М.Н. Кирсанов - Краткий курс лекций, страница 10

Имеем выражение для кинетической энергии3 :11T = mvC2 + ω~ · (IC ~ω ).2244 Работа и мощность силОпределение. Элементарным перемещением точки называется бесконечно малое перемещение, равное дифференциалу радиуса вектора точки.Определение. Элементарной работой силы на перемещении называется скалярное произведениевектора силы на вектор элементарного перемещения точки приложения силы:Определение.

Мощностью силы называется скалярное произведение вектора силы на вектор скорости точки приложения силы:N = F~ · ~vилиN = |F~ ||~v| cos α = Fx vx + Fy vy + Fz vzДанное определение согласуется с определением мощности, как работе в единицу времени:dAdxdydzN== Fx+ Fy+ Fz= Fx vx + Fy vy + Fz vzdtdtdtdtМощность системы сил, приложенных к абсолютно твердому телу, равна сумме мощностей всех сил:N=но ~vη = ~v0 + ~ω × ~r, поэтомуN=nXNη =η=1η=1nXF~η · (~v0 + ω~ × ~r)η=1N=nXη=1F~η · ~v0 +nXη=1(F~η · [~ω × ~r]) = (F~η · ~vηnXη=1~ · ~v0 + ~ω ·N =RТаким образом,nXnXη=1F~η · ~v0 ) +nXη=1(~ω · [~r × F~η ])~ · ~v0 + ~ω · L~ 0.~r × F~η = R~ · ~v0 + ω~0N =R~ ·LТ.е., мощность системы сил, приложенных к абсолютно твердому телу, равна сумме скалярныхпроизведений главного вектора на скорость полюса О и главного момента сил относительно полюсаО на вектор угловой скорости твердого тела.См.

также частные случаи для вычисления мощности:3Осадченко Н.В.5744.1Поступательное движение абсолютно твердого тела~ · ~v0 + ~ω · L~ 0 принимает вид:При поступательном движении выражение для мощности N = R~ · ~v ,N =Rтак как вектор угловой скорости равен нулю и скорости всех точек тела одинаковы.44.2Вращение абсолютно твердого тела вокруг оси, проходящей через точкуОПри вращении твердого тела вокруг оси, проходящей через точку O, скорость точки O равна нулю~ · ~v0 + ~ω · L~ 0 принимает вид:и поэтому выражение для мощности N = R~ 0 · ~ω = L0x ωx + L0y ωy + L0z ωz = L0z ωzN =Lтак как ωx = 0, ωy = 044.3Система сил приводится к равнодействующей, приложенной в точке O~ ·~v0 + (~ω · L~ 0 принимаетВ этом случае главный момент равен нулю и выражение для мощности N = Rвид:~ · ~v0N =RЗамечание: Равнодействующая равна главному вектору.44.4Система сил приводится к паре сил~ · ~v0 + ω~ 0 принимаетТак как система сил приводится к паре, выражение для мощности N = R~ ·Lследующий вид:~ · ~ωN =L~ — момент пары сил.здесь L45 Связи и ограничения на движение твердых телОпределение.

Связями называются ограничения, накладываемые на координаты и скорости точекмеханической системы, которые выполняются при любых действующих на систему силах.Конструктивно связи реализуются при помощи шарниров, стержней, нитей, поверхностей и т.п.Математически связи выражаются в виде уравнений или неравенств, содержащих координаты искорости точек системы и время:fi (~r1 , ~r2 , ..., ~rn , ~v1 , ~v2 , ..., ~vn , t) FiЗдесь i =1,2,... k (количество связей, наложенных на систему), знак обозначает один из знаков:=,<,>; ~r1 , ~r2 , ..., ~rn — радиусы-векторы, а ~v1 , ~v2 , ..., ~vn - скорости точек системы.Определение.

Возможным перемещением точки называется бесконечно малое воображаемое перемещение точки, допускаемое связями в данный момент времени:δ~rη = δxη~i + δyη~j + δzη~kЗдесь δxη , δyη , δzη - проекции вектора δ~rη на оси координат.58Определение. Возможной скоростью называется отношение возможного перемещения к некоторому мыслимому интервалу времени:δ~rη~vηE = 0dtВозможная скорость — это скорость, которую бы имела точка, если бы она совершала возможноеперемещение за время dt’.Определение.

Если для любого возможного перемещения противоположное ему тоже являетсявозможным, то связь называется удерживающей (неосвобождающейся или двусторонней).45.1 Пример 1Точка на невесомом абсолютно твердом стержне (маятник): x2 + y 2 + z 2 = r 2Рис. 90Рис. 91Точки на двух невесомых абсолютно твердых стержнях:(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 = r22x21 + y12 = r12Кроме того, эти связи являются стационарными и голономными.Определение. Если для некоторого возможного перемещения противоположное ему не являетсявозможным, то связь называется неудерживающей (освобождающейся или односторонней).Удерживающие связи математически выражаются равенствами, а неудерживающие — неравенствами.45.2Пример 2Точка на нерастяжимой нити:x2 + y 2 + z 2 ≤ r 259Рис.

92Определение. Если в уравнение связи время не входит явно, то такая связь называется стационарной (склерономной):f (xη , yη , zη ) = 0.здесь xη , yη , zη могут зависеть от t.Определение. Если в уравнение связи время входит явно, то такая связь называется нестационарной (реономной):f (xη , yη , zη , t) = 0При стационарных связях действительное перемещение совпадает с одним из возможных перемещений. При нестационарной связи действительное перемещение может не совпадать ни с одним извозможных перемещений.45.3Пример стационарной связиТочка на поверхностиРассмотрим точку (x, y, z) на поверхности:Рис.

93f (x, y, z) = 0(137)Пусть точка получила некоторое возможное перемещение:M 0 (x + δx, y + δy, z + δz).Так как точка должна оставаться на поверхности, то приращения координат удовлетворяют равенству:f (x + δx, y + δy, z + δz) = 0.Разложим левую часть последнего уравнения в ряд Тейлора:f (x, y, z) +∂f∂f∂fδx +δy +δz + ... = 0.∂x∂y∂zЗдесь многоточием обозначены члены ряда, имеющие второй и более высокий порядок малости всравнении с приращениями координат. С учетом выражения (137) получим:∂f∂f∂fδx +δy +δz = 0.∂x∂y∂zТак как возможным перемещением точки в данном случае является вектор δ~r, проекциями которогона оси координат являются δx, δy, δz, то последнее выражение можно переписать:~ f · δ~r = 0.grad60~ f направлен по нормали к рассматриваемой поверхности, а вектор возможного перемеВектор gradщения точки лежит в плоскости, касательной к поверхности в данной точке.В случае стационарной связи действительное перемещение удовлетворяет уравнению:~ f · δ~r = 0.df = gradА в случае нестационарной связи — уравнению:~ f · δ~r + ∂f dt = 0df = grad∂tТ.о., при стационарных связях действительное перемещение d~r совпадает с одним из возможныхперемещений.

При нестационарной связи действительное перемещение может не совпадать ни содним из возможных перемещений.45.4Пример нестационарной связиТочка на сфере переменного радиуса (нестационарная связь):x2 + y 2 + z 2 = R2 (t).Определение. Связь называется геометрической, если в уравнение связи входят только координатыточек:f (xη , yη , zη ) = 0Определение.

Связь называется кинематической, если в уравнение связи входят координаты и скорости точек механической системы:f (xη , yη , zη , vηx , vηy , vηz ) = 0Определение. Связь называется голономной, если она выражается интегрируемым дифференциальным уравнением для координат и скоростей точек механической системы.Замечание: Уравнениеf (xη , yη , zη , vηx , vηy , vηz , t) = 0(138)называется интегрируемым, если существует функция F = F (xη , yη , zη , t), такая что уравнение (138)может быть записано в видеdF(xη , yη , zη , t) ≡ f (xη , yη , zη , vηx , vηy , vηz , t) = 0dtОпределение. Связь называется неголономной, если она выражается неинтегрируемым дифференциальным уравнением для координат и скоростей точек механической системы.Определение.

Связи, наложенные на механическую систему, называются идеальными, если сумма элементарных работ сил реакций этих связей на любом возможном перемещении равна нулю:nXη=1Здесь~ η · δ~rη = 0R(139)~ η = Rηx~i + Rηy~j + Rηz ~kRδ~rη = δrηx~i + δrηy~j + δrηz~kСогласно определению скалярного произведения двух векторов выражение (139) можно переписатьв виде:nX(Rηx δxη + Rηy δyη + Rηz δzη ) = 0η=161илиnXη=1~ η ||δ~rη |cosαη = 0|R~ η и δ~rη .где αη — угол между векторами RОпределение идеальных связей можно дать с использованием понятия мощности.Определение.

Связи, наложенные на механическую систему, называются идеальными, если сумма мощностей сил реакций этих связей равна нулю:nXη=1~ η · δ~rηE = 0R(140)Согласно определению скалярного произведения двух векторов выражение (140) можно переписатьв виде:nXEEE(Rηx δrηx+ Rηy δrηy+ Rηz δrηz)=0η=1илиnXη=1~ η ||δ~rE | cos βη = 0|Rη46 Принцип Даламбера-Лагранжа (общее уравнение динамики)Для системы с идеальными связями в любой момент времени сумма элементарных работ активных сил и даламберовых сил инерции равняется нулю:nXη=1F~η · δ~rη +nXη=1~ инΦrη = 0η · δ~(141)здесьF~η — активная сила, приложенная к точке с массой mη~ ин = mη wΦ~ηηПринцип Даламбера-Лагранжа можно сформулировать и с использованием понятия мощности:nXη=1F~η · ~vηE +nXη=1~ ин · ~v E = 0Φηη(142)Уравнения (141) и (142) называются общими уравнениями динамикиВ случае равновесия механической системы ускорения всех точек системы равны нулю.

Поэтомууравнения (141) и (142) принимают вид:nXη=1F~η · δ~rη = 0nXη=1F~ · ~vηE = 0(143)(144)Уравнения (143) и (144) являются математическим выражение принципа возможных перемещений(возможных мощностей):Для того, чтобы механическая система с идеальными (удерживающими) стационарными связями находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работвсех активных сил на любом возможном перемещении из предполагаемого состояния равновесия равнялась нулю.6247Обобщенные координаты механической системыРассмотрим механическую систему из n точек, на которую наложены k удерживающих голономныхсвязей.

Тогда для 3n координат системы выполняются следующие условия:f1 (x1 , y1 , z1 , x2 , y2, z2 , ..., xn , yn , zn , t) = 0,f2 (x1 , y1 , z1 , x2 , y2, z2 , ..., xn , yn , zn , t) = 0,...fk (x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 , ..., xn , yn , zn , t) = 0.Выберем первые k координаты и перенесем оставшиеся s = 3 · n − k в правые части уравнений. Далее разрешим полученные уравнения относительно первых k координат, а остальные s —переобозначим:x1 = x1 (q1 , q2 , ..., qs , t),y1 = y1 (q1 , q2 , ..., qs , t),z1 = z1 (q1 , q2 , ..., qs , t),x2 = x2 (q1 , q2 , ..., qs , t),......xn = qs−2 ,yn = qs−1 ,zn = qs .Таким образом, координаты всех точек системы будут функциями s независимых параметров системы и времени.Определение.

Независимые параметры, однозначно определяющие положение всех точек механической системы, называются обобщенными координатами этой системы. Число обобщенныхкоординат является числом степеней свободы.Систему можно записать в векторном виде:~rη = rη (q1 , q2 , ..., qs , t); η = 1, 2, ..., nПримеры:Пример 1: Плоский математический маятник:63(145)Рис. 94OA — невесомый абсолютно твердый стержень, O — цилиндрический шарнир.n=1Уравнения связей:x2A + yA2 + zA2 = R2 ; zA = 0(k = 2),S = 3 · n − k = 1.Если за обобщенную координату выбрать, то имеем следующие уравнения:xA = R cos ϕ; yA = R sin ϕ; zA = 0Пример 1: Точка M на поверхности сферы:n = 1, k = 1.Уравнение связи:x2 + y 2 + z 2 = R2 ,S = 3 · n − k = 2.Если за обобщенные координаты выбрать γ (широту) и ϕ (долготу), то имеем следующие уравнения:xM = R cos ϕ cos γ; yM = R cos ϕ sin γ; zM = R sin γЕсли закон изменения обобщенных координат известенq1 = q1 (t); q2 = q2 (t); ...; qs = qs (t),(146)то, подставив (146) в (145), можно найти траектории движения точек системы.Уравнения (146) определяют траекторию некоторой точки в s-мерном пространстве.

Пространствоq1 , q2 , ..., qs называется конфигурационным пространством механической системы. Изучение движения механической системы можно свести к нахождению траектории изображающей точки в конфигурационном пространстве.Рассмотрим точку M 0 , положение которой определяется какM 0 (q1 + δq1 , q2 + δq2 , ..., qs + δqs )δq1 , δq2 , ..., δqs — вариации обобщенных координатПоложению точки M 0 соответствует радиус-вектор~rη0 = ~rη0 (q1 + δq1 , q2 + δq2 , ..., qs + δqs , t); η = 1, 2, ..., nПри перемещении изображающей точки в точку 0 (в конфигурационном пространстве) точка смассой mη механической системы совершает перемещениеδ~rη = ~rη0 − ~rη = ~rη0 (q1 + δq1 , q2 + δq2 , ..., qs + δqs , t) − ~rη (q1 , q2 , ..., qs , t)Разложим это выражение в ряд Тейлора:δ~rη = ~rη (q1 , q2 , ..., qs , t) +∂~rη∂~rη∂~rηδq1 +δq2 + ...