Тензорный анализ для физиков (Сборник материал для ознакомления с ФП), страница 14

Коэффициенты A, B и C – произвольны.r r r rIII-2. Задача решается аналогично предыдущей. В пункте б). B = H , I = 0 . Векrrтор B коллинеарен вектору напряжённости магнитного поля, если H ориенти-рован вдоль одного из главных векторов тензора µ ij : A{ 2 , − 1, 1} , B{ − 1, 0, 2}или C{ 2 , 3, 1} . Соответствующие собственные значения тензора µ1 = 1 , µ 2 = 2и µ 3 = 5 . Коэффициенты A, B и C – произвольны.III-4. Для каждой из систем материальных точек выберем систему координат сначалом в центре масс, например, как показано на рисунке:а).

Тензор инерции в выбранной системе координат имеет вид:⎛ 3 1 0⎞⎜⎟I ij = 4ma 2 ⎜ 1 1 0 ⎟ .⎜ 0 0 4⎟⎝⎠()Его собственные значения I1, 2 = 4ma 2 2 ± 2 , I 3 = 16ma 2 , а также нормированные собственные векторы соответственно:92re1, 2 =⎛1 ± 2 ⎞⎜⎟⎜ 1 ⎟4±2 2 ⎜⎟⎝ 0 ⎠1и⎛ 0⎞r ⎜ ⎟e3 = ⎜ 0 ⎟ .⎜ 1⎟⎝ ⎠б). Тензор инерции в выбранной системе координат имеет вид:⎛ 3⎜I ij = 2ma 2 ⎜ 3⎜ 0⎝390(0 ⎞⎟0 ⎟.12 ⎟⎠)Его собственные значения I1, 2 = 4ma 2 3 m 3 , I 3 = 24ma 2 , а также нормированные собственные векторы соответственно:re1, 2 =⎛2 ± 3⎞⎜⎟⎜ m1 ⎟2 2± 3 ⎜⎟⎝ 0 ⎠1и⎛ 0⎞r ⎜ ⎟e3 = ⎜ 0 ⎟ .⎜ 1⎟⎝ ⎠III-5.

Уравнения движения для отдельного электрона при конфигурации полейrrH = {0, 0, H } и E = { E x , E y , 0} имеют вид:eH⎧ &⎪mv x = c v y + eE x − γv x⎨eH⎪mv& y = −v x + eE y − γv y⎩cРешение этой системы складывается из решения однородной системы уравнений и частного решения неоднородной:γ− t⎧~m⎪v x (t ) = v0 e cos(ωt + ϕ ) + v1⎨γ− t⎪v y (t ) = − v0 e m sin(ωt + ϕ ) + v~2⎩Постоянные v~1 и v~2 определяются электрическим полем:e(γ~E x + E y )~v1 =mω (1 + γ~ 2 )иe(− E x + γ~E y )~v2 =.mω (1 + γ~ 2 )Здесь введены обозначения: γ~ = γ mω , ω = eH mc .93Очевидно, среднюю плотность тока определяют именно скорости v~1 и v~2 :слагаемые, пропорциональные v0 , со временем стремятся к нулю.

В связи сэтим1Tji = lim ∫ nvi (t )dt = nv~i ,T →∞ T0откуда, используя связь ji = σ ij E j , имеем⎛ γ~neσ ij =⎜mω (1 + γ~ 2 ) ⎜⎝ − 11⎞⎟.γ~ ⎟⎠Заметим, что в магнитном поле условие симметричности для тензора проводиrrмости σ ij = σ ji заменяется условием σ ij (H ) = σ ji (− H ).rIV-1. а). − r r 3 , б). 2 r , в). 0.r rr r rr rr r rrr r2rIV-3. а).

e (a ,r ) r 3 ⋅ (r 2 a − r ), б). 3r (c , r ) r + r 3c , в). (a , r ) r 2 ⋅ (3a − 2 (a , r ) r r 2 ),r r r r rr rrr r rr rrr r rг). a sin b , r + b (a , r ) cos b , r , д). 2[[a , r ], a ] , е). r r ⋅ r , a , b + r a , b .( )( )() [ ]r r∂IV-4. а). div[a , r ] =ε ijk a j xk = ε ijk a jδ ik = 0 ,∂xi∂r rrot i [a , r ] = ε ijkε knm an xm = ε ijk ε knm anδ jm = ε ijk ε njk an = 2δ in an = 2ai ,∂x jr rr r r rr rr rrr rnr r n −1 r rт.е. rot[a , r ] = 2a . б). k , c cos k , r , k , c cos k , r , в). (a , r ) (3 + n ) , n (a , r ) [a , r ] .rЗадания г, д и е однотипны: векторное поле A может быть представлено как[ar, rr ] f (r ) , а расчёт произведён в общем виде:( ) ( )[ ] ( )r r∂xdiv ([a , r ] f (r )) =ε ijk a j xk f (r ) = ε ijk a j ⎛⎜ δ ik f (r ) + xk f ′(r ) i ⎞⎟ = 0∂xir⎠⎝x ⎞⎛∂r rε knm an xm f (r ) = ε ijk ε knm an ⎜ δ jm f (r ) + xm f ′(r ) j ⎟ =rot i ([a , r ] f (r )) = ε ijk∂x jr ⎠⎝x ⎞⎛x r r ⎞⎛= (δ inδ jm − δ imδ jn )an ⎜ δ jm f (r ) + xm f ′(r ) j ⎟ = 2ai f (r ) + ⎜ ai r − i (a , r )⎟ f ′(r ) .rr ⎠⎝⎠⎝r rrr r r rСоответственно, rot ([a , r ] f (r )) = 2af (r ) + (ar − r (a , r ) r ) f ′(r ) .94r rr rr rr rr r r rr r2ё).

e (c ,r ) (2 r + (c , r ) r ) , e (c ,r ) r ⋅ [c , r ] , ж). 0, a (a , r ) + r a 2 (a , r ) ,r r rr r rr r r r rr r r r rз). b , a , c r − (r , a , c ) r , b r 3 , b , [a , c ] r − [r , [a , c ]] r , b r 3 .(IV-16.)[( )]∂ϕ∫ (grad ϕ , rot A) dV = ∫ ∂x εrVijkiV( )∂Ak∂ ⎛⎜∂Ak ⎟⎞dV = ∫ϕε⎜ ijk ∂x ⎟ dV =x∂x j∂i ⎝j ⎠Vr r⎛∂A ⎞= ∫ div ⎜⎜ ϕ ε ijk k ⎟⎟ dV = ∫ ϕ rotA, dS∂x j ⎠VS⎝()При выводе было использовано очевидное равенствоIV-17. а). Обозначим∂ 2 Akε ijk= 0.∂xi ∂x jrr r r r rrr a , dS = I (a ) . Очевидно, I = λa , где λ – некоторая по-∫S ()r rстоянная.

Рассмотрим произведение (I , a ) :rrr(I , ar ) = ∫ (ar, rr ) ar, dS = ∫ ar (ar, rr ), dS = ∫ div(ar (ar, rr ))dV = ar 2V .() (S)SVr rrС другой стороны, (I , a ) = λa 2 . Таким образом, λ = V, следовательно,r r r rr∫ a , dS = aV .()Sб). Действуя аналогично п. а, получимIV-18. а). Обозначимrr rr∫S (a , r )dS = aV .r rr∫S ϕ dS = I и рассмотрим (I , A), где A – произвольный поrrстоянный вектор. Тогда будет(I , A) = ∫ (Aϕ , dS ) = ∫ div (Aϕ )dV = ⎛⎜⎜ A, ∫ grad ϕ dV ⎞⎟⎟ ,r rrrSrr⎝V⎠Vrоткуда I = ∫ grad ϕ dV .

При выводе было использовано тождество, доказанноеVв примере 27.б). Действуя аналогично предыдущему пункту, рассмотрим произведение⎛rrrr ⎞⎜([])([])[]===−A,a,dSdS,A,adivA,adVA,rotadV ⎟⎟ ,∫∫∫⎜ ∫rSrr rSrr⎝V95V⎠откудаr rr[a∫ , dS ] = − ∫ rot a dV . При выводе было использовано тождество (б) изSVзадачи IV-5.rrв). ∫ b , ∇ a dVV( )IV-25. а). Искомый интеграл – вектор, независящий от координат, но в определении ni такого вектора нет, поэтому ni = 0 .б). ni n j – инвариантный симметричный тензор второго ранга. Очевидно, единственная возможность, что ni n j = λδ ij , где λ – некоторая постоянная. Поскольку ni2 = λδ ii = 3λ и в то же время ni2 = 1, то λ = 1 3 . Таким образом, ni n j = δ ij 3 .( )( )r r r rr rв).

(a , n ) b , n = ai ni b j n j = ai b j ni n j = a , b 3 .г). ni n j nk nl – инвариантный симметричный тензор четвёртого ранга, компоненты которого могут быть построены как комбинация символов Кронекера:ni n j nk nl = λ (δ ijδ kl + δ ik δ jl + δ ilδ jk ). Из условия ni2 nk2 = 1 нетрудно найти λ = 1 15 .Следовательно, ni n j nk nl = (δ ijδ kl + δ ik δ jl + δ ilδ jk ) 15 .IV-26. H r = 1 , H θ = r , H ϕ = r sin θ .96ПриложениеДельта-функция Дирака принадлежит к классу сингулярных обобщённыхфункций и определяется равенствами:⎧0, при x ≠ a,⎩∞, при x = a,δ (x − a ) = ⎨∫∆ δ (x − a )dx = 1 .(П1)(П2)Интегрирование в последнем случае выполняется по промежутку ∆ произвольной длины, содержащему внутри себя точку x = a (в противном случае интеграл равняется нулю).Приведём ряд практически полезных соотношений, где используетсядельта-функция:∫∆ δ (x − a ) f (x )dx = f (a ) ,(П3)1,ϕ ′( xi )(П4)n∫ δ (ϕ (x ))dx = ∑i =1∆n∫ δ (ϕ (x )) f (x )dx = ∑i =1∆f ( xi ).ϕ ′( xi )(П5)В формулах (П4) и (П5) xi ( i = 1,K, n ) – корни уравнения ϕ ( x ) = 0 , принадлежащие промежутку интегрирования ∆ , а f ( x ) – произвольная непрерывнаяфункция.Дельта-функция может быть также представлена в виде интеграла1δ (x − a ) =2π∞∫eik ( x − a )dk(П6)−∞или как производная θ -функции:δ (x − a ) =⎧1, если x ≥ a,dθ ( x − a ) , где θ ( x − a ) = ⎨dx⎩0, если x < a.97(П7)Дельта-функцию также можно представить как предел непрерывной функции,зависящей от параметра.

Например,δ (x ) =1πlimε →0εε + x22.(П8)Аналогично одномерной дельта-функции, определённой выше, можноввести трёхмерную дельта-функцию:δ (r − a ) = δ ( x − a x )δ ( y − a y )δ ( z − a z ) .rr(П9)Соответственно,rrrr∫ δ (r − a ) f (r )dV = f (a )(П10)Vrпри условии, что точка пространства, определяемая вектором a , находитсявнутри объёма интегрирования V . С помощью трёхмерной дельта-функцииможно определить, например, объёмную плотность точечного заряда, располоrrженного в начале координат: ρ (r ) = qδ (r ) .98Литература1. М.А. Акивис, В.В. Гольдберг, Тензорное исчисление, М., “Наука”, 1972 г.2.

Н.Е. Кочин, Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, М.,“Наука”, 1965 г.3. А.И. Борисенко, И.Е. Тарапов, Векторный анализ и начало тензорного исчисления, М., “Высшая школа”, 1966 г.4. А.Дж. Мак-Конелл, Введение в тензорный анализ, М., “Физматгиз”, 1963 г.5. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике, М., “Наука”, 1970 г.6. Л.Г. Гречко и др., Сборник задач по теоретической физике, М., “Высшаяшкола”, 1972 г.7. Дж. Мейз, Теория и задачи механики сплошных сред, М., “Мир”, 1974 г.8. Ю.А.

Амензаде, Теория упругости, М., “Высшая школа”, 1976 г.99СодержаниеСтр.Предисловие3I. Векторная алгебра4§1. Векторное пространство, его размерность и базис4§2. Вектор как направленный отрезок. Скалярное, векторное исмешанное произведения векторов14§3. Преобразования компонент векторов при повороте декартовойсистемы координат17§4. Преобразования компонент векторов при инверсии декартовойсистемы координат20Задания для самостоятельного решенияII. Тензорная алгебра2327§1. Определение тензора. Основы тензорной алгебры27§2.

Симметрия тензоров34§3. Изотропные тензоры37§4. Приведение симметричного тензора II-го ранга к диагональному виду41Инварианты тензоров второго ранга47Задания для самостоятельного решения48III. Приложения теории тензоров54§1. Ковариантность физических законов в тензорной форме54§2. Тензор инерции59Задания для самостоятельного решения65IV. Тензорные поля67§1. Дифференциальные операторы тензорного анализа.

Векторные10067тождества§2. Интегральное представление дифференциальных операторов.Интегральные теоремы векторного анализа74§3. Криволинейные системы координат79§4. Дифференциальные операторы в криволинейных координатах82Задания для самостоятельного решения85Ответы91Приложение97Литература99101Александр Игоревич МалышевГалина Михайловна МаксимоваОсновы векторного и тензорного анализадля физиковЭлектронное учебно-методическое пособиеФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждениевысшего профессионального образования «Нижегородскийгосударственный университет им. Н.И. Лобачевского»603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23.Подписано в печать 08.11.2012.