М.Н. Кирсанов - Краткий курс лекций, страница 9

активныесилы и реакции связи и силы инерции образуют уравновешенную систему сил.39Главный вектор и главный момент даламберовых сил инерцииТак как главный вектор даламберовых сил инерции равен~ (инерц) = −RnXv=1mv~av = −nXv=1mv~v~dVdQ=−dtdt(120)~ = Pn mv ~vv . Таким образом, R~ (инерц) = − dQ~ , т.е главный вектор даламберовых сил инерцииздесь Qv=1dtравен производной по времени от вектора количества движения системы материальных точек, взятыйс обратным знаком.Вектор количества движения системы материальных точек как функция скорости центра масс~ = m~vc .

Поэтомуимеет вид: Q~ (ин) = −m d~vcR(121)dt48• Главный вектор сил инерции системы материальных точек равен силе инерции центра масссистемы в предположении, что в нем сосредоточена вся масса системыГлавный момент относительно точки О даламберовых сил инерции системы материальных точекимеет вид:~0 = L~ (a)~ (N ) + L~ (инерц)L,(122)0 + L00илиnX~rv F~v(a) +v=1nX~ (N ) +~rv Nvv=1nX~ (инерц) = 0.~rv Φv(123)v=1Где момент инерции имеет вид:~ (инерц)L0=nX~v =~rv Φv=1nXv=1~rv × mv~av = −Xdd~vv~rv × mv=−dtP~rv × mv~vv X d~rv+× mv~vv .dtdtВ последнем выражении векторное произведение d~dtrv × mv~vv равно нулю, аколичества системы относительно точки .

Поэтому~0dK~ (инерц)=−.L0dtP~rv mv × ~vv — момент(124)• главный момент даламберовых сил инерции системы материальных точек относительно точкиравен производной по времени от вектора кинетического момента этой системы относительноточки с противоположным знаком.40Оси КенигаРассмотрим систему материальных точек с массами mv и координатами xv , yv , zv в неподвижнойсистеме координат Ox∗ y ∗ z ∗ .z *6z 6cxOx*-y- *yРис. 84Координаты центра масс этой системы определяются равенствами:PPPmv xvmv yvmv zvxc = P; yc = P; zc = Pmvmvmv(125)Если в центре масс построить систему осей Cxyz, которые параллельны осям Ox∗ y ∗ z ∗ .

и перемещаются поступательно относительно этих (неподвижных) осей, то такая система осей будет называтьсяосями Кенига.41 Кинетический момент абсолютно твердого тела относительно неподвижной точкиРазобьем тело на n материальных точек с массами mν49Рис. 85По определению кинетического момента:K~O =nXK~Oν =ν=1nXν=1r~ν × mν V~ν(126)Скорость любой точки тела выражается как:V~ν = V~O + ~ω × r~ν , где V~O = 0.С учетом последнегоnXK~O =ν=1nXr~ν × mν ~ω × r~ν =ν=1mν (~ω (r~ν · r~ν ) − r~ν r~ν · ~ω ).Запишем векторы из предыдущего выражения как функции их проекций на оси координат:K~O = KOx~i + KOy~j + KOz~k;Учтем, что r~ν · r~ν = x2ν + yν2 + zν2 ;Тогда выражение примет вид:K~O =nXν=1r~ν = xν~i + yν~j + zν ~k;~ω = ωx~i + ωy~j + ωz~k.r~ν · ~ω = xν ωx + yν ωy + zν ωz .mν {(ωx~i + ωy~j + ωz~k)(x2ν + yν2 + zν2 ) − (xν~i + yν~j + zν ~k)(xν ωx + yν ωy + zν ωz )}.Для проекций вектора кинетического момента получаем выражения:KOx =nXmν {ωx x2ν + ωx yν2 + ωx zν2 − x2ν ωx − xν yν ωy − xν zν ωz },nXmν {ωy x2ν + ωy yν2 + ωy zν2 − xν yν ωx − yν2 ωy − yν zν ωz },ν=1KOy =ν=1KOz =nXν=1mν {ωz x2ν + ωz yν2 + ωz zν2 − zν xν ωx − yν zν ωy − zν2 ωz }.Поскольку не зависят от выбора точки на теле, то предыдущие выражения можно переписать в виде:KOx = [nXmν (yν2+zν2 )]ωx−[ν=1KOy = −[nXν=1mν yν xν ]ωx + [ν=1KOz = −[nXν=1nXnXν=1mν zν xν ]ωx − [nXmν xν yν ]ωy − [nXmν xν zν ]ωz ,ν=1mν (zν2 + x2ν )]ωy − [nXmν yν zν ]ωz ,ν=1mν zν yν ]ωx + [ν=1nXν=150mν (x2ν + yν2 )]ωz .Введем обозначения:Ixx =nXmν (yν2 + zν2 ),ν=1Iyy =nXmν (x2ν + zν2 ),ν=1Izz =nXmν (x2ν + yν2 ),ν=1nXIxy =mν xν yν ,ν=1nXIyz =mν yν zν ,ν=1nXIzx =mν zν xν .ν=1Получим:KOx = Ixx ωx − Ixy ωy − Ixz ωz ,KOy = Ixy ωx − Iyy ωy − Iyz ωz ,KOz = Ixz ωx − Izy ωy − Izz ωz .Кинетический момент твердого тела с однородной неподвижной точкой относительно этой точкиравен произведению тензора инерции на угловую скорость тела.4242.1Моменты инерции абсолютно твердого телаОпределенияРазделим мысленно твердое тело на n частей с массами mν и радиусами-векторами r~ν .Если xν , yν , zν — координаты точки с массой, то ~rν = vν~i + yν~j + zν + ~k.Радиус-вектор центра масс полученной системы определяется по формуламnX~rc =mν ~rν .(127)ν=1Выражения для осевых моментов инерции твердого тела имеют вид:Ixx =nXmν (yν2 + zν2 ),nXmν (x2ν + zν2 ),ν=1Iyy =(128)ν=1Izz =nXmν (x2ν + yν2 ).ν=1Выражения для центробежных моментов инерции твердого тела имеют вид:Ixy =nXmν xν yν ,nXmν yν zν ,ν=1Iyz =ν=151(129)nXIzx =mν zν xν .ν=1При увеличении числа n и стремлении mν к нулю выражения (128) и (129) принимают вид:ZZ Z(y 2 + z 2 )dm,Iyy =Z Z Z(y 2 + z 2 )dm,Izz =Z Z Z(z 2 + x2 )dm,Ixx =VVVIxy =Z Z Zxydm,Iyz =Z Z Zyzdm,Izx =Z Z Zzxdm.VVVОбозначим через γ плотность тела в точке x, y, z, тогда dm = γ(x, y, z)dV , где dV — элементарныйобъем.

C учетом этого выражения для моментов инерции примут вид:Ixx =ZZ Z(y 2 + z 2 )γ(x, y, z)dxdydz,Iyy =ZZ Z(x2 + z 2 )γ(x, y, z)dxdydz,Izz =ZZ Z(x2 + y 2 )γ(x, y, z)dxdydz,V(130)VVZZ Zxyγ(x, y, z)dxdydz,Iyz =ZZ Zyzγ(x, y, z)dxdydz,Izx =ZZ Zzxγ(x, y, z) dxdydz.Ixy =V(131)VVЕсли тело — однородное, то выражения (130), (131), являющиеся компонентами тензора инерциитела, примут вид:Ixx = γZZ Z(y 2 + z 2 )dxdydz,Iyy = γZZ Z(x2 + z 2 )dxdydz,Izz = γZZ Z(x2 + y 2)dxdydz,VVVIxy = γZZ ZV52xydxdydz,Iyz = γZZ Zyzdxdydz,VIzx = γZZ Zzxdxdydz.V42.2Свойства тензора инерцииДиагональные элементы матрицы тензора инерцииIxx −Ixy −IxzIyy −Iyz  −Iyx−Izx −Izy Izz(осевые моменты инерции) строго положительны:Ixx ≥ 0, Iyy ≥ 0, Izz ≥ 0.Осевые моменты инерции любого твердого тела удовлетворяют следующим неравенствам:Ixx + Iyy ≥ Izz , Izz + Iyy ≥ Ixx , Ixx + Izz ≥ Iyy .42.3Моменты инерции тела относительно параллельных осей.

Теорема Гюйгенсаz0z 66dOC-y-0y0xxРис. 86Моменты инерции данного тела относительно разных осей будут, вообще говоря, разными. Покажем, как, зная момент инерции относительно какой-нибудь одной оси, проведенной в теле, найтимомент инерции относительно любой другой оси, ей параллельной.Проведем через центр масс тела произвольные оси x0 y 0z 0 , а через любую точку на оси Cx0 —оси Oxyz, такие, что Oy||Cy 0, Oz||Cz 0 (рис.

86). Расстояние OC между осями и обозначим через d.Тогда по формулам (128) будетIOz =Xmk (yk2 + x2k ), IOz 0 =X22mk (y 0k + x0 k ).(132)Но, как видно из рисунка, для любой точки тела xk = x0k − d и x2k = x0 2k + d2 − 2x0 k d, а yk = yk0 .Подставляем эти значения xk , yk в выражение для Ioz и вынося общие множители d2 и 2d за скобки,получимXXX22IOz =mk (y 0k + x0 k ) + ( mk )d2 − 2dmk x0 k .(133)В правой части равенства, согласно (132), первая сумма равна Icz 0 , а вторая — массе тела .

Найдемзначение третьей суммы.PНа основании формул (127) для координат центра масс mk x0k = Mx0c . Так как в нашем случаеPточка является началом координат, то x0 c = 0 и, следовательно, mk x0k = 0. окончательно получаемIOz = IOz 0 + Md2 .53(134)Формула выражает теорему Гюйгенса:Теорема. Момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерции относительнооси, ей параллельной, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы всеготела на квадрат расстояния между осями.42.4Тензоры инерции простейших абсолютно твердых тел1.

Однородный дискРис. 87Имеем однородный диск массы m и радиуса R. Разобьем диск на кольца с радиусами rν и массамиmν . ТогдаIzz =nXrν2 mν =ν=1nXrν2 γ∆Sν ,ν=1где ∆Sν — площадь кольца с внутренним радиусом rν и внешним rν + ∆rν . Плотность однородногоPдиска: γ = m/(πR2 ), а ∆Sν = 2πrν ∆rν . Поэтому Izz = 2m/R2 nν=1 rν3 ∆rν . При n →∈ ∞Izz = 2m/R2ZR0r 3 dr = mR2 /2.И окончательно имеем для момента инерции диска относительно оси z выражение:Izz = mR2 /2.Поскольку диск бесконечно тонкий неравенство Ixx + Iyy ≥ Izz переходит в равенство Ixx + Iyy = Izz .Но в силу симметрии моменты инерции относительно осей x и y равны, поэтому имеем:Ixx = Iyy = Izz /2 = mR2 /4.В силу наличия плоскостейIxy = Ixz = Izy = 0, поэтомусимметрииmR24I=000mR240центробежные00mR242.

Стержень54моменты1 0 0mR20 1 0 .=40 0 2инерцииравнынулюРис. 880I= 00430ml23000ml231 0 0ml20 1 0 .=30 0 1Кинетическая энергия43.1 Кинетическая энергия материальной точкиОпределение. Кинетическая энергия материальной точки — скалярная мера механического движения, равная:mi vi2Ti =2т.е. половина произведения массы точки на квадрат ее скорости.43.2Кинетическая энергия системы материальных точекОпределение. Кинетическая энергия системы n материальных точек равна сумме кинетическихэнергий всех точек:nnXXmi vi2T =Ti =2i=1i=1• Теорема Кенига:Кинетическая энергия системы материальных точек в ее абсолютном движениискладывается из кинетической энергии центра масс системы, в предположении,что в нем сосредоточена масса всей системы, и кинетической энергии системыв ее движении относительно центра масс.Доказательство.Pnmi~ri— радиус-вектор центра массi=1 miCx y z — кенигова система координат, так как ~ri = Pi=1n0 0 0системы.

ПоэтомуPnmi~ri0=0i=1 mid~r0пер~viабс = ~viотн + ~vi = i + ~vCdtВыражение для кинетической энергии системы имеет вид:~ri0илиТак как= Pi=1nnn21Xd~ri01XT =mi ~viабс =mi+ ~vC2 i=12 i=1dtn1Xd~ri0T =mi2 i=1dt(см (135)). Поэтому!2+nXi=1mi(135)(136)!2nnnd~ri01X1X1 X· ~vC +mi (~vC )2 =mi (~viотн )2 + ~vC2midt2 i=12 i=12 i=1nXnnXd~r0d~r0d Xmi i · ~vC =mi i · ~vC =mi~ri0 · ~vCdtdtdti=1i=1i=11T = mvC2 + T отн2Что и требовалось доказать.55!=043.3Кинетическая энергия абсолютно твердого тела при поступательномдвиженииПо определению кинетической энергии механической системыn1XT =mi vi22 i=1Но при поступательном движении все точки тела имеют равные скорости ~vi = ~v , поэтому:nn1Xv2 Xmv 22T =mi vi =mi =2 i=12 i=12илиT =43.4mv 22Кинетическая энергия абсолютно твердого тела при вращении вокругнеподвижной осиДля любой точки тела vi = ωhi , поэтомуT =nnnω2 Xω2 X1Xmi vi2 =mi h2i =mi (x2i + yi2 )2 i=12 i=12 i=1т.е.Izz ω 2,2Pгде Izz = ni=1 (x2i + yi2 ) — осевой момент инерции тела.T =z6hi mi~riω~O6-yxРис.

895643.5Динамические уравнения ЭйлераДинамические уравнения Эйлера имеют видdωxMx = Ix+ (Iz − Iy ) ωy ωz ,dtdωyMy = Iy+ (Ix − Iz ) ωx ωz ,dtdωzMz = Iz+ (Iy − Ix ) ωx ωy ,dt43.6 Кинетическая энергия абсолютно твердого тела в общем случаеМасса тела m, скорость центра масс vC , угловая скорость тела ~ω , тензор момента инерции в центральных осях IC .