М.Н. Кирсанов - Краткий курс лекций, страница 3

. . , G~ m }.Дано: {F~1 , F~2 , . . . , F~n } ∼ {G~ F~ ) = R(~ G),~~ O (F~ ) = M~ O (G)~Доказать: R(MПо теореме о приведении произвольной системы сил к двум силам любую систему сил можно привести к двум силам. Поэтому можно вместо исходных рассматривать новые системы сил: {F~1 , F~2 } и~ 1, G~ 2 } (здесь F~1 , F~2 , G~ 1, G~ 2 — не те же самые, что в исходных системах).{G12Рассмотрим три рисунка одного тела, на которое действуют системы сил.~1GF~1~0G1~1GF~1I~0G2F~2 RI~2RGF~2 R~2RGIIIIIРис.

20Рис. 21Рис. 22~0 ,G~0 } ∼Имеем I ∼ III (по условию), I ∼ II (по построению), следовательно, II ∼ III и {F~1 , F~2 , G12{0}.~ F~ + G~ 0) = 0 и M~ O (F~ + G~ 0 ) = 0 по теореме об эквивалентности нулю системы сил.Тогда R(00~ +G~ = F~1 + F~2 − G~1 − G~ 2 = 0, следовательно, F~1 + F~2 = G~1 + G~2 иОтсюда 1) F~1 + F~2 + G12~ F~ ) = R(~ G).~R(~ O (F~ ) + M~ O (G~ 0 ) = 0, M~ O (F~ ) − M~ O (G)~ =0иM~ O (F~ ) = M~ O (G).~ Что и требовалось доказать.2) M14.2Доказательство достаточности~ F~ ) = R(~ G),~ M~ O (F~ ) = M~ O (G).~ Доказать: {F~1 , F~2 , . . .

, F~n } ∼ {G~ 1, G~ 2, . . . , G~ m }.Дано: R(Рассмотрим те же самые рисунки (20-22). Здесь I ∼ II (по построению).~ 01 , G~ 02 } ∼ 0.Покажем, что {F~1 , F~2 , G~ F~ ) = R(~ G),~ M~ O (F~ ) = M~ O (G),~ следовательно, R(~ F~ ) = −R(~ G~ 0 ), M~ O (F~ ) = −M~ O (G~ 0)По условию R(~ F~ ) + R(~ G~ 0) = 0 и M~ O (F~ ) + M~ O (G~ 0 ) = 0. И по теореме об эквивалентности нулю системы силили R(~0 ,G~ 0 } ∼ 0.{F~1 , F~2 , G12~0 ,G~ 0 } ∼ 0, то II ∼ III.

Значит, и I ∼ III. Что и требовалось доказать.Но если {F~1 , F~2 , G1215 Приведение системы сил к простейшей системе15.1 Инварианты~ системы сил не зависит от выбора центра приведения и называетсяОпределение. Главный вектор Rпервым статическим инвариантом I1 .~ ·M~ O систеОпределение. Скалярное произведение главного вектора и главного момента I2 = Rмы сил не зависит от выбора центра приведения и называется вторым статическим инвариантом.~ · M~O0 = R~ ·M~O + R~ · O~0 O × R,~ но R~ · O~0 O × R~ = 0, поскольку вектор R~ перТак как I2 (O 0) = R0~~пендикулярен векторному произведению O O × R.1315.2 Классификация пространственных систем силIIIIIIIV~ = 0, M~O = 0RСистема эквивалентна нулю~~~OR = 0, MO 6= 0Система приводится к паре сил с моментом M~ 6= 0, M~ O = 0 Система приводится к единственной силе в точке O (система имеет равноа) R~ Примерами таких систем являются: система сходящихсядействующую R).сил, плоская система сил, не сводящаяся к паре, система параллельных сил.~ =0,M~ O 6=0R6b) R·Система приводится к единственной силе в новой точке .~ M~ O =0~ =0,M~ O 6=0R6~ M~ O 6=0R·Система приводится к моменту и силе в новойточке C, что называется динамическим винтом.16 Виды связейОпределение.

Все то, что ограничивает перемещения данного тела в пространстве, называют связью.Определение. Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя тем или иным егоперемещениям, называется силой реакции связи или просто реакцией связи. Направлена реакциясвязи в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу.Виды связей:1.

Гладкая плоскость (поверхность) или опора.B~1N~N6~N2AРис. 23Рис. 24~ гладкой поверхности или опоры направРеакция Nлена по общей нормали к поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания и приложена в этой~ 1 ⊥ AB.точке. N2. Нить. Реакция натянутой нити направлена вдоль нити к точке ее подвеса.~MTРис. 253. Цилиндрический шарнир. Реакция цилиндрического шарнира может иметь любое направлениев плоскости, перпендикулярной оси шарнира.~RαРис. 264.

Сферический шарнир и подпятник. Реакция сферического шарнира может иметь любое направление в пространстве.14~R~RРис. 27Рис. 285. Невесомый стержень.K~N~NРеакция невесомого шарнирно прикрепленногостержня направлена вдоль оси стержня или вдольпрямой, соединяющей шарниры (рис. 30).Рис. 29Рис. 30Система сходящихся сил17zF~2F~36]F~1-y~...wFj7F~NОпределение. Система сил, все линии действия которых пересекаются в одной точке, называется сходящейся.Система сходящихся сил имеет равнодействующую, вектор силы которой определяется сложением векторов сил по правилупараллелограмма и проходит через точку, в которой сходятсялинии действия системы сил.xРис. 31Теорема. (Вариньон) Момент равнодействующей силы для системы сходящихся сил относительнопроизвольной точки равен сумме моментов всех составляющих сил относительно той же точки.18 Система параллельных силОпределение.

Система сил, в которой векторы сил имеют параллельные линии действия, являетсяпараллельной системой сил.18.1 Случай двух параллельных сил, направленных в одну сторону??~BFF~AРис. 32Дана система двух параллельных сил (рис. 32). Проведем через точки и прямую и добавим ксистеме эквивалентную нулю систему из двух равных по величине и противоположно направленных~ и G~ 0 (рис.

33). Новая система из четырех сил G,~ G~ 0 , F~A , F~B эквивалентна системе из двухсил G15~ иR~ 0 , которыеисходных сил. Но новую систему можно заменить системой из двух сил (рис. 34) Rможно перенести по линиям действия в точку пересечения S и сложить по правилу параллелограммаS(рис. 35).R~0R~R~0G~AGB?~BF?F~A~0G~AGB-~R ?F~A~0~B RF~R?ABC?RRРис. 33Рис. 34Рис. 35~~~Результирующая сила R = FA + FB эквивалентна исходной системе сил (рис. 35).

Модуль результирующей R = FA + FB .Сила параллельна исходной системе сил и равна по величине сумме их значений. Из геометрииследует, чтоACFB=.BCFAТаким образом, система двух параллельных сил, направленных в одну сторону, приводится кодной силе, эквивалентной системе из этих параллельных сил; причем линия действия новой силыпараллельна линиям исходных сил и делит расстояние между ними в отношении, обратно пропорциональном их величинам, а величина силы равна сумме величин исходных сил.18.2 Случай двух параллельных сил, направленных в противоположные стороныАналогично можно показать, что система двух параллельных сил, не равных по величине и на~ направленной параллельноправленных в противоположные стороны, эквивалентна одной силе R,исходным силам в сторону большей силы, причем линия действия эквивалентной силы делит отрезок, соединяющий точки приложения исходных сил внешним образом (рис. 36) в соотношении:ACFB=.BCFA~BF6~R6ABC?F~AРис.

36Модуль результирующей R = FB − FA .1619Трение19.1 Сила трения скольженияR~AKЕсли два тела I и II взаимодействуют друг с другом, соприкасаясь в точкеA, то всегда реакцию RA , действующую, например со стороны тела II иприложенную к телу I, можно разложить на две составляющие: NA , направленную по общей нормали к поверхности соприкосновении тел в точкеA, и Fc , лежащую в касательной плоскости. Составляющая NA называетсянормальной реакцией, сила Fc называется силой трения скольжения— она препятствует скольжению тела I по телу II. В соответствии с третьим законом Ньютона на тело II со стороны тела I действует равная помодулю и противоположно направленная сила реакции.N~A6I~cFAРис.

37IIЕе составляющая, перпендикулярная касательной плоскости, называется силой нормальногодавления.Сила трения Fc = 0, если соприкасающиеся поверхности идеально гладкие.Сила трения всегда лежит на общей касательной плоскости к поверхностям соприкосновения.Величину силы трения, как и всякой другой реакции опоры, можно найти из условия равновесияпокоящегося тела. Предельное же значение силы трения определяется из закона экспериментальноустановленного Ш.Кулоном в 1781 г.Ftr = f N.Величина предельной силы трения зависит от материала соприкасающихся тел и нормальной реакции. При трении дерева о дерево 0.4 < f < 0.7, металл о металл 0.15 < f < 0.25. Все сказанноеотносится к так называемому "сухому трению", т.е.

трению, не зависящему от скорости движения.Для сил трения в самом общем случае существует большое число экспериментальных и теоретических зависимостей.19.2 Трение каченияРассмотрим цилиндр, покоящийся на горизонтальной плоскости, когда на него действует горизонтальная сила Q; кроме неё действуют сила тяжести P , а также нормальная реакция N и горизонтальная реакция плоскости (сила сцепления с плоскостью) Fc .

Заметим, гладкая плоскость не имеетсилы Fc , а N имеется всегда при наличии контакта.Ir~P~F~c ?~6NI~QQP~F~c?-~6N?MtrF~c ~P~Q-?~6Nδ δРис. 38Рис. 39Рис. 40Как показывает опыт, при достаточно малом модуле силы Q цилиндр остаётся в покое. Но этотфакт нельзя объяснить, если удовлетвориться введением сил, изображенных на рис. 38. Согласноэтой схеме равновесие невозможно, так как величина главного момента всех сил, действующих нацилиндр равна −Qr, т.е. отлична от нуля. Для устранения отмеченного несоответствия с опытомнеобходимо отказаться от гипотезы абсолютно твердого тела и учесть, что в действительностицилиндр и плоскость вблизи точки контакта деформируется и существует некоторая площадкаконтакта конечной ширины 2δ.

Если под действием внешних сил цилиндр будет катится направо,то реакция опоры будет также смещена направо. Цилиндр будет катиться направо, поворачиваясь17в каждый момент вокруг некоторой точки плоскости, к которой приложены реакции N и Fc (рис.39). Считая деформацию малой, заменим эту систему сил системой, изображенной на рис. 40. Кцилиндру приложена пара сил с моментом Mtr = Nδ. Этот момент называется моментом силытрения качения. Коэффициент трения δ качения имеет размерность длины.Центры тяжести простейших фигур2020.1 Центр тяжести треугольникаЦентр тяжести треугольника с вершинами A, B, C находится в точке пересечения его медиан.xo = (xA + xB + xC )/3, yo = (yA + yB + yC )/3.y6BycCA-xxcРис. 4120.2Центр тяжести дуги окружностиy6xc =RααxoR sin αα-xРис.

42В частности, для дуги полуокружности будем иметь xc =20.32RπЦентр тяжести кругового сектораy6xc =Rααxo2R sin α3α-xРис. 43В частности, для сектора в виде полукруга получим xc =184R3π21ДинамаВторой статистический инвариант:~ O = Fx Mx + Fy My + Fz MzI2 = F~O · M(15)Определение. Совокупность силы и пары сил с моментом, коллинеарным силе, называется динамическим винтом или динамой. Динамический винт представляет собой совокупность силы и парысил, действующей в плоскости, перпендикулярной силе.F~~F0660F~0F~0~06M66~ 0?MOOРис. 44Рис. 45Если второй статический инвариант не равен нулю, то систему можно привести к динаме.Условие коллинеарности главного вектора и главного момента записывается следующим образом:pFO = M ∗где p — параметр (шаг) винта, имеющий размерность длины. Таким образом,~ O − OO~ ∗ × F~OpF~O = M(16)Пусть Fx , Fy , Fz , MOx , MOy , MOz — проекции главного вектора и главного момента на оси x, y, zMOy − (zFx − xFz )MOz − (xFy − yFx )MOx − (yFz − zFy )=== p.FxFyFz(17)Это и есть уравнение центральной оси.22Кинематика.