М.Н. Кирсанов - Краткий курс лекций, страница 12

99). Так как mx (S)координат по оси z так, чтобы импульс S~ = 0, то из (189) и (190) следует, что центробежные моменты инерции тела относительно новыхmy (S)осей равны нулю: Jxz = 0, Jyz = 0. Это возможно для тел, обладающих плоскостью симметрии xOy.Из (186) при Sx = −S следуетMa(Ω − ω) = S,а из (191) имеемJz (Ω − ω) = Sh,где обозначено h = OK.

Из последних двух уравнений сразу же получимJzh=.Ma71На таком расстоянии от оси вращения должен быть приложен ударный импульс, не вызывающийударных реакций.52Колебания системы с 2 степенями свободы52.1 Малые колебанияДля малых колебаний1T = (a11 q̇12 + 2a12 q̇1 q̇2 + a22 q̇22 )21Π = Π0 + (c11 q12 + 2c12 q1 q2 + c22 q22 )2aij , cij — инерционные и квазиупругие коэффициенты.Используем уравнения Лагранжа 2-го рода∂T∂Πd ∂T−=−,dt ∂ q̇1 ∂q1∂q1d ∂T∂T∂Π−=−.dt ∂ q̇2 ∂q2∂q2Получимa11 q̈1 + a12 q̈2 + c11 q1 + c12 q2 = 0,a12 q̈1 + a22 q̈2 + c12 q1 + c22 q2 = 0.Решение ищем в видеq1 = A sin(kt + α), q2 = B sin(kt + α),получим(c11 − a11 k 2 )A + (c12 − a12 k 2 )B = 0,(c12 − a12 k 2 )A + (c22 − a22 k 2 )B = 0.Нетривиальное решение для A и B однородной системы возможно, если коэффициенты системыпропорциональны (определитель равен 0):−c11 − a11 k 2c12 − a12 k 2B=−=22c12 − a12 kc22 − a22 kAОбозначим B/A = n – коэффициент формы.Отсюда получаем уравнение частот(c11 − a11 k 2 )(c22 − a22 k 2 ) = (c12 − a12 k 2 )2В результате получим две совокупности решений(1)(1)(2)(2)q1 = A1 sin(k1 t + α1 ), q2 = n1 A1 sin(k1 t + α1 ),q1 = A2 sin(k2 t + α2 ), q2 = n2 A2 sin(k2 t + α2 ).Общее решениеq1 = A1 sin(k1 t + α1 ) + A2 sin(k2 t + α2 ),q2 = n1 A1 sin(k1 t + α1 ) + n2 A2 sin(k2 t + α2 ).7252.2ПримерРассмотрим колебания двойного маятника [14].ϕ1ϕ1~vAm~g ? 1Aϕ2A~vCA~vAϕ21m~g ?BBРис.

1Рис. 2В качестве обобщенных координат выберем углы ϕ1 , ϕ2 . Для малых колебаний1T = (J1 ϕ̇21 + mvc2 + J2 ϕ̇22 )2где J1 = ml2 /3, J2 = ml2 /12,vc = lϕ̇1 + lϕ̇2 /2Потенциальная энергия сил тяжести (нулевое положение в опоре)Π = −mgl/2 cos ϕ1 − mgl(cos ϕ1 + 0.5 cos ϕ2 ).Полагая для малых углов cos ϕ = 1 − ϕ2 /2, получим1Π = Π0 + mgl(3ϕ21 /2 + ϕ22 /2)2Уравнение частотk 4 − 6gk 2/l + (27/7)(g/l)2 = 0Решаем уравнение.

Получаем частоты малых собственных колебанийqqk1 = 0.86 g/l, k2 = 2.3 g/lКоэффициенты формы n1 = 1.43, n2 = −2.1. На рис. 52.2 изображено положение маятника приn2 = −2.1.Список литературы[1] Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах.Т.2. — М.:Наука, 1984.[2] Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р., Курс теоретической механики.

— СПб.:Лань, 1998.[3] Вильке В.Г. Теоретическая механика. — М.: Изд-во МГУ, 1998.[4] Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Решебник. Высшая математика. — М.: ФИЗМАТЛИТ,2001.[5] Кирсанов М.Н. Решебник. Теоретическая механика/ Под ред. А. И. Кириллова. — М.: ФИЗМАТЛИТ,2002.73[6] Кирсанов М.Н. Сборник экзаменационных задач по динамике. — М.: МЭИ, 2005.[7] Кирсанов М. Н. Задачи по теоретической механике с решениями в Maple 11. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010.[8] Кирсанов М. Н.

Практика программирования в системе Maple. — М.: Издательский дом МЭИ, 2011.[9] Кирсанов М. Н. Maple и Maplets. Решение задач механики. — СПб.:Лань, 2012.[10] Новожилов И.В., Зацепин М.Ф. Типовые расчеты по теоретической механике на базе ЭВМ. — М.:Высшая школа, 1986.[11] Павловский М.А., Акинфиева Л.Ю., Бойчук О.Ф. Теоретическая механика. Динамика. — Киев: Выщашк., 1990.[12] Розенблат Г.М. Механика в задачах и решениях. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — 160 c.[13] Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: Учеб. пособие для техн.

вузов /Яблонский А.А., Норейко С.С., Вольфсон С.А. и др.; Под ред. А.А.Яблонского.— 3-е изд — М.:Высшаяшкола, 1972.[14] Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. — М.: Высшая школа, 1998.[15] Федута А.А., Чигарев А.В., Чигарев Ю.В. Теоретическая механика и методы математики. — Мн.: УП"Технопринт", 2000.74Предметный указательМгновенный центр скоростей, 31, 35Методграфов, 30, 32, 35координатный, 31Моментколичества движения, 45, 69количества движения тела, 46трения качения, 18Мощность, 57, 65АТТ, 4Абсолютная скорость, 36Абсолютно твердое тело, 4Аксиомы статики, 5Ампер А., 19Вариньон, 15Винт, 19Возможная скорость, 59Возможное перемещение, 58Вращательное движение, 56Новожилов И.В., 74Нутация, 37Главныйвектор, 10момент, 10Граф, 30, 35Гюйгенс, 54Обобщенная сила, 65Общие уравнения динамики, 62Осадченко Н.В., 57Осестремительное ускорение, 27, 33Осинеподвижные, 38Оси Кенига, 49Относительная скорость, 36Относительное ускорение, 37Движениевращательное, 23поступательное, 23Динама, 19Динамические уравнения Эйлера, 57Пара сил, 11Параметр винта, 19Переносная скорость, 36Переносное ускорение, 37Плоское движение, 28Полюс, 24, 30, 34Поступательное движение, 25, 56ПринципДаламбера-Лагранжа, 62возможных перемещений, 62Принцип Даламбера, 47Пуассон, 36ЗаконНьютона, 5, 17, 39сложения по правилу параллелограмма, 5сохранения импульса, 43, 69Зацепин М.Ф., 74Импульс, 42ударный, 68, 69Касательное ускорение, 33Кениг, 49, 55Кенигова система координат, 55Кинематические уравненияЭйлера, 38Кинетический момент, 45, 71Кориолис Г., 37Коэффициент трения качения, 18Коэффициенты формы, 73Кулон Ш., 17Работа, 57Равнодействующая, 4Радиус кривизны, 21Реакции связей, 5, 14Решебник, 73Связь, 58голономная, 59, 61идеальная, 61, 62кинематическая, 61неголономная, 61нестационарная, 60неудерживающая, 59Линия узлов, 37Локальная производная, 36МЦС, 31, 32, 35Малые колебания, 73Материальная точка, 475сложения ускорений, 37трапеции, 32Тождества Лагранжа, 65Траектория, 21Трениекачения, 17скольжения, 17односторонняя, 59реономная, 60склерономная, 60стационарная, 59, 60удерживающая, 59Сила, 4реакции связи, 14Сила инерции, 47Силыактивные, 47инерции, 47Система силвинт, 14параллельных, 14, 16плоская, 14сходящихся, 14, 15Скорость, 20абсолютная, 36относительная, 36переносная, 36при плоском движении, 34угловая, 23Соприкасающейся плоскость, 21Статический инвариантвторой, 13первый, 13Угловое ускорение, 27Уголнутации, 37прецессии, 37собственного вращения, 37Удар, 68Ударный импульс, 69, 72УравнениеЛагранжа 2-го рода, 68движения системы, 68центральной оси, 19частот, 73Уравнениядинамические Эйлера, 57трех угловых ускорений, 32Ускорение, 20Кориолиса, 37относительное, 37переносное, 37при плоском движении, 30, 35угловое, 23Тарг С.М., 74Тейлор, 60Тензор инерции, 53Теоремао движении центра масс, 44Вариньона, 15Гюйгенса, 53, 54Кенига, 55моментов, 46о независимости угловой скорости от выбора полюса, 25о приведении к силе и паре, 11о приведении к двум силам, 6о проекциях векторов моментов, 9о проекциях скоростей, 34о распределении скоростей, 24об изменении количества движения, 68об изменении кинетического момента, 46об изменении количества движения, 69об изменении количества движения системы, 42об эквивалентности нулю системы сил, 11об эквивалентности системы сил, 12сложения скоростей, 37ФормулаБура, 36Пуассона, 36Ривальса, 30Эйлера, 26Центр удара, 70Центр масс, 39, 43, 44, 49, 55, 70Центробежные моменты инерции, 54, 71Частоты, 73Число степеней свободы, 63Шаг винта, 19Шарнирсферический, 14цилиндрический, 14шаровой, 37Эйлер, 26, 37Эйлера углы, 37Эквивалентные системы сил, 476.