М.Н. Кирсанов - Краткий курс лекций, страница 8

Внешние силы. Силы, действующие на точки системы со стороны тел, не входя~(b)щих в состав рассматриваемой системы, называются внешними и обозначаются FvОпределение. Внутренние силы. Силы взаимодействия между точками системы называются~(i)внутренними и обозначаются Fv .Деление сил на внешние и внутренние не носит абсолютного характера, а зависит от рассматриваемой механической системы.Например, в системе Земля, Луна силы взаимодействия между Землей и Луной могут рассматриваться как внутренние, а силы притяжения Земли и Луны к Солнцу - как внешние.

Если жерассматривать систему Солнце, Земля, Луна, то все указанные выше силы - внутренние.29.2Свойства внутренних силСумма внутренних сил, приложенных к точке с массой m1 со стороны остальных точек системы:(i)(i)(i)(i)F~1 = F~1/2 + F~1/3 + . . . + F~1/n ,(96)(i)где F~1/ν - сила, которая действует на точку с массой m1 со стороны точки с массой mν .Для точки с массой m2 и других можно записать:(i)(i)(i)(i)F~2 = F~2/1 + F~2/3 + .

. . + F~2/n....(i)(i)(i)(i)~~~~Fn = Fn/1 + Fn/2 + . . . + Fn/n−141(97)Поскольку внутренние силы удовлетворяют третьему закону Ньютона, то(i)(i)F~ν/µ = −F~µ/ν .(98)С учетом выражений (96), (97) и (98) имеем~ (i) =RXF~ν(i) = 0.(99)т.е Главный вектор внутренних сил системы материальных точек тождественно равен нулю.Главный момент внутренних сил системы материальных точек относительно произвольного центра равен нулю.Рис. 79~ (i)L0 =так какX~rν × F~ν(i) = 0,(100)(i)(101)(i)~rµ × F~µ/ν = −~rν × F~ν/µи векторные произведения в выражении для главного момента взаимно уничтожаются.30Количество движения системы материальных точек30.1 Общие определенияОпределение. Количеством движения (импульсом) материальной точки массы mν , движущейся со~ν , называется произведение Q~ ν = mν · V~ν .скоростью VОпределение. Количеством движения системы материальных точек называется геометрическая сум~ = PQ~ ν = P mν · V~νма количеств движения всех точек системы Q30.2Теорема об изменении количества движения системыПроизводная по времени от вектора количества движения системы материальных точек равна главному вектору всех внешних сил, действующих на точки системы:~dQ~ (b) ,=Rdt(102)dQxdQydQz= Rx(b) ,= Ry(b) ,= Rz(b) .dtdtdt(103)или в скалярной форме:42Докажем (102).

Для каждой точки материальной системы запишем второй закон Ньютонаm1d~v1(b)(i)= F~1 + F~1 ,dtm2d~v2(b)(i)= F~2 + F~2 ,dt(104)...d~vnmn= F~n(b) + F~n(i) .dtЗдесь V~ν — скорость точки массой mν , F~ν(i) — сумма внутренних сил, действующих на точку массыmν , F~ν(b) — сумма внешних сил, действующих на точку массы mν . Сложим уравнения (104):Xmνd~vν X ~ (b) X ~ (i)=Fν +Fνdt~ ν = mν V~ν , P R~ (b) = R~ (b) , P R~ (i) = 0.

Поэтому:Здесь Qνν~dQdt(105)~ (b) что и требовалось доказать.=RСледствие из теоремы 30.1 Если главный вектор внешних сил системы материальных точекравен нулю, то вектор количества движения этой системы остается постоянным по величинеи направлению. Закон сохранения импульсаСледствие из теоремы 30.2Если проекция главного вектора внешних сил системы материальных точек на какую-либо осьравна нулю, то проекция вектора количества движения на эту ось остается постоянной.Следствие из теоремы 30.3Внутренние силы системы материальных точек непосредственно не влияют на изменение количества движения системы.31Центр масс системы материальных точекРассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек с массами m1 , m2 , ..., mn .Положение точки с массой mν определяется радиус-вектором r~ν = xν~i + yν~j + zν ~k, где ~i, ~j, ~k —единичные векторы некоторой системы координат.Определение.

Центром масс системы материальных точек называется точка, радиус-вектор которой определяется следующим выражением:r~c =Pn1 Xmν r~ν ,m ν=1где m = nν=1 mν .Для координат центра масс системы можно записать следующие выражения:xc =nnn1 X1 X1 Xmν xν ; yc =mν yν ; zc =mν zν ;m ν=1m ν=1m ν=1Покажем что, в различных системах координат центром масс остается одна и та же точка.43(106)PnРис. 80Amν ~rr~cA = Pν=1m ν — центр масс в системе Ax∗ y ∗ z ∗ .nmν ~rO~rcO = ν=1m ν — центр масс в системе Ox∗ y ∗ z ∗ .~rνO = ~rνA − ~rOPP~rcO = m1 nν=1 mν ~rνA − ~rO nν=1 mν = ~rcA − ~rOТаким образом, ~rcO = ~rcA − ~rO , т.е., радиус-вектор центра масс в другой системе координат отличается только на радиус-вектор начала координат этой системы.32Количество движения системы материальных точек как функция скорости центра массРассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек с массами m1 , m2 , ..., mn .Положение точки mν определяется радиус-вектором r~ν в некоторой системе координат.

Количестводвижения системы определяется как~ =QnXQ~ν =ν=1nXmν v~ν =ν=1nXmνν=1nd~rνd X=mν r~ν .dtdt ν=1(107)Но по определению центра масс системы материальных точекnXmν r~ν = m~rc .(108)ν=1Следовательно, выражение для количества движения системы можно переписать в виде:И окончательно имеем выражение~ = d mr~ν = m dr~νQdtdt(109)~ = m~Qvc .(110)Количество движения системы материальных точек (механической системы) равно произведениюмассы всей системы на вектор скорости центра масс.33Теорема о движении центра масс механической системыЦентр масс механической системы движется, как материальная точка с массой, равной массе всейсистемы, к которой приложен главный вектор внешних сил, действующих на точки системы:md~vc~e .=Rdt44(111)Здесь m — масса всей системы, v~c — скорость центра масс механической системы,~e = Pn F~ e — главный вектор внешних сил.Rν=1 νВ проекциях на оси системы координат выражение (111) можно записать так:mdvcxdvcydvcz= Rxe ; m= Rye ; m= Rze .dtdtdtЗдесь vcx , vcy , vcz , — проекции скорости центра масс, а Rxe , Rye , Rze , — проекции главного векторавнешних сил на координатные оси.Замечание 33.1 По теореме об изменении количества движения механической системы имеем~dQ~e или d (m~~e=Rvc ) = Rdtdt~e что и требовалось доказать.следовательно, m ddtv~c = RДоказательство 33.1 Если главный вектор внешних сил, действующих на механическую систему, равен нулю, то центр масс системы находится в покое или движется равномерно ипрямолинейно.Доказательство 33.2 Если проекция главного вектора внешних сил, действующих на механическую систему, на какую либо ось равна нулю, то проекция скорости центра масс системына эту ось остается постоянной.34Момент количества движения механической системы (кинетический момент)Рис.

81Определение. Моментом количества движения (кинетическим моментом) материальной точкиотносительно некоторой точки O называется векторное произведение радиуса-вектора на векторколичества движения этой точки:K~Oν = r~ν × Q~ν = r~ν × mν v~νОпределение.

Моментом количества движения (кинетическим моментом) системы материальныхточек (механической системы) относительно некоторой точки O называется сумма кинетическихмоментов всех точек системы относительно этой точки:PPK~O = nν=1 K~Oν = nν=1 r~ν × mν v~νПроекции кинетического момента на оси координатТак какr~ν = xν~i + yν~j + zν ~kиv~ν = vxν ~x + vyν ~y + vzν~z ,45тоK~O =nXν=1mν r~ν × v~ν ,PK~O = nν=1 mν [(yν vzν − zν vyν )~i + (zν vxν − xν vzν )~j + (xν vyν − yν vxν )~k]ПоэтомуnXKOx =KOy =KOz =ν=1nXν=1nXν=1mν (yν vzν − zν vyν ),mν (zν vxν − xν vzν ),(112)mν (xν vyν − yν vxν ).Выражения (112) определяют проекции вектора кинетического момента на оси координат.35 Момент количества движения тела, вращающегося вокругнеподвижной осиРис.

82Для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, имеем:r~ν = xν~i + yν~j+ zν ~k и −yν ωv~ν = [~ω , r~ν ] =  xν ω 0Тогда проекции вектора кинетического момента на оси координат будут иметь вид:KOx = −ωKOx = −ωKOz = ωnXν=1nXν=1nXmν xν zν = −ωIzx ,mν yν zν = −ωIzy , .(113)mν (x2ν + yν2 ) = ωIzν=1PnВ выражениях (113) Iz = ν=1 mν (x2ν + yν2 ) называется моментом инерции твердого тела вокруг осиPPOz; Ixz = nν=1 mν xν zν и Iyz = nν=1 mν yν zν — центробежные моменты инерции.36 Теорема об изменении кинетического момента относительнопроизвольной точкиТеорема моментов, доказанная для одной материальной точки, справедлива для каждой из точексистемы. Следовательно, если рассмотреть точку системы с массой mk , имеющую скорость vk , то46для нее будетd ~[MO (mk v~k )] = M~O F~ke + M~O F~ki ,dtгде F~ke , F~ki — равнодействующие всех внешних и внутренних сил, действующих на данную точку.Составляя такие уравнения для всех точек системы и складывая их почленно, получимnnnXXd X[ M~O (mk v~k )] =M~O F~ke +M~O F~ki .dt k=1k=1k=1Но последняя сумма по свойству внутренних сил системы равна нулю.

Тогда, учитывая равенствоPK~O = nk=1 M~O (mk v~k ) найдем окончательноnXd ~KO =M~O F~kedtk=1Полученное уравнение выражает следующую теорему моментов для системы: производная повремени от главного момента количеств движения системы относительно некоторого неподвижного центра равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно того жецентра.Проектируя обе части равенства на неподвижные оси Oxyz, получим:nnXXddeeKOx =MOx Fkx,KOy =MOy Fky,dtdtk=1k=1nXdeKOz =MOz Fkzdtk=1Уравнения выражают теорему моментов относительно любой неподвижной оси.37Принцип ДаламбераРассмотрим движущуюся материальную точку.

На точку кроме приложенной активной силы могутдействовать реакции связиF~ (a)m~a -~RN~R~m~a = F~ (a) + N(114)~ + (−m~a) = 0F~ (a) + N(115)~ = −m~aΦ(116)Формулой (116) определяется сила инерции(Даламберова сила)~ +Φ~ =0F~ (a) + N(117)Из формулы (117) следует принцип Даламбера для одной материальной точки:• активные силы, реакции связи и силы инерции образуют уравновешенную систему или системусил эквивалентную нулю.Используя формулу (117) мы сможем свести задачу динамики к задаче элементарной статики.4738Принцип Даламбера для системы материальных точекРассмотрим произвольную систему n материальных точек к которым приложены активные (известные) силы и на которые наложены произвольные связи.z 6~vFOOmv*~rvx~av-z~vNyРис.

83На основании аксиомы о связях освободим систему от связей и заменим их действие реакциями.Уравнения движения будут иметь вид:(a)~1 + Φ~1 = 0F~1 + N(a)~2 + Φ~2 = 0F~2 + N........................~n + Φ~n = 0F~ (a) + NnnX(a)F~i +i=1Из (118) получаем:nX~i +Ni=1nX~i = 0Φ(118)i=1~ (a) + R~ (N ) + R~ (инерц)R(119)~ (a) — главный вектор активных сил;R~ (N ) — главный вектор сил реакций связей;R~ (инерц) — главный вектор даламберовых сил инерции.RИз (119) следует принцип Даламбера для системы материальных точек:• Сумма главных векторов активных сил, реакций связи и сил инерции равна нулю, т.е.