Тензорный анализ для физиков (Сборник материал для ознакомления с ФП)

Нижегородский государственный университет им. Н.И. ЛобачевскогоНациональный исследовательский университетУчебно-научный и инновационный комплекс«Новые многофункциональные материалы и нанотехнологии»Основная образовательная программа011200 «Физика», общий профиль, квалификация (степень) бакалаврУчебно-методический комплекс по дисциплине«Векторный и тензорный анализ»Малышев А.И., Максимова Г.М.ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗАДЛЯ ФИЗИКОВЭлектронное учебно-методическое пособиеМероприятие 1.2.

Совершенствование образовательных технологий, укрепление материально-технической базы учебного процессаНижний Новгород2012ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА ДЛЯ ФИЗИКОВ.Малышев А.И., Максимова Г.М. Электронное учебно-методическое пособие. –Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2012. – 101 с.Настоящее учебно-методическое пособие посвящено изложению основвекторного и тензорного анализа для физиков в объёме, необходимом для решения задач классической механики, электродинамики, кристаллографии. Изложение теории всюду проиллюстрировано примерами. Пособие содержиттакже задачи для самостоятельного решения.Электронное учебно-методическое пособие предназначено для студентовННГУ, обучающихся по направлению подготовки 011200 «Физика», изучающих курс «Векторный и тензорный анализ», а также для студентов, обучающихся по направлениям 210100 «Электроника и наноэлектроника», 230400«Информационные системы и технологии» и 222900 «Нанотехнологии и микросистемная техника», изучающих курс «Линейная алгебра, векторный и тензорный анализ».2ПредисловиеВ настоящий момент было бы крайне трудно представить себе многиеразделы современной физики – электродинамику, гидродинамику, теорию относительности, теорию упругости и т.д.

– без тензорного исчисления. Причиной тому является, безусловно, стремление более рационально организоватьсоответствующую область науки. В свою очередь это приводит к необходимости глубокого изучения тензорного анализа, как специфического и при этомуниверсального языка математики.Отдельная учебная дисциплина «Векторный и тензорный анализ» былавведена в программу в 1971 году. В настоящее время, как и ранее, целью курсаостается вовсе не стремление к строгости формулировок, определений и доказательств, а овладение навыками практической работы с тензорными величинами до степени, достаточной для того, чтобы относиться к ним как к обычному рабочему инструменту современного исследователя.Первая глава настоящего пособия служит в основном для повторенияопераций над векторами.

Глава вторая полностью посвящена тензорной алгебре. Вопросы, связанные с практическими приложениями тензорного исчисления к ряду задач механики и электродинамики, изложены в третьей главе. И,наконец, завершается пособие изложением вопросов, связанных с тензорнымиполями, действующими на них дифференциальными операторами, интегральными теоремами векторного анализа, а также работой в криволинейных ортогональных системах координат.

Список литературы, приведённый в конце, содержит основные книги, в которых в той или иной форме содержится изложение основ тензорного исчисления с соответствующими иллюстрациями. Следует отметить, что, несмотря на то, что издана эта литература около 30-50 лет назад, она не потеряла своей актуальности и на настоящий момент.3I. Векторная алгебра§ 1. Векторное пространство, его размерность и базисПонятие вектора как направленного отрезка знакомо многим ещё сошкольной скамьи.

С другой стороны, следует иметь в виду, что с точки зренияматематики векторами могут быть названы самые разные объекты, весьма далёкие от «отрезка со стрелочкой».Рассмотрим множество V элементов a, b, c... и определим на нём две операции – сложения и умножения на число. Что касается сложения, то будем требовать, чтобы для каждой пары элементов a и b множество V содержало бы иих сумму a + b, причем1). a + b = b + a,3). a + (b + c) = (a + b) + c,2).

a + 0 = a,4). a + (– a) = 0,где 0 – так называемый нулевой элемент множества. Что касается операции умножения на число, то будем требовать, чтобы для любого элемента а множестваV и любого числа α множество V содержало бы и элемент αa, причем5). (αβ) a = α (βa) ,7). (α + β) a = αa + βa ,6). α (a + b) = αa + αb ,8). 1 ⋅ a = a .Определение. Любое множество элементов, на котором введены операции сложения и умножения на число, обладающие восемью перечисленными вышесвойствами, образует линейное векторное пространство. При этом сами элементы множества называют векторами.Заметим, что говоря о сложении элементов множества и умножении их начисло, следует помнить, что эти действия требуют своего определения в каждом конкретном случае. Так для векторов как направленных отрезков (их мытакже будем иногда называть геометрическими векторами) операция сложенияопределяется правилом параллелограмма, а умножение на действительное число сказывается на длине вектора и, возможно, направлении (в случае отрицательного множителя).4Остановимся также ещё на двух примерах векторных пространств, к которым будем обращаться впоследствии.☺ Пример 1.

Согласно определению, векторное пространство образует множествополиномов степени не выше nP ( x ) = c0 + c1 x + c2 x 2 + K + cn x n ,заданных на отрезке x∈[a, b]. Действительно, результатом сложения двух такихполиномов является также полином степени, не превышающей n. Роль нулевого элемента множества играет полином, все коэффициенты которого равны нулю. При умножении на произвольный коэффициент элементы множества остаются, по-прежнему, полиномами со степенью не выше n, причём свойства 5-8,очевидно, также выполняются.☺ Пример 2. Множество действительных матриц 2×2 также образует векторноепространство, т.к.• алгебраическая сумма двух таких матриц – тоже матрица 2×2, т.е. элемент того же множества, причём свойства 1 и 3, очевидно, выполняются;• для любого элемента множества вида⎛a b⎞⎜⎜⎟⎟⎝c d⎠существует элемент⎛− a − b⎞⎜⎜⎟⎟ ,−−cd⎝⎠сумма с которым даёт нулевой элемент – матрицу с нулевыми компонентами;• легко убедиться, что выполняются также и свойства 5-8, касающиесяоперации умножения на число.Определение.

N векторов a1, a2, ..., aN называются линейно зависимыми, еслисуществует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору:α1a1 + α2a2 + … + αNaN = 0.5Если же из равенства линейной комбинации векторов нулевому вектору следует, что она тривиальна, векторы называются линейно независимыми.Напомним, что линейная комбинация называется тривиальной, если всееё коэффициенты αi равны нулю: α1 = α2 = ... = αN = 0. Если же хотя бы один коэффициент ненулевой, линейная комбинация нетривиальна.Из определения есть несколько следствий.Следствие 1. Если N векторов линейно зависимы, то один из них может бытьпредставлен в виде линейной комбинации всех остальных векторов.Доказательство. Пусть векторы a1, a2, ..., aN линейно зависимы, т.е.α1a1 + α2a2 + … + αNaN = 0,причём пусть здесь α1 ≠ 0. Тогда, разделив обе части равенства на α1, получим:a1 = −α2αa2 − ...

− N aN ,α1α1что и требовалось доказать.Следствие 2. Если из N векторов часть линейно зависимы, то все векторы линейно зависимы.Доказательство. Пусть из N векторов a1, a2, ..., aN линейно зависимыми явля-ются a1 и a2:α1a1 + α2a2 = 0, где α12 + α 22 ≠ 0 .Рассмотрим следующую линейную комбинациюα1a1 + α2a2 + 0a3 + ... + 0aN .Очевидно, она равна нулевому вектору и при этом является нетривиальной,следовательно, векторы a1, a2, ..., aN линейно зависимы.Следствие 3. Если среди N векторов есть хотя бы один нулевой, то все векторылинейно зависимы.Доказательство.

Пусть из N векторов a1, a2, ..., aN один является нулевым, на-пример, a1 = 0. Рассмотрим следующую линейную комбинациюα1a1 + 0a2 + 0a3 + ... + 0aN ,где α1 ≠ 0. Очевидно, она равна нулевому вектору и при этом является нетривиальной, следовательно, векторы a1, a2, ..., aN линейно зависимы.6Проиллюстрируем понятие линейной зависимости/независимости векторов на примерах векторов различного типа.☺ Пример 3.

Два коллинеарных вектора линейно зависимы. Действительно, еслиrrr rrrrвекторы a и b коллинеарны, то a = kb , т.е. a − kb = 0 . Получили нетривиаль-ную линейную комбинацию, равную нулевому вектору. Очевидно, верно и обратное утверждение: два линейно зависимых вектора коллинеарны.Три коллинеарных вектора линейно зависимы, т.к. линейно зависимы ужедва из них.Два неколлинеарных вектора линейно независимы.

Для доказательствапредположим обратное: пусть два вектора неколлинеарны и при этом линейнозависимы. Однако, как уже отмечалось, линейная зависимость двух векторовозначает их коллинеарность, что и приводит к противоречию. Таким образом,два неколлинеарных вектора линейно независимы.☺ Пример 4. Три компланарных вектора линейно зависимы. Действительно, еслиr rrrrrrrr rвекторы a , b и c компланарны, то c = αa + βb , т.е.

c − αa − βb = 0 . Получилинетривиальную линейную комбинацию, равную нулевому вектору. Очевидно,верно и обратное утверждение: три линейно зависимых вектора компланарны.Также, подобно обсуждавшемуся в предыдущем примере, методом от противного можно доказать, что три некомпланарных вектора линейно независимы.☺ Пример 5. Среди множества действительных квадратных матриц 2×2 четыреэлемента⎛ 1 0⎞ ⎛ 0 1⎞ ⎛ 0 0⎞ ⎛ 0 0⎞⎟⎟ , ⎜⎜⎟⎟ , ⎜⎜⎟⎟ , ⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎝ 0 0⎠ ⎝ 0 0⎠ ⎝ 1 0⎠ ⎝ 0 1⎠являются линейно независимыми. Действительно,⎛ 1 0⎞⎛ 0 1⎞ ⎛ 0 0⎞⎛ 0 0 ⎞ ⎛α⎟⎟ + β ⎜⎜⎟⎟ + γ ⎜⎜⎟⎟ + δ ⎜⎜⎟⎟ = ⎜⎜00001001⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠ ⎝γα ⎜⎜β⎞⎟,δ ⎟⎠а последняя матрица может быть нулевой только лишь при условии, что α = β == γ = δ = 0. Т.е.

из равенства данной линейной комбинации нулевому элементумножества следует её тривиальность.7☺ Пример 6. Рассматривая уже знакомое множество полиномов степени не вышеn, в нём также можно выделить линейно независимые элементы. Так, возьмёмдля начала набор из трёх полиномов видаE0 ( x ) = 1 , E1 ( x ) = x , E2 ( x ) = x 2и докажем их линейную независимость. Сделаем это методом от противного:предположим существование их нетривиальной линейной комбинации, тождественно равной нулюα E0 ( x ) + β E1 ( x ) + γ E2 ( x ) = 0или в явном видеα + β x + γ x2 = 0 .Поскольку тождество выполняется при любом значении аргумента x, равенствоне должно нарушиться, если обе его части дважды продифференцировать. В результате получим следующую систему равенств:⎧α + β x + γ x 2 = 0,⎪β + 2γ x = 0,⎨⎪2γ = 0,⎩которую можно понимать как однородную систему линейных уравнений относительно параметров α, β и γ. Нетрудно заметить, что решение такой системытривиально: α = β = γ = 0 , что противоречит сделанному изначально предположению.