М.Н. Кирсанов - Краткий курс лекций, страница 2

. . , F~n } ∼ {0}(1)Определение. Если система сил эквивалентна одной силе, то эта сила называется равнодействующей. Не всякая система сил имеет равнодействующую.~{F~1 , F~2 , . . . , F~n } ∼ {R}(2)Сила — не свободный вектор. Равенства сил не достаточно для эквивалентности.F~ P~ Рис. 2F~ = P~ , но эти силы не эквивалентны, т.е. оказывают различное действие на абсолютно твердое тело43Аксиомы статики и их следствияОпределение. Элементарными операциями над силами являются cложение и разложение сил поправилу параллелограмма, добавление и отбрасывание систем сил, эквивалентных нулю.Аксиома 1 (о векторном характере силы, действующей на точку)F~1F~1 + F~2 F~2RСила, действующая на материальную точку, можетбыть охарактеризована величиной, направлением иподчиняется закону сложения по правилу параллелограмма.Рис.

3Аксиома 2 (о двух силах)F~2 {F~1 , F~2 } ∼ {0}(3)Две силы, приложенные к абсолютно твердому телу, эквивалентны нулю тогда и только тогда, когдаони равны по модулю, действуют по одной прямой инаправлены в противоположные стороны.F~1Рис.4Аксиома 3 (об упрощении системы сил)Системы сил, эквивалентные нулю, можно добавлять к любой системе сил или отбрасывать от нее.Следствие (аксиом 2 и 3)F~A{F~B , F~A1 } ∼ {0};~1FA|F~B | = |F~A | = |F~A1 |(4)F~BСила, действующая на абсолютно твердое тело, представляется скользящим вектором. Скользящий вектор можно двигать вдоль линии действия силы.Рис. 5Аксиома 4 (о взаимодействии разных тел — третий закон Ньютона)При взаимодействии двух тел сила, с которой первое тело действует на второе, равна по величине,находится на той же прямой и противоположно направлена по отношению к силе, которая действуетна первое тело со стороны второго.Аксиома 5 (о связях)Определение.

Связями в механике называют ограничения, препятствующие движению материальных тел.Действие связей можно заменить силами (которые называются реакциями связей) по определенным правилам.Рис. 6Аксиома 6 (Отвердевания)5При добавлении связей к системе тел, на которую действует система сил, эквивалентная нулю,состояние системы не меняется.4Теорема о приведении произвольной системы сил к двум силамТеорема. Произвольную систему сил с помощью только элементарных операций можно привести кдвум силам.Доказательство.1.

Одна сила: Разложить по правилу параллелограмма.*jРис. 72. Две силы: Уже приведены.3. Три силы: ( F~A в точке A, F~B в точке B, F~C в точке C):F~A~BF6~ FCACBРис. 8(a) Через точку A и вектор F~C проводим плоскость (рис. 9). Точка B в эту плоскость можети не попадать.6~AFF~B6~ FCACBРис. 9(b) Через точку A и вектор F~B проводим плоскость (рис.

10).~AFF~B6F~CACBРис. 10(c) На линии пересечения плоскостей выберем произвольную точку D (рис. 11).(d) Провести прямые AB, BD в одной плоскости и AC, DC в другой (рис. 11).(e) Разложить вектор F~B на направляющие AB, BD по правилу параллелограмма.F~B = F~B0 + F~B00 . Разложить вектор F~C на направляющие AC, DC по правилу параллелограмма.

F~C = F~C0 + F~C00 .(f) Переместить составляющие векторов F~B и F~C вдоль направляющих к точкам A и D(рис. 12).7~AF~AFF~B~ FC0Y~0FBAYF~C00F~B00F~C00~FCA6CC~0FBIBB~ 00FB F~0IDCDРис. 11Рис. 12(g) В точках A и D сложить силы по правилу параллелограмма.Понятно, что систему, состоящую из большего (чем три) количества сил, можно привести к двумсилам, последовательно работая с каждыми тремя силами.Теорема. Произвольную систему сил только с помощью элементарных операций можно привестик двум силам, одна из которых будет приложена в заранее указанной точке.Доказательство.Сначала система приводится к двум силам по алгоритму предыдущей теоремы. Далее необходимопровести (две) плоскости через заданную точку и полученные векторы сил.

Заданная точка будетнаходиться на пересечении плоскостей. Остается выбрать произвольную точку на линии пересеченияплоскостей и повторить пункты 4-7 доказательства предыдущей теоремы.5 Момент силы относительно точки~M6BOAF~Определение. Моментом силы относительно точки называется вектор, численно равный произведению модуля силы наплечо, т.е.

на кратчайшее расстояние от указанной точки долинии действия силы, и направленный перпендикулярно плоскости, проходящей через выбранную точку и линию действиясилы, в ту сторону, откуда последовательный обход точек: выбранной, начала вектора силы, конца вектора силы и снова выбранной точки виден происходящим против часовой стрелки.Рис. 13Если O — точка, относительно которой определяется момент силы F~ , то момент силы обозначается обычно, как MO (F ). Можно показать, что, если точка приложения силы F~ определяетсярадиусом-вектором ~r относительно точки O, то справедливо соотношение~ O (F~ ) = ~r × F~M8(5)т.е. момент силы относительно точки равен векторному произведению вектора ~r на вектор F~ .Пусть x, y, z — координаты точки приложения силы F , а Fx , Fy , Fz — проекции силы на координатные оси.

Тогда момент силы F относительно начала координат имеет вид:~i ~j ~k~~~MO (F ) = ~r × F = x y zFx Fy Fz= (yFz − zFy )~i + (zFx − xFz )~j + (xFy − yFx )~k(6)Отсюда следует, что проекции момента силы относительно начала координат на координатные осизадаются формулами:MOx (F~ ) = yFz − zFyMOy (F~ ) = zFx − xFz M (F~ ) = xFy − yFxOz6 Связь моментов одной и той же силы относительно разныхточекF~O1AIOПо определению момент силы относительно центра O:~ O (F~ ) = OA~ × F~ ;MM~O1 (F~ ) = O~1 A × F~ .~ поэтомуВектор O~1 A можно представить как сумму O~1 A = O~1 O + OA,~ × F~ = O~1 O × F~ + M~ O (F~ )M~O1 (F~ ) = O~1 A × F~ = O~1 O × F~ + OA(7)Рис. 14Отсюда получаем связь моментов относительно разных центров~ O (F~ ) + O~1 O × F~M~O1 (F~ ) = M7Теорема о проекциях векторов моментов силы относительноразных точекТеорема.

Проекции векторов моментов одной и той же силы относительно двух разных точек напрямую, проходящую через эти точки, равны между собой.Доказательство.Используем формулу связи моментов одной и той же силы относительно разных точек:~ O (F~ ) = O~1 O × F~M~O1 (F~ ) − M(8)Для проекций левой и правой частей этого равенства на ось O1 O можно записать:~ O (F~ )} = Пр{O~1 O × F~ }Пр{M~O1 (F~ )} − Пр{M(9)Но Пр{O~1O × F~ } = 0, так как вектор O~1 O × F~ перпендикулярен плоскости, в которой находится~ O (F~ )}ось O1 O.

Следовательно, Пр{M~O1 (F~ )} = Пр{M98Момент силы относительно осиL0F~K~MOAОпределение. Моментом силы относительно оси называется скалярнаявеличина, равная проекции вектора момента силы относительно любойточки оси на саму ось.LРис. 15Один из способов вычисления момента силы относительно оси:1. Выбрать на оси произвольную точку и построить через эту точку плоскость, перпендикулярнуюоси.2.

Спроектировать на плоскость силу.3. Определить момент полученной проекции силы относительно выбранной точки.9Главный вектор, главный момент системы силF~2: A20zПусть дана произвольная система сил {F~1 , F~2 , . . . , F~n }.~ = Pn F~k называют главным вектором.

СуммуСумму этих сил Rk=1моментов сил относительно какого-либо полюса (центра приведения)~ O = Pnk=1 M~ O (F~k ) = Pnk=1 OA~ k × F~k называют главным моментомMрассматриваемой системы сил.- A1jF~nРис. 1610 F~1~UF3Связь главных моментов системы сил относительно разныхточек~O =MnX~ O (F~k ) =Mk=1M~O1 =nXM~O1 (F~k ) =k=1M~O1 =nXk=1PnO~1 O × F~k +nXnXk=1(O1~Ak × F~k ) =k=1nXk=1~ k × F~kOAnX~ k × F~k ][O~1 O × F~k + OAk=1~ k × F~k = O~1 O ×OAЗдесь k=1 F~k — главный вектор системы, а~ O = O~1 O × R.~точки O. Следовательно, M~O1 − MPn10~k=1 OAknXk=1F~k +nXk=1~ k × F~kOA× F~k — главный момент относительно11Условия равновесия системы силДля равновесия системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент системы относительно любого центра приведения были равны нулю:R = 0; MO = 0.Для проекций векторов R и MO на координатные оси уравнения равновесия имеют вид:Rx = 0; Ry = 0; Rz = 0;илиnXFkx = 0;k=1nXMx = 0; My = 0; Mz = 0.Fky = 0;k=1nXFkz = 0(10)(11)k=1(суммы проекций сил на оси координат)nXk=1Mx (F~k ) = 0;nXMy (F~k ) = 0;k=1nXMz (F~k ) = 0(12)k=1(суммы моментов сил относительно осей координат)12Пара силF~BF~ 0Определение.

Парой сил называется система из двух сил, равныхпо величине и противоположно направленных. Пара сил полностьюопределяется своим моментом, так как главный вектор пары всегдаравен нулю.A Рис. 17~ = F~ + F~ 0 ;Rно~O = M~ O (F~ ) + M~ O (F~ 0 ) = OA~ × F~ + OB~ × F~ 0 = OB~ × F~ 0 − OA~ × F~ 0 ,M~ = OA~ + AB~ ⇒ AB~ = OB~ − OA~ ⇒M~ O = (OB~ − OA)~ × F~ 0 = AB~ × F~ 0 ,OB(13)(14)~ O = AB~ × F~ 0 .

Момент пары не зависит от выбора центра приведения.т.е. MПары сил с одинаковыми моментами действуют на твердое тело одинаково, поэтому пару силможно видоизменять, как угодно, сохраняя момент.Момент пары перпендикулярен плоскости пары. Абсолютное значение вектора момента парыравно произведению абсолютного значения силы пары на плечо пары.Теорема. Произвольную систему сил всегда можно привести к одной силе и одной паре.13Теорема об эквивалентности нулю системы силТеорема.

Система сил, приложенных к твердому телу, эквивалентна нулю тогда и только, когда уэтой системы равны нулю главный вектор и главный момент.1113.1 Доказательство необходимости~ = 0, M~ O = 0.Дано: {P~1 , P~2 , . . . , P~n } ∼ {0}. Доказать: RПо теореме о приведении произвольной системы сил к двум силам данную систему сил можнопривести к двум силам. Поэтому можно рассматривать новую систему сил: {F~1 , F~2 } вместо исходной.Согласно аксиоме о двух силах, приложенных к абсолютно твердому телу, эти силы эквивалентнынулю тогда и только тогда, когда они равны по модулю, действуют по одной прямой и направлены впротивоположные стороны.~ = F~1 + F~2 и M~ O = 0 (O — произвольная точка).Следовательно, R13.2 Доказательство достаточности~ = 0, M~ O = 0.Дано: RДоказать: {P~1 , P~2 , . . .

, P~n } ∼ {0}~ = 0, F~1 + F~2 = 0 или F~1 = −F~ 2.Систему {P~1 , P~2 , . . . , P~n } можно привести к {F~1 , F~2 }. Так как RНо тогда возможны два случая.1. Силы лежат на одной прямойF~1F~20Рис. 18Но тогда {F~1 , F~2 } ∼ {0} и, следовательно, {P~1 , P~2 , . . . , P~n } ∼ {0}2. Силы лежат на параллельных прямыхF~1 AF~20Рис. 19~ A = 0. По теореме о связи главных моментов системы сил относительно разныхПокажем, что M~~~ × R.~ Но R~ =0иM~ O = 0 по условию. Следовательно, M~ A = 0.точек MA − MO = AO14 Теорема об эквивалентности систем силТеорема. Две системы сил, действующие на твердое тело, эквивалентны тогда и только тогда, когдау них равны между собой главные векторы и главные моменты.14.1 Доказательство необходимости~ 1, G~ 2, .