Тензорный анализ для физиков (Сборник материал для ознакомления с ФП), страница 7

Заметим, что смешанное произведение любых трёх векторов обладает рядомсвойств:• при перестановке двух векторов оно меняет знак;• если любые два вектора в смешанном произведении совпадают, оно равно нулю.Поскольку векторы нового базиса ортонормированны и по умолчанию образуr r rют правую тройку векторов, то (e1′, e2′ , e3′ ) = 1 . С учётом всего вышесказанногоr r rостаётся заключить, что (ei′, e ′j , ek′ ) = ε ijk .

В итоге, получаемα inα jmα kl ε nml = ε ijk .Таким образом, мы доказали, что тензор Леви-Чивита является изотропным.38С помощью тензора Леви-Чивита упрощается и формализуется записьrrмногих соотношений. Так, например, векторное произведение векторов a и bможно представить так:rr ra , b = ε ijk ei a j bk[ ]fl[ar, b ]ri= ε ijk a j bk(25)Соответственно смешанное произведение, выраженное через компоненты векторов-сомножителей, имеет вид:( ar, b , cr ) = εrijkai b j ck .(26)Произведение ε ijk ε lmn образует тензор шестого ранга, свёрткой которогоможно получить тензоры четвёртого и второго рангов.

Эти тензоры по определению изотропны, поэтому должны выражаться через различные комбинациисимволов Кронекера:ε ijk ε lmnδ il δ im δ in= δ jl δ jm δ jn .δ kl δ km δ knε ijnε lmn = δ ilδ jm − δ imδ jl ,ε imnε lmn = 2δ il ,(27)Отсюда нетрудно получить:ε lmnε lmn = 6.(28)Рассмотрим теперь с учётом выражения (25) двойное векторное произвеr r rдение a , b , c . Поскольку это вектор, рассчитаем отдельную его компонентуr r ra , b , c i . По определениюr rr r ra , b , c i = ε ijk a j b , c k = ε ijk a jε knm bn cm = ε ijk ε knm a j bn cm = K[ [ ]][ [ ]][ [ ]][ ]У второго тензора Леви-Чивита в данном произведении совершим циклическуюперестановку индексов, поставив индекс k на последнее место, тогда сможемвоспользоваться первым из трёх соотношений (30):K = ε ijk ε nmk a j bn cm = (δ inδ jm − δ imδ jn )a j bn cm = δ inδ jm a j bn cm − δ imδ jn a j bn cm =r rr r= a j bi c j − a j b j ci = bi a j c j − ci a j b j = bi (a , c ) − ci a , b .( )В итоге получаем[ar, [b , cr ]] = b (ar, cr ) − c (ar, b ).rrii39iЧтобы получить соотношение в векторном виде, умножим обе части полученrного равенства на базисный вектор ei и просуммируем по i:r r r r r rr r r rr r rr r rr r ra , b , c i ei = bi ei (a , c ) − ci ei a , b fl a , b , c = b (a , c ) − c a , b .[ [ ]]( )[ [ ]]( )В результате мы вывели уже упоминавшееся ранее соотношение (8).rr☺ Пример 17.

Из компонент векторов A и B построены следующие тензоры:1Tik(1) = δ ik + Ai Bk + Ak Bi ,2Tik( 2 ) =1( Ai Bk − Ak Bi ) ,2Tik( 3) = ε ikl ( Al + Bl ) .Требуется найти следующие свёртки: Tik(1)Tki( 2 ) , Tik( 2 )Tki( 3) и Tik( 3)Tki(1) .Посчитаем первую свёртку:⎛1⎞1Tik(1)Tki( 2 ) = ⎜ δ ik + Ai Bk + Ak Bi ⎟ ( Ak Bi − Ai Bk ) =⎝2⎠21⎛11⎞= ⎜ δ ik Ak Bi − δ ik Ai Bk + Ai Bk Ak Bi − Ai Bk Ai Bk + Ak Bi Ak Bi − Ak Bi Ai Bk ⎟ =2⎝22⎠r r2 r rr rr r 2⎞1⎛1 r r 1 r r= ⎜ A, B − A, B + A, B − A2 B 2 + A2 B 2 − A, B ⎟ = 02⎝22⎠() () ()()Итак, получили Tik(1)Tki( 2 ) = 0 . Если обратить внимание на структуру обоих тензоров, станет понятно, что такой результат свёртки был предсказуем.

Дело в том,что тензор Tik(1) симметричен, а Tik( 2 ) – антисимметричен. А как было показано впримере 16 свёртка симметричного и антисимметричного тензоров всегда равна нулю.Тензор Tik( 3) также является антисимметричным, т.к. тензор Леви-Чивитаантисимметричен по первой паре индексов. По этой причине будет равна нулюсвёртка Tik( 3)Tki(1) .Выражение Tik( 2 )Tki( 3) , очевидно, является скаляром, представляющем собой сумму выражений вида ε kil Ai Bk Al (или ε kil Ai Bk Bl ), каждое из которых равнонулю, поскольку представляет собой смешанное произведение векторов, два изкоторых совпадают. Следовательно, свёртка Tik( 2 )Tki( 3) также равна нулю.40Как уже отмечалось выше, антисимметричный тензор II-го ранга имееттри независимые компоненты, преобразующиеся друг через друга при поворотесистемы координат.

С другой стороны, вектор также имеет три компоненты,преобразующиеся известным образом. Это позволяет установить соответствиемежду независимыми компонентами антисимметричного тензора II-го ранга икомпонентами некоторого вектора. Так, дуальным антисимметричному тензорувторого ранга Anm называется вектор Dk , компоненты которого определяютсясвёрткой: Dk = 1 ε knm Anm .2☺ Пример 18. Построим вектор, дуальный тензору Anm , если⎛ 0 1 2⎞⎟⎜Anm = ⎜ − 1 0 − 1⎟ .⎜− 2 1 0 ⎟⎠⎝Для этого просто рассчитаем отдельные компоненты дуального вектора:D1 = 1 ε 1nm Anm = 1 (ε123 A23 + ε132 A32 ) = 1 ( A23 − A32 ) = 1 ( A23 + A23 ) = A23 = −1 .2222rАналогично, D2 = A31 = −2 и D3 = A12 = 1 .

Таким образом, D = {− 1, − 2,1}.§ 4. Приведение симметричного тензора II-го ранга к диагональному видуКак известно, результатом свёртки тензора второго ранга с вектором являrется вектор: Tij A j = Bi . При этом, однако, может оказаться, что оба вектора ( A иrB ) коллинеарны друг другу, т.е. верно соотношениеTij A j = λAi .(29)rТогда A называется собственным (главным) вектором, соответствующим собственному (главному) значению λ . Уравнение (29) решается следующим образом:Tij A j = λAiflTij Aj − λδ ij A j = 041fl(Tij− λδ ij )A j = 0 .Последнее равенство можно понимать как однородную систему линейных уравнений для компонент собственных векторов. Потребуем, чтобы она имела нетривиальное решение:det ( Tij − λδ ij ) = 0 .(30)Это уравнение называется характеристическим уравнением.

В трёхмерномпространстве характеристическое уравнение является уравнением третьей степени и имеет три корня – λ(1) , λ( 2 ) , λ( 3) – каждому из которых соответствуетrrrсвой собственный вектор – A(1) , A( 2 ) , A( 3) .До сих пор мы говорили о тензорах различных рангов в трёхмерном евклидовом пространстве, предполагая действительность их компонент.

Однакостоит заметить, что в математике и физике рассматриваются векторные пространства и над множеством комплексных чисел, когда компоненты тензоровмогут быть комплексными. Далее мы, как и ранее, ограничимся рассмотрениемслучая, когда все компоненты симметричного тензора второго ранга действительны. При этом характеристическое уравнение, являясь кубическим уравнением с действительными коэффициентами, имеет либо три действительныхкорня, либо один действительный и два комплексно сопряжённых. Докажемтеперь связанную с этим теорему.Теорема.

Собственные значения симметричного тензора второго ранга – вещественны, а его собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.Доказательство. Для доказательства теоремы рассмотрим симметричныйтензор второго ранга Tij , имеющий собственные значения λ(1) , λ( 2 ) , λ( 3) и собrrrственные векторы A(1) , A( 2 ) , A( 3) , удовлетворяющие уравнению Tij A j = λAi .Предположим, что собственные значения тензора, вообще говоря, комплексны,тогда придётся допустить также то, что комплексными являются и компонентысобственных векторов.

Наряду с исходным уравнением рассмотрим тогда егокомплексно сопряжённый вариант:42⎧Tij A j = λAi⎨∗∗ ∗⎩Tij A j = λ AiУмножая первое уравнение на Ai∗ , второе – на Ai и вычитая из первого второе,получим0 = (λ − λ∗ ) Ai ,2откуда немедленно следует действительность собственных значений ( λ∗ = λ ).Здесь при выводе воспользовались также симметрией тензора Tij :Tij A∗j Ai = T ji A∗j Ai = Tij Ai∗ A j .i↔ jrrТеперь рассмотрим два собственных вектора A(1) , A( 2 ) , отвечающие собственным значениям λ(1) и λ( 2 ) , причём пусть λ(1) ≠ λ( 2 ) . Эти величины удовлетворяют уравнениям:⎧Tij A(j1) = λ(1) Ai(1)⎨(2)(2) (2)⎩Tij A j = λ AiАналогично предыдущему доказательству, умножим первое уравнение на Ai( 2 ) ,а второе – на Ai(1) .

Вычитая из первого второе, получимr r0 = (λ(1) − λ( 2 ) ) A(1) , A( 2 ) ,()откуда при λ(1) ≠ λ( 2 ) , очевидно, следует ортогональность собственных вектоr rров: A(1) , A( 2 ) = 0 .()В продолжение заметим, что в случае, когда два собственных значениятензора равны друг другу, или даже все три собственных значения одинаковы,то отвечающие им собственные векторы могут быть выбраны ортогональнымидруг другу.На трёх ортогональных собственных векторах может быть построена собственная система координат тензора, в которой он принимает наиболее про-стой вид – вид диагональной матрицы, на главной диагонали которой располагаются собственные значения. При этом необходимо проследить за тем, чтобысобственные векторы образовывали правую тройку: тогда переход в собствен-43ную систему координат из исходной системы будет формально возможен посредством её поворота.☺ Пример 19.