Тензорный анализ для физиков (1265836), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Даны векторы B = { 1, − 1, 2} и C = { 0, 2, 1} . Чему равны следующие свёртки:а). δ ik Bi Ck ;б). ε ijk B j Ck ?rII-37. Пусть вектор A имеет компоненты {1, 2, 3}. Найти свёртку: ε ikl ε klm Am .II-38. Определить компоненты антисимметричного тензора Tik′ в системе координат K, если компоненты вектора, дуального Tik , в системе K' есть{1, 2, 1}, а матрица преобразования к системе K' имеет вид:⎛0 1 0⎞⎜⎟α ik = ⎜ 0 0 1 ⎟ .⎜1 0 0⎟⎝⎠II-39.
Найти собственные значения и собственные векторы приведённых нижетензоров. Проверить свойство ортогональности собственных векторов.⎛1 1 0⎞⎜⎟а). Aij = ⎜ 1 4 3 ⎟ ;⎜0 3 1⎟⎝⎠⎛ 0 −1 1 ⎞⎜⎟г). Dij = ⎜ − 1 1 1 ⎟ ;⎜ 1 1 0⎟⎝⎠⎛ 4 1 − 2⎞⎜⎟б). Bij = ⎜ 1 0 0 ⎟ ;⎜− 2 0 0 ⎟⎝⎠0⎞⎛1 2⎜⎟д). E ij = ⎜ 2 1 − 1⎟ ;⎜0 −1 1 ⎟⎝⎠4 ⎞⎛1 0⎜⎟в). C ij = ⎜ 0 1 − 3 ⎟ ;⎜4 −3 1 ⎟⎝⎠⎛8 6 0 ⎞⎜⎟е). Fij = ⎜ 6 11 6 ⎟ .⎜ 0 6 14 ⎟⎝⎠53III.
Приложения теории тензоров§ 1. Тензорная форма физических законовПонятие тензора и математический аппарат тензорного анализа широко иплодотворно используются в самых различных областях физики. Например,спектр электромагнитных волн, которые могут распространяться в плазме, определяет тензор диэлектрической проницаемости. При этом само понятие«плазма» охватывает широкий круг объектов и явлений, включающий в себяионосферную плазму, плазму газового разряда, твердотельную плазму и т.д.Ещё пример – эффект Холла, состоящий в том, что протекание тока в металле, помещённом в магнитное поле, сопровождается возникновением поперечного электрического поля.
При этом связь между компонентами вектораrrплотности тока j и напряжённости электрического поля E определяется тен-зором удельного сопротивления ρ ik : E i = ρ ik j k .Специальная (СТО) и общая (ОТО) теории относительности – это две области физики, само существование которых было бы невозможным без тензорного исчисления. В то время как математический аппарат СТО сводится к теории тензорных полей в четырёхмерном псевдоевклидовом пространстве, в ОТОпространство событий псевдориманово1. В квантовой теории поля, являющейсяосновой для описания взаимодействий элементарных частиц, также широко используются понятия и методы тензорного анализа. Наконец, физические свойства кристаллов, как анизотропных сред, наиболее естественно описываютсяименно тензорами, примеры которых мы рассмотрим ниже.Действительно, анизотропия (т.е. зависимость свойств от выбранного направления) предъявляет требования к форме записи физических соотношений.rrТак, например, для однородных изотропных сред закон Ома имеет вид j = σE иопределяет, таким образом, коллинеарность векторов плотности электрическо1Рассмотрение тензоров в псевдоевклидовом и псевдоримановом пространствах выходит зарамки данного пособия.
Желающие могут ознакомиться с этим материалом, например, покниге П.К. Рашевского «Риманова геометрия и тензорный анализ» (посл. издание в 2010 г.).54rrго тока j и напряжённости электрического поля E . В анизотропной среде закон Ома приобретает иной вид:jn = σ nk Ek .rrЗдесь компоненты векторов j и E связаны через составляющие тензора проводимости σ nk . Это означает, что в общем случае направление протеканияэлектрического тока отличается от направления приложенного электрическогополя.Тензорное соотношение в общем случае связывает вектор поляризацииrrдиэлектрика P с вектором E :Pi = α ij E j ,где α ij – тензор поляризуемости. Наряду с ним вводится также симметричныйтензор диэлектрической проницаемости ε ij :ε ij = δ ij + 4πα ij ,который в свою очередь позволяет найти компоненты вектора электрическойиндукции Di = ε ij E j .Аналогичным образом описываются и магнитные свойства кристаллов.rТак компоненты вектора намагниченности I связаны с компонентами вектораrнапряжённости магнитного поля H посредством симметричного тензора маг-нитной восприимчивости χ ij :I i = χ ij H j .rrВектор магнитной индукции B в общем случае неколлинеарен вектору H :Bi = µ ij H j .Здесь µ ij = δ ij + 4πχ ij – тензор магнитной проницаемости, также симметричный.
Если какое-либо его собственное значение оказывается больше единицы,это означает, что кристалл в данном направлении (направлении соответствующей собственной оси) парамагнитен. Если собственное значение меньше еди-55ницы, то в соответствующем направлении кристалл проявляет диамагнитныесвойства.Существуют также некоторые свойства кристаллов, которые связаны стензорным откликом анизотропной среды на скалярные внешние воздействия.Одним из таких свойств является, например, тепловое расширение: при изменении температуры кристалла на малую величину ∆T происходит пропорциональная ей деформация, описываемая симметричным тензором деформации ε ij(не путать с тензором диэлектрической проницаемости):ε ij = α ij ∆T ,где α ij – тензор теплового расширения, также симметричный.Для некоторых кристаллов характерно проявление прямого пьезоэлектрического эффекта, когда под действием механических напряжений в объёмекристалла возникает электрическая поляризация.
При этом компоненты вектораrполяризации P связаны с компонентами тензора напряжений σ ij через свёртку последнего с тензором третьего ранга d ijk , составляющие которого называютпьезоэлектрическими модулями:Pi = d ijk σ jk .Тензор d ijk симметричен по второй паре индексов, отчего имеет 18 независимых компонент.Если пьезокристалл помещён во внешнее электрическое поле, в нём возникает деформация. Этот эффект называется обратным пьезоэлектрическимэффектом. При этом компоненты тензора деформации ε ij определяются соотношением:ε jk = d ijk Ei .☺ Пример 20. Используя закон Кулона и принцип суперпозиции, можно показать,что потенциал системы из трёх зарядов (см.
рис. 6) на расстояниях R >> a может быть представлен в виде56ϕ (R ) =rDij Ri R j2R 5,rгде Ri – компоненты радиус-вектора R , а Dij – тензорквадрупольного момента системы из N зарядов (в нашем случае N = 3):Dij = ∑ qα (3 xiα xαj − xnα xnα δ ij ),Nα =1где xiα – i-ая компонента радиус-вектора заряда с но-Рис. 6.мером α. Задача состоит в том, чтобы:• выяснить свойства тензора квадрупольного момента;• найти матрицу этого тензора для системы зарядов, изображённой на ри-сунке;()r• найти потенциал ϕ R и установить его зависимость от угла θ сфериче-ской системы координат.Итак, что касается свойств тензора Dij , то легко заметить, что это тензорсимметричный. Кроме того, Sp Dij = ∑α =1 qα (3 xiα xiα − 3xnα xnα ) = 0 , откуда, в частNности, следует, что D11 + D22 = − D33 .Обратимся к системе зарядов, изображённой на рис. 6.
Очевидно, что выбранная там система координат, является системой главных осей тензора Dij ,причём, в силу симметрии D11 = D22 . Таким образом, необходимо определитьтолько одну из диагональных компонент тензора, например, D11 :D11 = ∑ qα (3 x1α x1α − xnα xnα ) = ∑ qα (− x3α ) = q (− a 2 ) + 2q ⋅ 0 + q (− a 2 ) = −2qa 2 .NNα =1α =12Соответственно,⎛ − 2qa 2⎜Dij = ⎜ 0⎜ 0⎝0− 2qa 20Используя это выражение, получим57⎞⎟⎟.4qa 2 ⎟⎠00r − 2qa 2 (R12 + R22 ) + 4qa 2 R32ϕR =2R5или, переходя к сферическим координатам,()ϕ ( R,θ ) =qa 2(3 cos 2 θ − 1) .3RЗаметим также, что эта формула может быть представлена в виде2qa 2ϕ (R,θ ) = 3 P2 (cosθ ) ,Rгде P2 (cosθ ) – полином Лежандра второго порядка.☺ Пример 21.
Найти потенциал точечного заряда в однородной анизотропнойсреде, характеризуемой тензором диэлектрической проницаемости ε ij .rВ общем случае потенциал ϕ (r ) удовлетворяет уравнению:∂∂ϕrε ij= −4πqδ (r ) ,∂xi ∂x jrгде δ (r ) – дельта-функция Дирака (см. Приложение). Для однородной средыуравнение примет вид:ε ij∂ 2ϕr= −4πqδ (r ) .∂xi ∂x jВ системе главных осей тензора ε ij уравнение значительно упрощается:ε1∂ 2ϕ∂ 2ϕ∂ 2ϕr().εε=−4πqδr++23∂x32∂x22∂x12Произведём теперь замену переменных xi′ = xi∂ 2ϕ= −4πqδ∂xi′ 2(ε i , тогдаε 1 x1′ )⋅ δ ( ε 2 x2′ )⋅ δ ( ε 3 x3′ ).Используя свойство дельта-функции δ (γx ) = δ ( x ) γ , придём к уравнениюr∆ϕ (r ′) = −4πqε 1ε 2ε 3решение которого58rδ (r ′) ,rϕ (r ) =qε 1ε 2ε 3⋅121xε1+x22ε2+x32.ε3От системы главных осей нетрудно перейти и в произвольную систему координат, обобщив полученное решение. Действительно, ε 1ε 2ε 3 = det ε ij , а 1 ε 1 , 1 ε 2 ,1 ε 3 – собственные значения тензора ε ij−1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
