Тензорный анализ для физиков (Сборник материал для ознакомления с ФП), страница 4

Теперь мы готовы сформулировать определение.Определение. Если при инверсии системы координат вектор не меняет своегонаправления (его компоненты меняют знак), то он называется полярным. Еслиже при инверсии системы координат вектор меняет своё направление на противоположное (его компоненты не меняются), то он называется аксиальным(осевым вектором или псевдовектором).21[ ]r rr rrВ нашем примере векторы a , b и c – полярные, а вот a , b – вектор аксиальный. Физическими примерами полярных векторов являются векторы пеrrrrремещения S , скорости v , ускорения a и силы F , вектор напряжённости элекrтрического поля E и т.д.

Как было показано выше, векторное произведениедвух полярных векторов есть вектор аксиальный, поэтому из примеров аксиальных векторов в физике можно сразу назвать векторы момента импульсаr r rr r rl = [r , mv ] и момента силы K = r , F . Также аксиальными являются, например,rrвекторы угловой скорости ω и углового ускорения ε , вектор напряжённостиrмагнитного поля H .[ ]Существенное последствие разделения векторов на два вида состоит втом, что, подобно тому как складывать, вычитать и сравнивать между собойможно лишь физические величины одинаковой размерности, точно так же векторы разного типа нельзя складывать и сравнивать между собой.

Скажем,сумма полярного и аксиального векторов не является ни полярным вектором ниаксиальным. В результате, при инверсии системы координат этот «вектор» непреобразуется ни по какому закону. Сравнение векторов разного типа такжеr r rнекорректно: в нашем примере исходно было a , b = c , а после инверсии равен-[ ]ство нарушилось. С точки зрения физики, заведомо некорректной будет являтьrrся, например, сумма v + α ⋅ ω , даже при условии, что подбором множителя αбудут согласованы размерности двух слагаемых.

И подобных примеров можнопривести ещё очень много.В соответствии с разделением векторов на полярные и аксиальные скалярные величины также можно разделить на скаляры первого рода (истинныескаляры) и скаляры второго рода (псевдоскаляры). В физике все величины, по-лучающиеся в результате измерений какой-либо характеристики объекта, например, массы, давления, температуры, силы тока и т.д., являются скалярамипервого рода и не меняются при инверсии системы координат.

Напротив, некоторые скалярные величины, получающиеся, как правило, в результате математических операций над векторами, могут менять знак при инверсии системы22координат; они и называются скалярами второго рода или псевдоскалярами.r rТак, псевдоскалярами являются, например, скалярные произведения (v, ω ) илиr r(E , H ).Задания для самостоятельного решенияI-1.

Определить, образует ли векторное пространствоа). множество комплексных матриц 2 × 2;б). множество непрерывных на промежутке x ∈ [0, 1] функций;в). множество упорядоченных пар действительных чисел (x, y);г). множество комплексных чисел?Если ответ положительный, то определить размерность пространства, датьвозможное определение скалярного произведения его элементов, предложить (ортонормированный) базис.rrrr rr rrI-2. Даны векторы a = 2i + 2 j − k и b = 2i − j + 3k . Найти длины проекцийэтих векторов друг на друга.rr r rr rrI-3.

Дан вектор p = 2a + 3b − 5c , где a , b и c – взаимно перпендикулярныеrrrrвекторы, причем | a | = 1, | b | = 2 и | c | = 3. Найти углы между вектором p иr r rr r rr rб). векторами a + b , − (a + b + c ) .а). векторами a , b , c ;I-4. При каком значении t данные векторы компланарны?rrrа). a = {3, 6, 9} , b = {2, 5, 8} , c = {4, 7, t} ;rrrб). a = {5, 8, 11} , b = {3, 5, 7} , c = {1, t , 3} ;rrrI-5.

Даны три вектора: a = {1, 1, 1} , b = {5, − 3, − 3} , c = {3, − 1, 1} . Найти коордиrнаты векторов, коллинеарных вектору c , длины которых равны длине векr rтора a + b .rI-6. При каких значениях а вектор m = {−11, 6, − 5} можно разложить по вектоrrрам p = {a, 2, − 1} и q = {8, 9, − 4} ?23rI-7. При каком значении а вектор m = {9, 1} нельзя разложить по векторамrru = {2, 1} и v = {1, a} ? Выполнить разложение при а = 1.r r rI-8.

Параллелепипед построен на трёх некомпланарных векторах a , b , c . Най-ти площади его диагональных сечений и объем.I-9. В кубической элементарной ячейке за базисные вектора выбираютсяrrra x = {1, 0, 0} , a y = {0, 1, 0} , a z = {0, 0, 1} . Найти:а). площади диагональных сечений куба;б).

углы между базисными векторами и нормалями к диагональным поверхностям.r r r rrI-10. Показать, что ((r − a ) ⋅ (r + a )) = 0 – уравнение сферы. Здесь r – радиусrвектор, а a – постоянный вектор.I-11. Доказать тождество Лагранжа:(ar ⋅ cr ) (ar ⋅ mr )r r r r([a × n ]⋅ [c × m]) = r r r r .(n ⋅ c ) (n ⋅ m )r r rr r rI-12. Доказать, что из равенства [a × [ p × r ]] = [[a × p ] × r ] при( pr ⋅ rr ) ≠ 0 следует коллинеарность векторов ar и rr .(ar ⋅ pr ) ≠ 0иI-13. Доказать тождество Якоби:r r rrr r rr r ra × [b × c ] + c × [a × b ] + b × [c × a ] = 0 .[] [] []I-14.

Найти компоненты матриц поворота системы координат на угол ϕ вокругоси x и вокруг оси y. Записать матрицу обратного преобразования.I-15. Доказать, что определитель матрицы поворота равен единице.I-16. Показать, что единственным «изотропным» вектором (компоненты кото-рого одинаковы во всех системах координат) является нулевой вектор.I-17. В исходной декартовой системе координат известны компоненты вектораra . Найти его компоненты в системе координат, повёрнутой относительноисходной на некоторый угол вокруг одной из осей:rа). a = { 1, 1, 3} , вокруг оси Ox на 30°;rб). a = {0, 3, 3} , вокруг оси Ox на 120°;24rв).

a = {2 2 , 2 2 , 2 2} , вокруг оси Oу на 15°;rг). a = {0, 4, − 4 2} , вокруг оси Oу на 135°;rд). a = {0, 1, 4} , вокруг оси Oz на 45°;rе). a = { 1, − 3, 0} , вокруг оси Oz на 120°.I-18. В системе координат, полученной из исходной декартовой системы путемеё поворота на некоторый угол вокруг одной из осей, известны компоненrты вектора a′ . Найти его компоненты в исходной системе координат (доповорота):rа).

a ′ = {2, 0, − 2} , вокруг оси Ox на 45°;rб). a ′ = { 2 , − 1, 0} , вокруг оси Ox на 150°;rв). a ′ = {0, 1, 2} , вокруг оси Oу на 60°;rг). a ′ = {6, − 3, − 2 3} , вокруг оси Oу на 150°;rд). a ′ = { 3 2 , − 1 2 , 1} , вокруг оси Oz на 75°;rе). a ′ = {−1 − 2 , − 1 + 2 , 3} , вокруг оси Oz на 135°.I-19. В некоторой системе координат K известны компоненты вектораra = { 1, − 1, 1} . В системе K′, получающейся из K поворотом на угол 30° воrкруг оси x, известны компоненты вектора c′ = { − 1, 2, 2} . Найти скалярноепроизведение этих векторов.I-20.

Компоненты двух векторов заданы в различных системах координат сле-дующим образом: при повороте системы координат K вокруг оси y на 30°rra′ = 1, 1, 3 , а при повороте K вокруг оси z на 45° b′′ = 2 , 2 , 3 . Найти{}{}скалярное произведение этих векторов.rrI-21. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах m и n , если вrсистеме K вектор m = { 2, 0, 2} , а второй вектор задан своими компонента-ми в системе координат, повернутой относительно K на 60° вокруг оси x:rn′ = 1, − 1, 3 .{}25I-22. Компоненты двух векторов заданы в различных системах координат сле-дующим образом: при повороте системы координат K вокруг оси y на 60°r(система K′) a′ = 1, 0, 3 , а при повороте K вокруг оси z на 45° (системаrK′′) b′′ = 0, − 2 , 1 .

Найти векторное произведение этих векторов. Будет{{}}ли его величина и направление зависеть от выбранной системы отсчета?26II. Тензорная алгебра§ 1. Определение тензора. Основы тензорной алгебрыВ предыдущей главе мы подробно рассмотрели свойства векторов и преобразование их координат при переходе от одного декартового базиса к другому. Вместе с тем в различных областях математики, механики и физики встречаются более сложные объекты, компоненты которых при повороте базисатакже преобразуются друг через друга определённым образом.

Рассмотрим, кпримеру, набор из девяти величин, образованных произведением компонентдвух векторов Ai B j . Используя закон преобразования компонент векторов (9),легко показать, что при повороте системы координат эти 9 величин преобразуются друг через друга так, чтоAi′B′j = α inα jm An Bmили, обозначая Ai B j = Tij , получим Tij′ = α inα jmTnm . Девять величин Tij , удовлетворяющих данному преобразованию, называются тензором второго ранга втрёхмерном пространстве.

Аналогично можно определить набор из 27-ми величин Tijk = Ai B j C k , которые будут преобразовываться следующим образом:Tijk′ = α inα jmα kl Tnml .Величины Tijk в этом случае образуют тензор третьего ранга в трёхмерномпространстве.Заметим теперь, что для определения тензора вовсе необязательна привязка к каким-либо векторам: тензорные величины могут определяться и самипо себе. Такого рода определение и приведено далее.Определение.