М.Н. Кирсанов - Краткий курс лекций, страница 7

Разложим по ортам подвижных осейρ~ = x1~i1 + y1~j1 + z1~k1 .(75)Учитывая, что орты подвижной системы являются функциями времени, получимd~ρddx1~dy1 ~dz1 ~d~i1d~j1d~k1= (x1~i1 + y1~j1 + z1~k1 ) =i1 +j1 +k1 +x1 +y1 +z1 .dtdtdtdtdtdtdtdt(76)Первые три слагаемых представляют собой разложение некоторого вектора в подвижных осях. Назовем этот вектор локальной производной вектора и обозначим˜ρd~dx1~dy1 ~dz1 ~=i1 +j1 +k1 .dtdtdtdt(77)По формулам Пуассонаd~i1d~j1d~k1= ~ω × ~i1 ,= ~ω × ~j1 ,= ~ω × ~k1 .dtdtdtВ итоге получаем формулу Бура[15]˜ρd~ρd~=+ ~ω × ρ~,(78)dtdtгде ~ω — вектор угловой скорости системы координат Ox1 y1 z1 относительно неподвижной Oxyz.25.2Сложение скоростейОпределение. Абсолютной скоростью точки называется скорость точки относительно неподвижнойсистемы координат.Определение. Относительной скоростью точки называется скорость точки относительно неподвижной системы.Определение.

Переносной скоростью точки M называется скорость относительно неподвижнойсистемы координат той точки в подвижной системе координат, с которой в данный момент совпадаетрассматриваемая точка M. Продифференцируем векторное равенство (рис. 75)~rM = ~ro1 + ρ~.36Используя понятие локальной производной, получим˜~M = d ~ro1 + d ρ~ = V01 + d~ρ + ~ω × ρ~ = V~e + V~rVdtdtdt˜ρ~r = d~где V~e = V01 + ~ω × ρ~ — переносная скорость, V— относительная скорость.dtТеорема. Абсолютная скорость точки в сложном движении равняется геометрической сумме переносной и относительной скорости.~ =V~r + V~e .V(79)25.3 Сложение ускоренийПродифференцируем~M = V01 + ~ω × ρ~ + V~r .VПолучим~d~r ) = dV01 + d~ω × ρ~ + ~ω × d~ρ + dVr =(V01 + ~ω × ρ~ + Vdtdtdtdtdt!˜˜~d Vrd~ρ~r = ~a01 + ~ε × ρ~ + 2~ω × V~r + ω+ ~ω × ρ~ ++ω~ ×V~ × (~ω × ρ~) + ~ar ,= ~a01 + ~ε × ρ~ + ~ω ×dtdt~aM =(80)или~a = ~ar + ~ae + ~ak ,(81)где~r — ускорение Кориолиса,• ~ak = 2~ω × V• ~ae = ~a01 + ~ε × ρ~ + ~ω × (~ω × ρ~) — переносное ускорение,• ~ar — относительное ускорение.Теорема.

(Кориолис) Абсолютное ускорение точки в сложном движении равняется геометрической сумме переносного, относительного и кориолисова ускорения.2626.1Вращение твердого тела вокруг точкиУглы ЭйлераРассмотрим движение по отношению к системе отсчета Ox1 y1 z1 твердого тела, закрепленного так,что одна его точка О остается во все время движения неподвижной. Такое движение совершает,например, волчок, у которого неподвижна точка его опоры о плоскость, или любое другое тело,закрепленное в точке O шаровым шарниром.

Найдем, какими параметрами определяется положениетела, имеющего неподвижную точку. Для этого свяжем жестко с телом трехгранник Oxyz, по положению которого можно судить о положении тела (рис. 76). Линия OK, вдоль которой пересекаютсяплоскости Oxy и Ox1 y1 , называется линией узлов. Тогда положение по отношению к осям Ox1 y1 z1трехгранника Oxyz, а с ним и самого тела можно определить углами:ϕ = 6 KOx; ψ = 6 x1 OK; θ = 6 z1 Oz(82)Эти углы, называемые углами Эйлера, имеют следующие, взятые из небесной механики наименования, ϕ — угол собственного вращения, ψ — угол прецессии, θ — угол нутации. Положительные37направления отсчета углов показаны на рис. 76 стрелками.

Чтобы знать движение тела, надо знатьего положение по отношению к осям Ox1 y1 z1 в любой момент времени, т.е. знать зависимости:ϕ = f1 (t); ψ = f2 (t); θ = f3 (t)(83)Эти уравнения, определяющие закон происходящего движения, называются уравнениями движениятвердого тела вокруг неподвижной точки.Рис. 7626.2Рис. 77Кинематические уравнения ЭйлераНайдем проекции угловой скорости на подвижные оси координат.

Примем (без доказательства), что~˙ + θ~˙ + ϕ~ω = ψ~˙ .Выполним дополнительное построение. Проведем плоскость, проходящую через оси 0z и 0z1 . Линию~˙ на компонентыпересечения этой плоскости и подвижной плоскости x0y обозначим 0L. Разложим ψ~˙ sin ϕ и ψ~˙ cos ϕ (рис. 77). Используя равенство углов со взаимно перпендикулярными сторонамиψ(0L ⊥ 0K, 0x ⊥ 0y), заметим, что угол между 0y и 0L равен ϕ. Отсюда, раскладывая компоненту~˙ sin ϕ по осям 0x и 0y, получимψωx = ψ̇ sin ϕ sin θ + θ̇ cos ϕ,ωy = ψ̇ cos ϕ sin θ − θ̇ sin ϕ,ωz = ψ̇ cos θ + ϕ̇.Эти уравнения называются кинематическими уравнениями Эйлера для определения проекцииугловой скорости на подвижные оси координат при сферическом движении.Уравнения Эйлера в проекции на неподвижные оси координатωx0 = ϕ̇ sin ψ sin θ + θ̇ cos ψ,ωy0 = −ϕ̇ cos ψ sin θ + θ̇ sin ψ,ωz 0 = ϕ̇ cos θ + ψ̇,Модуль угловой скоростиω=qψ̇ 2 + ϕ̇2 + ϑ̇2 + 2ϕ̇ψ̇ cos ϑ.Легко проверить, что эту формулу можно получить как из уравнений (26.2), так и из уравнений(26.2):qω = ωx20 + ωy20 + ωz20 .3827Законы НьютонаПервый закон Ньютона.

Существуют такие системы отсчета, относительно которых, всякое телосохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если на него не действуютникакие силы или действие сил скомпенсировано. Такие системы отсчета называются инерциальными.Второй закон Ньютона. Ускорение материальной точки пропорционально приложенной силе и направлено по прямой, по которой эта сила действует.d(m~v ) = F~dt(84)илиd~v= F~(85)dtТретий закон Ньютона. Всякому действию всегда есть равное и противоположно направленноепротиводействие. С большой степенью точности можно считать инерциальной систему координат сначалом в центре масс Солнечной системы и осями, направленными на "неподвижные"звезды.Принцип относительности Галилея.

Всякая система координат, которая движется относительноинерциальной системы равномерно и прямолинейно, тоже является инерциальной.mЗамечание 27.1 Пределы применимости законов Ньютона:L > 10−8 см (внутри атома законы не применимы)v c (c — скорость света)Рис. 78Пусть материальная точка движется под действием силы F~ .

С учетом того, что m = const иrv = d~выражение (85) можно переписать в видеdtmd2~r= F~dt2(86)~ =Здесь ~r = x~i + y~j + z~k, x, y, z — координаты точки M в инерциальной системе. Поэтому V~~~vx~i + vy~j + vz k. Если F = Fx~i + Fy~j + Fz k, то уравнение (85) можно переписать виде системы шестискалярных дифференциальных уравнений первого порядка:dx= vxdtdy= vydtdz= vzdtmdvx= Fxdtmdvy= Fydtmdvz= Fzdt(87)или системы трех скалярных дифференциальных уравнений второго порядка:md2 x= Fxdt2md2 y= Fydt239md2 z= Fzdt2(88)28Две основные задачи динамики материальной точкиd~vВторой закон Ньютона, определяемый формулой m = F~ , позволяет сформулировать две основныеdtзадачи динамики материальной точки.Первая задача Даны масса точки m и траектория движения ~r = ~r(t) Найти силу F~ , котораявызывает это движение.Если требуется определить силу как функцию времени, то эта задача решается двукратнымd2~rдифференцированием F~ = m 2dtВторая задача Даны масса точки и сила, действующая на точку, как функция положения,скорости и, быть может, времени: m, F~ (~r, ~v , t).

Определить траекторию движения ~r = ~r(t) точки.Для решения этой задачи необходимо интегрировать систему дифференциальных уравнений:d2 x= Fx (x, y, z.vv , vy , vz , t)dt2 2d ym 2 = Fy (x, y, z.vv , vy , vz , t)dtd2 zm 2 = Fz (x, y, z.vv , vy , vz , t)dtm(89)Систему (89)можно переписать в форме Коши:dx= vxdtdvx=dtdvy=dtdvz=dtdy= vydtdz= vzdt1Fx (x, y, z.vv , vy , vz , t)m1Fy (x, y, z.vv , vy , vz , t)m1Fz (x, y, z.vv , vy , vz , t)m(90)Система (90) однозначно не определяет траекторию движения точки, так как общее решение этойсистемы зависит от шести произвольных постоянных:x = x(c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , t)y = y(c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , t)z = z(c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , t)vx = vx (c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , t)vy = vy (c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , t)vz = vz (c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , t)(91)Для определения произвольных постоянных необходимо задать шесть начальных условий:x|t=0 = x0 y|t=0 = y 0 z|t=0 = z 0vx |t=0 = vx0 vy |t=0 = vy0 vz |t=0 = vz0(92)Полагая в общем решении t=0 (91), получаем систему алгебраических уравнений:x0 = x(c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , 0)y 0 = y(c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , 0)z 0 = z(c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , 0)vx0 = vx (c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , 0)vy0 = vy (c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , 0)vz0 = vz (c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , 0)40(93)С помощью системы (93) можно определить постоянные интегрирования:c1 = c1 (x0 , y 0 , z 0 , vx0 , vy0 , vz0 )...0c6 = c6 (x , y 0 , z 0 , vx0 , vy0 , vz0 )(94)Подставляя выражения (94) в (91) получим:x = x(t, x0 , y 0 , z 0 , vx0 , vy0 , vz0 )y = y(t, x0, y 0 , z 0 , vx0 , vy0 , vz0 )z = z(t, x0 , y 0 , z 0 , vx0 , vy0 , vz0 )(95)vx = vx (t, x0 , y 0 , z 0 , vx0 , vy0 , vz0 )vy = vy (t, x0 , y 0 , z 0 , vx0 , vy0 , vz0 )vz = vz (t, x0 , y 0 , z 0 , vx0 , vy0 , vz0 )Уравнения (95) определяют траекторию движения точки.

Это и есть решение второй основной задачидинамики точки.29Свойства внутренних сил системы материальных точек29.1 Общие определенияРассмотрим систему n не связанных между собой материальных точек с массами m1 , m2 , . . . , mn ирадиусами-векторами r1 , r2 , . . . , rn в инерциальной системе координат x∗ , y ∗, z ∗ .Разделим условно силы, действующие на систему точек, на внутренние и внешние.Определение.