М.Н. Кирсанов - Краткий курс лекций, страница 6

Механизм приводитсяyϕ3A36в движение вращеньем одного из звеньев. Найдем связь2A2 ϕ2 3угловых скоростей звеньев. Составляем кинематическийA1A41ϕ11-граф A1 −→ A2ϕ1xРис. 66Записываем уравнения графа:312−→ A3ϕ23−→ A4 .ϕ3vA4 x = vA1 x − l1 ω1z sin ϕ1 − l2 ω2z sin ϕ2 − l3 ω3z sin ϕ3 ,vA4 y = vA1 y + l1 ω1z cos ϕ1 + l2 ω2z cos ϕ2 + l3 ω3z cos ϕ3 .Координатная форма записи этих уравнений дает уравнения трех угловых скоростей3Pi=13Pi=1ωmiz (xni − xni+1 ) = 0,(64)ωmiz (yni − yni+1 ) = 0,где ωmiz — угловая скорость mi -го звена, xni , yni , xni+1 , yni+1 — координаты его концов.Номера шарниров ni , i = 1, ..., 4, как и номера звеньев mi , i = 1, ..., 3, не обязательно должныбыть последовательными числами.

Если угловая скорость одного из звеньев задана, то угловыескорости двух других легко найти из полученной системы уравнений. В некоторых задачах [5]заданы все три угловые скорости, а определяется конфигурация механизма — положение звеньев,соответствующее этим угловым скоростям.

В таких задачах метод МЦС не применим, метод графовв тригонометрической форме неэффективен, а уравнения трех угловых скоростей позволяют просторешить задачу.Интересен один простой и наглядный частный случай.Пусть y1 = y4 , y2 = y3 . Это означает, что четырехyзвенник принимает форму трапеции (рис.

67). Из второгоA2A36уравнения (64) имеем теорему трапеции, утверждающую,что угловые скорости боковых звеньев четырехзвенниA1ка, имеющего в данный момент форму трапеции, равA4-xны: ω1z = ω3z .Рис. 67Уравнения трех угловых ускорений четырехзвенника следуют непосредственно из формулы Ривальса и имеют вид3Pi=13Pi=1εmiz (xni − xni+1 ) −εmiz (yni − yni+1 ) +3Pi=13Pi=12ωm(yni − yni+1 ) = 0,iz(65)2ωm(xni − xni+1 ) = 0,izгде εmiz — угловое ускорение mi -го звена. Если угловые скорости известны, то система уравнений(65) позволяет найти угловые ускорения двух звеньев по ускорению третьего, которое часто просторавно нулю, если ведущее звено вращается равномерно.

При решении имеет смысл воспользоватьсясовпадением определителей систем (64) и (65).Очевидно простое обобщение уравнений трех угловых скоростей и уравнений трех угловых ускорений на большее число звеньев. Для этого достаточно изменить предел суммирования с 3 на числозвеньев.Сравнивая методы, заметим, что аналитический метод, как универсальный, имеющий простуюформализацию в виде графов и дающий результат в проекциях, безусловно наиболее предпочтителенпри решении задач теоретической механики.Однако в некоторых очевидных случаях метод киA- ~vAнематических графов применять нецелесообразно.O - ~vНапример, при определении скорости точки A циOлиндра, катящегося по неподвижной поверхности, позаданной скорости центра O (рис. 68) проще испольPзовать понятие мгновенного центра скоростей (МЦС).Рис.

68Цилиндр катится без проскальзывания, поэтомуточка P касания плоскости неподвижна. Следовательно, учитывая линейное распределение скоростей, получаем vOx = vAx /2.3224.8Распределение ускорений при плоском движенииРис. 69Скорость точки B определяется выражением:~V~B = V~A + ~ω × AB(66)~dV~BdV~A d~ω~ + ~ω × dAB=+× ABdtdtdtdt(67)Продифференцируем по времени:dϕ ~d2 ϕ ~dω ~d~ω= ~ε — вектор углового ускорения тела. Так как ~ω =k, то ~ε =k =k2dtdtdtdt1Размерность: [ε] = 2сВ выраженииПри плоском движении вектор углового ускорения перпендикулярен плоскости движения, а еговеличина равна второй производной по времени угла поворота тела вокруг полюса.~dAB~= ~ω × ABdt(68)~ + ~ω × (~ω × AB)~~aB = ~aA + ~ε × AB(69)Поэтому выражение можно переписать:~ = ~ω · (~ω · AB)~ − AB~ · (~ω · ~ω ) = −ABω~ 2 , выражение можно переписать вУчитывая, что ω~ × (~ω × AB)виде:~ − ω 2 AB~~aB = ~aA + ~ε × AB(70)~ = ~aτ — касательное (вращательное) ускорение точки B относительно полюсаВ выражении ~ε × ABBA~ = ~an — нормальное (осестремительное) ускорение точки B относительно полюса A.A; (-ω 2 AB)BAС учетом последних замечаний имеем:~aB = ~aA + ~aτBA + ~anBA(71)Формула выражает теорему о распределении ускорений при плоском движении:~aB~aBAI~aτBA 6~aA11AТеорема.

Ускорение произвольной точки телапри плоском движении равняется геометрической сумме векторов ускорения полюса, вращательного и осестремительного ускорений.~aA~anBA BРис. 703324.9Теорема о проекциях скоростей двух точек на прямую, проходящуючерез эти точкиТеорема. Проекции скоростей двух точек абсолютно твердого тела на прямую, проходящую черезэти точки, равны между собой.Доказательство.Для абсолютно твердого тела имеем:~B = V~A + ~ω × AB~VПроектируем это равенство на прямую LM, проходящую через точки A и B.~B ) = Пр (V~A ) + Пр (~ω × AB)~ПрLM (VLMLM~ = 0, так как вектор ~ω × AB~ перпендикулярен прямой LM.ПрLM (~ω × AB)~~Следовательно, ПрLM (VB ) = ПрLM (VA ), что и требовалось доказать.24.10Способы нахождения мгновенного центра скоростей• Задан вектор скорости в точке A и прямая, вдоль которой направлен вектор скорости в точкеVAVBVMB. Так как== ...

== ωzAPBPMPа) проводим прямую перпендикулярно вектору скорости в точке А ;б) проводим прямую перпендикулярно направлению вектора скорости в точке В ; точка Р мгновенный центр скоростей.в) определяем направление вращения по направлению вектора скорости в точке А .• Заданы векторы скоростей в точках А и В (векторы параллельны).VBVA=APBP• Заданы векторы скоростей в точках А и В (векторы параллельны). Перпендикуляры к векторамскоростей в точках A и B не пересекаются, и по теореме о проекциях скоростей двух точектвердого тела на прямую, проходящую через эти точки, скорости точек равны. Т.е., движениетела поступательное.24.11 Плоское движение. Расчет механизмовСкорость точки B тела при плоском движении вычисляют через известную скорость какой-либоточки A того же тела, принимаемой за полюс (рис. 71):~~vB = ~vA + ~vBA , ~vBA = ~ω1 × AB.(72)Для расчета скоростей точек многозвенного механизма, каждое звено которого совершает плоскоедвижение,формулу(72)применяютпоследовательнодлявсехточек,переходя34y6B~vA 1ϕAот одной точки, принимаемой за полюс, к другой.

Схему вычислений в этомслучае удобно записывать в виде структурных формул*~vB1A −→ B ,ϕ1-xгденадстрелкойуказанномертелаилистержня,которомупринадлежатточки,аснизуРис. 71~ В проекциях на оси x, y граф (73) дает уравнениямежду осью x и вектором AB.vBx = vAx − AB ω1z sin ϕ1 ,vBy = vAy + AB ω1z cos ϕ1 ,(73)наименование— угол ϕ(3)где ω1z — проекция угловой скорости тела 1 на ось z, перпендикулярную плоскости движения.Если вращение происходит против часовой стрелки, то ω1z = |ω1 |, а если — по часовой стрелке, тоω1z = −|ω1 |.Ускорения точек тела при плоском движении связаны формулой~ +ω~aB = ~aA + ~ε × AB~ × ~vBA .(74)Расчет скоростей механизма с помощью МЦС• Определяем положение мгновенного центра скоростей (МЦС) каждого звена.

МЦС лежит напересечении перпендикуляров, проведенных к скоростям точек, принадлежащих звену (рис. 72).У тех звеньев, у которых МЦС не существует (скорости двух точек параллельны и не перпендикулярны отрезку, их соединяющему), угловая скорость равна нулю, а скорости всех точекравны. Если векторы скоростей перпендикулярны отрезку их соединяющему, то имеют местодва частных случая положения МЦС (рис.

73, 74).Если тело (колесо, диск, цилиндр) катится по поверхности без проскальзывания, то МЦСэтого тела находится в точке касания.• Для каждого звена определяем расстояния от его точек до МЦС этого звена.~vBKA~vAωAB =BPРис. 72A~vA ?vB +vAABPABРис. 73~vB6PABAB?~vABωAB =vB −vAAB?~vBРис. 74• Записываем систему уравнений для скоростей N точек звена i, включая точку с известнойскоростью:vk = ωi Rik , k = 1...N.Здесь ωi — угловая скорость звена i, Rik — расстояние от МЦС звена i до точки k.

Решаемсистему, определяем угловую скорость звена, а затем скорости всех его точек.Этот пункт плана выполняем последовательно для всех звеньев механизма. Очередное звенодолжно иметь общую точку (шарнир) с предыдущим, для которого угловая скорость найденаили известна.3525Сложное движение точки25.1 Формула Бураz1Iz6~rM~k 6-~ ~jiMK ρ~~k1I ~j13O1~rO1Определение. Если точка M движется в некоторой системе координат Ox1 y1 z1 , а сама система координат движетсяотносительно другой условно неподвижной системы координат, то такое движение точки называется сложным.Определение. Относительное движение – движениеточки M относительно подвижной системы координатOx1 y1 z1 .Определение.

Переносное движение – движение подвижной системы координат Ox1 y1 z1 движение относительнонеподвижной Oxyz.y1~i1-yx1 xРис. 75Определение. Абсолютное движение точки — движение точки M относительно неподвижнойсистемы координат Oxyz.Вектор ρ задает положение точки относительно подвижной системы координат, вектор rM задаетположение точки в неподвижной системе Oxyz.Найдем производную d~ρ/dt.