М.Н. Кирсанов - Краткий курс лекций, страница 4

ВведениеКинематика — наука о движении геометрических тел. В ней рассматривается само движение безизучения причин, вызывающих это движение. Впервые термин “кинематика"ввел А.Ампер (1775–1836), взяв за основу греческое 1 слово κινηµα, означающее движение.Простейшим объектом в кинематике является точка. В кинематике точки рассматриваются следующие функции времени t: радиус-вектор ~r(t), скорость ~v (t) и ускорение ~a(t):~v (t) =1d~r(t)d~v(t)d2~r(t), ~a(t) ==.dtdtdt2Андре Мари Ампер — французский физик, механик, математик.1923Способы задания движения23.1 Векторный способ задания движенияz P6~r(t)-yПоложение движущейся материальной точки можно задать вектором~ , изменяющимся с течением времени по величине и по на~r = OPправлению относительно некоторой системы осей Ox, y, z. Этот вектор называется радиус-вектором точки.xРис.

46Уравнение ~r = ~r(t) называется уравнением движения точки.Геометрическое место концов радиус-векторов ~r(t) называется траекторией точки P . Скорость~ и ускорение ~a точки P определяются как первая и вторая производные радиуса-вектора точки PVпо времени:~ = d~rV(18)dt~d2~rdV~a = 2 =(19)dtdt23.2Координатный способ задания движенияz P (x, y, z)6 ~k~i 6 ~jx~r(t)-yКоординаты движущейся точки в выбранной системе выражаютсякак функции времени. Система координат может быть произвольной. Наиболее часто используются декартовы прямоугольные координаты, полярные координаты, сферические, цилиндрические. Длядекартовых прямоугольных координат задают три независимые функции времениx = x(t), y = y(t), z = z(t).Эти уравнения называются уравнениями движения точки в декартовой системе координат.Рис. 47Скорость и ускорение точки P при таком способе задания движения определяются следующимивыражениями:~ = Vx~i + Vy~j + Vz~kV(20)~a = ax~i + ay~j + az~k(21)dydzdx; Vy = ; Vz =dtdtdt22dxdVxdydVyd2 zdVzax = 2 =; ay = 2 =; az = 2 =.dtdtdtdtdtdtМодули скорости и ускорения точки P равны:Vx =~|=V = |VqVx2 + Vy2 + Vz2 , a = |~a| =20qa2x + a2y + a2z(22)(23)(24)23.3Естественный способ задания движения−0 +s(t):Движение точки определяется заданием ее траектории и уравнения движения по этой траектории.

(Пример: расписание движенияпоездов по железной дороге.) Уравнение движения точки по траектории при естественном способе движения имеет вид: s = s(t). Здесьs — взятая с соответствующим знаком длина дуги, отсчитываемаявдоль траектории от начала отсчета O на траектории до точки M.Рис. 48Рис. 49Рассмотрим на траектории движения точки три последовательных ее положения: точки M, M1 иM2 .Если точка M1 занимает бесконечно близкое положение по отношению к точке M, то отрезокMM1 в пределе определит положение касательной к кривой в точке M.Если траектория не является прямой линией, то три точки M, M1 и M2 определяют некоторуюплоскость.

Плоскость, занимающая предельное положение, когда точки M1 и M2 стремятся к точкеM, называется соприкасающейся плоскостью. Касательная к кривой, построенная в точке M,лежит в этой плоскости.В общем случае три точки M, M1 и M2 (при стремлении M1 и M2 к точке M) однозначноопределяют окружность в соприкасающейся плоскости, называемую окружностью кривизны иликругом кривизны. Радиус этой окружности называется радиусом кривизны.Хорды MM1 и M1 M2 при неограниченном приближении точек M1 к M и M2 к M1 определяткасательные к кривой в точках M и M1 , соответственно, а следовательно, и направление скоростейв этих точках (~v и ~v1 ).Рис. 50Перенесем вектор скорости ~v1 в точку M. Два вектора определят плоскость. При неограниченномстремлении точки 1 к M эта плоскость будет соприкасающейся.Геометрическая величина вектора AB определяется из равенства:AB = AK + KB(25)Точки K и B находятся на одной и той же окружности с центром в точке M.

Разделим это равенствона ∆t:ABAK KB=+(26)∆t∆t∆tABОтношениеравно среднему ускорению точки M за время ∆t. Ускорение точки M является∆tпредельным значением среднего ускорения, когда ∆t стремится к нулю.AKРассмотрим вектор, который направлен по касательной к траектории. Предельное значение∆tмодуля этого вектора называется касательной или тангенциальной составляющей ускорения21точки и имеет вид:aτ = AK lim ∆t→∞ ∆t ~||v~1 | − |~v ||d|v|=∆t→∞∆tdt= lim(27)Можно также рассматривать вектор касательного ускорения a~τ , направление которого совпадает снаправлением скорости точки, а величина равна производной от модуля скорости точки.Рис.

51через ε угол между векторами ~v и v~1 . Тогда для предельного значения модуля вектора Обозначим AB получим: ∆t KB v1 εv1 ∆Sv1 ∆Sv2lim = lim= lim= lim=(28)∆t→∞ ∆t∆t→∞ ∆t ρ∆t→∞ ρ ∆t∆t→∞ ∆t ρЗдесь ∆S — длина дуги MM1 . Предельное значение отрезка MO, когда точка M1 неограниченноприближается к M, называется радиусом кривизны траектории в точке M.ρ= ∆S lim M →Mε1Угол ϕ определяется выражением ϕ =Предельное значение вектора(29)ε−ππ. Предельное значение этого угла при ∆t → 0 равно .22KBобозначим через a~n :∆tKB∆t→0 ∆ta~n = lim(30)v2, а сам вектор находится в соприкасающейся плоскости и направленρортогонально к скорости точки в сторону вогнутости траектории по главной нормали.

Поэтомувектор a~n называют нормальным ускорением точки.Модуль этого вектора равен~b6~τ:~nN:~aτ- ~aN~anРис. 52Рассмотрим систему осей координат с началом в точке M. Ось ~τ направим по касательной ктраектории точки, ось ~n — по направлению главной нормали, а третью ось β~ — так, чтобы тройкаэтих векторов образовала правую систему. Выбранные так оси представляют собой сопровождающийтрехгранник, который называют также естественным трехгранником.Проекции ускорения на оси естественного трехгранника равны:aτ =dvv2; an = ; aβ = 0dtρ22(31)24Кинематика абсолютно твердого тела24.1Распределение скоростей в абсолютно твердом телеОпределение.

Абсолютно твердым телом (А.Т.Т.) называют такую систему материальныхточек, расстояния между двумя любыми точками которой остаются всегда неизменными.Движение тела в кинематике начинают изучать с поступательного и вращательного движения.Во вращательном движении вводятся понятия угла поворота тела ϕ(t), угловой скорости и угловогоускорения.A ~rBzz0rA6~~rBy0-0x0Последние две величины векторные, но для вращательного движения их направление всегда постоянно — пооси вращения.

Поэтому в решении часто используютсяскалярные величины ωz (t) = ϕ̇(t), εz (t) = ω̇z (t), имеющиесмысл проекций этих векторов на ось вращения z. Точкойбудем обозначать производную по времени. Рассмотрим,как распределяются скорости точек движущегося произвольно А.Т.ТРис. 53~A = d~rA и V~B = d~rBСкорости точек A и B твердого тела можно записать как Vdtdt~~~~d(OB)d(OA)d(AB)d(AB)~ = OA~ + AB~ и~B = V~A +Но OB=+, следовательно V.dtdtdtdt~d(AB)d~r~A/BНазовем=скоростью точки относительно точки A: Vdtdt~A/B = d~r = d (x~i + y~j + z~k)Vzdtdt6Az0xrA6~0y- B~r z~rBy0-Axyz — система координат, жестко связанная с твердымтелом; xyz — проекции вектора ~r на оси связанной системы.

Так как x, y, z — константы,d~rd~id~jd~k=x +y +zdtdtdtdt0xРис. 54d~rНайдем проекциина подвижные оси Axyz. Проекция на ось x:dtd~rd~r ~d~id~jd~k ~d~jd~k ~|x =· i = x · ~i + y · ~i + z· i = y · ~i + z·idtdtdtdtdtdtdt(32)d~rd~r ~d~id~jd~k ~d~id~k ~|y =· j = x · ~j + y · ~j + z· j = x · ~j + z·jdtdtdtdtdtdtdt(33)Проекция на ось y:23Проекция на ось z:d~r ~d~id~jd~k ~d~id~jd~r|z =· k = x · ~k + y · ~k + z· k = x · ~k + y · ~kdtdtdtdtdtdtdtВ выражениях было учтено, что скалярное произведение~q · ~q = 1 =⇒d~qdt(34)· ~q равно 0 , так какd~qd~qd~qd~q· ~q + ~q ·= 0 =⇒ 2 · ~q = 0 =⇒· ~q = 0dtdtdtdtДалее отметим, что~~~~~i · ~j = 0 =⇒ di · ~j + ~i · dj = 0 =⇒ di · ~j = −~i · djdtdtdtdt(35)С учетом (35) введем следующие обозначения:d~j ~d~k× k = − × ~j;dtdt~d~idk ~ωy =× i = − × ~k,dtdt~di ~d~jωz =× j = − × ~idtdtωx =(36)Тогда выражения (32-33) можно переписать:Проекция на ось x:d~r| x = ωy z − ωz ydtПроекция на ось y:d~r|y = ωz x − ωx z;(37)dtПроекция на ось z:d~r| z = ωx y − ωy xdtРассмотрим векторное произведение ~ω × ~r, где в качестве компонент вектора ~ω возьмем ωx , ωy , ωz :~i ~j ~kω~ × ~r =  ωx ωy ωz k(ωx y − ωy x) = ~i(ωy z − ωz y) + ~j(ωz x − ωx z) + ~x y z(38)d~r~A/B = ~ω × ~r.

Построенный таким образом вектор ~ω являетсяСравнивая (37) и (38), получаем=Vdtединственным и не зависит от выбора точки A, называемой полюсом.Определение. Вектор ~ω , проекции которого определяются формулами (36) называется вектором угловой скорости твердого тела.~B = V~A + ~ω × AB.~ Эта формула называется основной формулой кинематики А.Т.Т.В итоге получаем Vи выражает Теорему о распределении скоростей при движении абсолютно твердого тела.Скорость произвольной точки А.Т.Т.

равняется геометрической сумме вектора скорости полюса и скорости точки во вращении вокруг полюса.2424.2Теорема о независимости угловой скорости от выбора полюсаТеорема. Угловая скорость абсолютно твердого тела не зависит от выбора полюса.Рис. 55Доказательство.Предположим, что это не так, т.е. ~ωA 6= ~ωB .По теореме о распределении скоростей в твердом теле (с.

24)~M = V~A + ~ωA × AM~V~M = V~B + ~ωB × BM~V(39)(40)~B = V~A + ~ωA × AB.~ Подставим это выражение в (40) :Но V~M = V~A + ~ωA × AB~ + ~ωB × BM~V(41)~ = ~ωA × AB~ +ω~ или ~ωA × (AM~ − AB)~ − ~ωB × BM~ = 0. НоИз (39) и (41) следует ~ωA × AM~ B × BM~ = AB~ + BM~ , следовательно ~ωA × BM~ − ~ωB × BM~ = 0 или (~ωA − ~ωB ) × BM~ = 0.AMПоэтому ~ωA = ~ωB . Что и требовалось доказать.24.3Поступательное движениеОпределение. Движение А.Т.Т.

называется поступательным если любой отрезок проведенный втеле движется параллельно своему первоначальному положению.Теорема. (о поступательном движении тела) При поступательном движении А.Т.Т. траектории всехего точек при наложении совпадают, а скорость и ускорение всех точек А.Т.Т. равны между собой.Доказательство.Проведем в теле произвольный отрезок AB. Точки A и B произвольные.A~r Bzz0rA6~0x0~rBy0-Согласно определению траектория точки В получаетсяиз траектории точки смещением на постоянный вектор~ Следовательно траектории точек и совпадают приAB.наложении.

Найдем скорости и ускорения.~~A = d~rA ; V~B = d~rB ~rB = ~rA + AB~ =⇒ d~rB = d~rA + dABVdtdtdtdtdtРис. 5625По определению поступательного движенияСледовательно~d(AB)=0dt~AV~B = V(42)~aB = ~aA(43)Дифференцируя (42) по времени, находимЧто и требовалось доказать.При поступательном движении А.Т.Т. достаточно знать (или задать) движение одной точки этоготела. Примером поступательного движения может служить движение кабины "Чертова колеса".24.4Вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной осиA~ABzBz0rA6~0~rBy0-Определение. Вращением тела вокруг неподвижной осиназывается такое движение, при котором какие-либодве точки тела остаются неподвижными.