р, 2Р, 1= со, СО6 Производная Я по скорости х: Длительность второго этапа движения по формуле (Ч1.2З) — ~о — 2,468оо оказывается почти вдвое меньшей длительности первого этапа. Период автоколебаний т 1,+~, ЗИ~ спо Размах колебаний по формуле (Ъ'!.2!) (ЗЯ.„— Р,)/с = 2Я,!с.

Фрикционные автоколебания при упрощенной характеристике трения Хотя одновременный учет массы колеблющегося объекта и значительных сил трения оказывается в общем случае затруднительным, однако в некоторых случаях размеры колеблющихся объектов никак не допускают предположения о безмассовости системы. Так, например, отмечено, что не всегда обеспечивается плавное движение с весьма малыми скоростями, необходимыми при подаче на металл орежущих станках: вместо него получается движение с периодическими остановками. Этот вопрос О: важен для тяжелых станков, где применяются малые скорости подачи и перемещаемые узлы имеют очень большой вес.

Рис. И.7 Приближенное решение подобных вопросов возможно при помощи упрощенной характеристики трения, приведенной на рис. И.7. Эта характеристика дает два значения силы трения: максимальную силу трения покоя К, и постоянную силу трения движения Я,. Рассмотрим движение массивного груза ! (см. рис. 111.3, б), связанного пру>кипой 2 с ведущим звеном 3. Скорость движения последнего будем считать постоянной и равной Пусть движение груза 1 и звена 3 совершается с общей скоростью о,. Сила упругости пружины Р равна силе трения Р,.

Если скорость о, весьма мала, то малое случайное препятствие может оказаться достаточным для остановки груза. Рассмотрим, что произойдет после этого. Ведущее звено, продолжая движение вправо, будет сжимать пружину до тех пор, пока сила сжатия Р не сравняется с максимальной силой трения покоя Р1. Так как после этого дальнейший рост силы трения невозможен, то произойдет «срыв» груза 1. При этом сила трения Р1 мгновенно уменьшится до значения Д„ тогда как сила сжатия пружины Р = й1 мгновенно не может измениться и в первое мгновение начавшегося движения будет по-прежнему равна Я,.

Мгновение срыва примем за начало отсчета времени (1 — О); при этом равны нулю как смещение х, так и скорость груза х, т. е. х = О; х = О. При срыве нельзя предполагать мгновенного скачка скорости. Такому скачку соответствует бесконечно большое ускорение, а следовательно, и бесконечно большие силы; здесь на груз в первое мгновение движения действует конечная сила Я1 — Я2, Рассмотрим последующее движение груза.

К текущему мгновению длина пружины изменится на величину х — в,1 и сила упругости пружины уменьшится до величины Р (~) = !~ — с (х — оо~). (И.25) Дифференциальное уравнение движения груза запишется в виде Й, — с (х — оо 1) — Р, = тх, или х+ р х = р ~,~+ 2 2 ~ ~11 ~12 Решение этого уравнения, отвечающее начальным условиям (И.24), имеет вид х = в„1 —" з1п р1+ ' ' (! — соз р1). (Ч!.26) Р ' с х = о, — ц1 соз р1 + Р Ж ~12) ' зш р1. с (Ч!.27) Следующая остановка груза произойдет в мгновение, когда х вновь обратится в нуль. Условие остановки х = О приводит согласно соотношению (И.27) к уравнению ~» — ~~ СОЗ Р~1+ Р (~11 И2) ' з1п р~1 = О, с где 1, — время от момента срыва до новой остановки.

Первое слагаемое правой части выражает движение со скоростью ведущего звена, а остальные слагаемые — дополнительные колебания груза. Скорость движения груза меняется по закону Введем безразмерный параметр ( ~Ч!.28) где Л~ — разность коэффициентов трения покоя Условие остановки принимает вид и Мп р1, = соз р1, — 1. и движения. (Ъ'! . 29) Решая это трансцендентное уравнение, находим 2а а2 з1п р1, = —,,; сов р1, = 1+ а~' 1-)-а'' (Ъ'1.30) Получив отсюда значение ~„можно по формуле (Ъ'1.25) определить абсциссу х груза в момент новой остановки, т. е, путь, пройденный грузом за время 1,: х, = а,1, — —" з1п р1, + ' ' (1 — сов р1,) = о,1, + С учетом выражений (И.ЗО) найдем по формуле (Ъ'1,25) силу сжатия пружины в момент остановки: Р(1,) =М,— Р,. и соответствующее укорочение пружины составит ~Р 2 Я1 — Р,) с с Этой же величине равен путь, который проходит ведущее звено за время, пока груз стоит на месте.

Следовательно, длительность состояния покоя груза равна М 2Я,— Я) 2а 2 ср ссО Тот же результат можно найти из условия ~о (1д + ~а) (Ч1.31) выражающего равенство перемещений груза и ведущего звена за период. Таким образом, период автоколебаний груза определяется формулой ~= т,+г„ ЗОО Так как Р, ( Я„то Р (1,) ( Р,; следовательно, после остановки груз некоторое время будет оставаться на месте, пока сила упругости пружины вновь не достигнет значения предельной силы трения покоя Я,.

За время, в течение которого груз покоится, сила сжатия пружины постепенно возрастает на величину ЬР = й, — Р (~,) = 2 (й, — Р,), для пользования которой нужно сначала найти 1, из выражения (У1.30), а затем 1а из формулы (И.31). В момент 1 = Т происходит следующий срыв груза, и начинается новый цикл автоколебаний. Характер движения показан на рис.

Ъ'1.8. Чем меньше скорость ведущего звена, тем более резко выражен процесс автоколебаний. Действительно, при малых значениях о, безразмерный параметр я становится весьма большим, и из выражения (Ъ'1.30) в этом случае приближенно следует а) х з(п р1, — 0; 1, = л/р.

При учете выражения (И.31) период автоколебаний приближенно равняется Т= и-';2а Р б)х Значение второго слагаемого в числителе увеличивается с уменьшением скорости о . Рис. Ъ'1,8 Пример 32. Определить, при каком значении парам~тра сь длительность остановки груза равна длительности его движения. Найти соответспввующую скорость о„если р = 50 с ' и Л1 = 0,05, Согласно условию 1а — — 1,. Поэтому, обозначив р1, = р1.

= р, имеем из выражений (Ч!.30) и (И.31) 2р з1п 2р = — —. 1+ (1' Наименьший отличный от нуля корень этого трансцендентного уравнения р = 2,03. Теперь из формулы (И.28) можно получить соответствующую среднюю скорость движения оа =- — Л1 — 0,48 см,~с, ар Если средняя скорость движения и -' 0,48 см/с, то интервалы остановок будут короче интервалов движения. Как видно, чем жестче система (т.

е. чем больше ее собственная частота р), тем меньшей оказывается скорость о,, отвечающая условию задачи. ! Г Л А ВА Ч11 УДАР Э2, ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ Ударные явления в механических системах весьма разнообразны, но их объединяют следующие общие черты: 1) с кинематической стороны — кратковременность акта удара, в течение которого происходят резкие изменения скоростей точек системы; 2) с динамической стороны — возникновение, а затем исчезновение весьма больших ударных сил. В некоторых случаях ударные силы можно считать заданными внешними силами, не зависящими от свойств и движения механической системы (например, действие взрывной волны на сооружение).

В сущп)Р Ми ности, это обычные возмущающие силы Р (рис. И1.1, а), и их действие может быть исследовано так, как это было пояснено в гл. 1У, где О речь шла о выну.жденных колебаниях. Иногда внешние воздействия задаются кинематическим способом. В частности, это относится к случаям, когда некоторый контейнер испытывает кратковременное интенсивное сотрясение, заданное в виде зависимости ускорения ы от времени (рис. Ч11.1, б), и нужно определить движения тел, которые закреплены в контейнере.

Обычно именно так ставится вопрос при исследованиях ударостойкости аппаратуры и оборудования, установленных на движущихся объектах, которые подвержены сотрясениям. Однако нет необходимости отдельно изучать этот случай, так как переход от заданных ускорений основания к эквивалентным силам, приложенным к телам, движение которых исследуется, очевиден: нужно исследовать относительное движение тел по отношению к контейнеру, введя в рассмотрение переносную и кориолисову силы инерции.

После 302 о Рис. Ч1!.1 этого получается обычная задача о вынужденных колебаниях (движеннях) рассматриваемых тел. Таким образом, задачи названных двух типов в сущности относятся к теории вынужденных колебаний, хотя формально их иногда относят к задачам об ударе; ниже эти задачи не рассматриваются. Весьма просты задачи, в которых рассматривается удар движущихся тел по упругим безынерционным конструкциям.