Главная » Просмотр файлов » Тензорный анализ для физиков

Тензорный анализ для физиков (1265836), страница 9

Файл №1265836 Тензорный анализ для физиков (Сборник материал для ознакомления с ФП) 9 страницаТензорный анализ для физиков (1265836) страница 92021-08-19СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Даны векторы B = { 1, − 1, 2} и C = { 0, 2, 1} . Чему равны следующие свёртки:а). δ ik Bi Ck ;б). ε ijk B j Ck ?rII-37. Пусть вектор A имеет компоненты {1, 2, 3}. Найти свёртку: ε ikl ε klm Am .II-38. Определить компоненты антисимметричного тензора Tik′ в системе координат K, если компоненты вектора, дуального Tik , в системе K' есть{1, 2, 1}, а матрица преобразования к системе K' имеет вид:⎛0 1 0⎞⎜⎟α ik = ⎜ 0 0 1 ⎟ .⎜1 0 0⎟⎝⎠II-39.

Найти собственные значения и собственные векторы приведённых нижетензоров. Проверить свойство ортогональности собственных векторов.⎛1 1 0⎞⎜⎟а). Aij = ⎜ 1 4 3 ⎟ ;⎜0 3 1⎟⎝⎠⎛ 0 −1 1 ⎞⎜⎟г). Dij = ⎜ − 1 1 1 ⎟ ;⎜ 1 1 0⎟⎝⎠⎛ 4 1 − 2⎞⎜⎟б). Bij = ⎜ 1 0 0 ⎟ ;⎜− 2 0 0 ⎟⎝⎠0⎞⎛1 2⎜⎟д). E ij = ⎜ 2 1 − 1⎟ ;⎜0 −1 1 ⎟⎝⎠4 ⎞⎛1 0⎜⎟в). C ij = ⎜ 0 1 − 3 ⎟ ;⎜4 −3 1 ⎟⎝⎠⎛8 6 0 ⎞⎜⎟е). Fij = ⎜ 6 11 6 ⎟ .⎜ 0 6 14 ⎟⎝⎠53III.

Приложения теории тензоров§ 1. Тензорная форма физических законовПонятие тензора и математический аппарат тензорного анализа широко иплодотворно используются в самых различных областях физики. Например,спектр электромагнитных волн, которые могут распространяться в плазме, определяет тензор диэлектрической проницаемости. При этом само понятие«плазма» охватывает широкий круг объектов и явлений, включающий в себяионосферную плазму, плазму газового разряда, твердотельную плазму и т.д.Ещё пример – эффект Холла, состоящий в том, что протекание тока в металле, помещённом в магнитное поле, сопровождается возникновением поперечного электрического поля.

При этом связь между компонентами вектораrrплотности тока j и напряжённости электрического поля E определяется тен-зором удельного сопротивления ρ ik : E i = ρ ik j k .Специальная (СТО) и общая (ОТО) теории относительности – это две области физики, само существование которых было бы невозможным без тензорного исчисления. В то время как математический аппарат СТО сводится к теории тензорных полей в четырёхмерном псевдоевклидовом пространстве, в ОТОпространство событий псевдориманово1. В квантовой теории поля, являющейсяосновой для описания взаимодействий элементарных частиц, также широко используются понятия и методы тензорного анализа. Наконец, физические свойства кристаллов, как анизотропных сред, наиболее естественно описываютсяименно тензорами, примеры которых мы рассмотрим ниже.Действительно, анизотропия (т.е. зависимость свойств от выбранного направления) предъявляет требования к форме записи физических соотношений.rrТак, например, для однородных изотропных сред закон Ома имеет вид j = σE иопределяет, таким образом, коллинеарность векторов плотности электрическо1Рассмотрение тензоров в псевдоевклидовом и псевдоримановом пространствах выходит зарамки данного пособия.

Желающие могут ознакомиться с этим материалом, например, покниге П.К. Рашевского «Риманова геометрия и тензорный анализ» (посл. издание в 2010 г.).54rrго тока j и напряжённости электрического поля E . В анизотропной среде закон Ома приобретает иной вид:jn = σ nk Ek .rrЗдесь компоненты векторов j и E связаны через составляющие тензора проводимости σ nk . Это означает, что в общем случае направление протеканияэлектрического тока отличается от направления приложенного электрическогополя.Тензорное соотношение в общем случае связывает вектор поляризацииrrдиэлектрика P с вектором E :Pi = α ij E j ,где α ij – тензор поляризуемости. Наряду с ним вводится также симметричныйтензор диэлектрической проницаемости ε ij :ε ij = δ ij + 4πα ij ,который в свою очередь позволяет найти компоненты вектора электрическойиндукции Di = ε ij E j .Аналогичным образом описываются и магнитные свойства кристаллов.rТак компоненты вектора намагниченности I связаны с компонентами вектораrнапряжённости магнитного поля H посредством симметричного тензора маг-нитной восприимчивости χ ij :I i = χ ij H j .rrВектор магнитной индукции B в общем случае неколлинеарен вектору H :Bi = µ ij H j .Здесь µ ij = δ ij + 4πχ ij – тензор магнитной проницаемости, также симметричный.

Если какое-либо его собственное значение оказывается больше единицы,это означает, что кристалл в данном направлении (направлении соответствующей собственной оси) парамагнитен. Если собственное значение меньше еди-55ницы, то в соответствующем направлении кристалл проявляет диамагнитныесвойства.Существуют также некоторые свойства кристаллов, которые связаны стензорным откликом анизотропной среды на скалярные внешние воздействия.Одним из таких свойств является, например, тепловое расширение: при изменении температуры кристалла на малую величину ∆T происходит пропорциональная ей деформация, описываемая симметричным тензором деформации ε ij(не путать с тензором диэлектрической проницаемости):ε ij = α ij ∆T ,где α ij – тензор теплового расширения, также симметричный.Для некоторых кристаллов характерно проявление прямого пьезоэлектрического эффекта, когда под действием механических напряжений в объёмекристалла возникает электрическая поляризация.

При этом компоненты вектораrполяризации P связаны с компонентами тензора напряжений σ ij через свёртку последнего с тензором третьего ранга d ijk , составляющие которого называютпьезоэлектрическими модулями:Pi = d ijk σ jk .Тензор d ijk симметричен по второй паре индексов, отчего имеет 18 независимых компонент.Если пьезокристалл помещён во внешнее электрическое поле, в нём возникает деформация. Этот эффект называется обратным пьезоэлектрическимэффектом. При этом компоненты тензора деформации ε ij определяются соотношением:ε jk = d ijk Ei .☺ Пример 20. Используя закон Кулона и принцип суперпозиции, можно показать,что потенциал системы из трёх зарядов (см.

рис. 6) на расстояниях R >> a может быть представлен в виде56ϕ (R ) =rDij Ri R j2R 5,rгде Ri – компоненты радиус-вектора R , а Dij – тензорквадрупольного момента системы из N зарядов (в нашем случае N = 3):Dij = ∑ qα (3 xiα xαj − xnα xnα δ ij ),Nα =1где xiα – i-ая компонента радиус-вектора заряда с но-Рис. 6.мером α. Задача состоит в том, чтобы:• выяснить свойства тензора квадрупольного момента;• найти матрицу этого тензора для системы зарядов, изображённой на ри-сунке;()r• найти потенциал ϕ R и установить его зависимость от угла θ сфериче-ской системы координат.Итак, что касается свойств тензора Dij , то легко заметить, что это тензорсимметричный. Кроме того, Sp Dij = ∑α =1 qα (3 xiα xiα − 3xnα xnα ) = 0 , откуда, в частNности, следует, что D11 + D22 = − D33 .Обратимся к системе зарядов, изображённой на рис. 6.

Очевидно, что выбранная там система координат, является системой главных осей тензора Dij ,причём, в силу симметрии D11 = D22 . Таким образом, необходимо определитьтолько одну из диагональных компонент тензора, например, D11 :D11 = ∑ qα (3 x1α x1α − xnα xnα ) = ∑ qα (− x3α ) = q (− a 2 ) + 2q ⋅ 0 + q (− a 2 ) = −2qa 2 .NNα =1α =12Соответственно,⎛ − 2qa 2⎜Dij = ⎜ 0⎜ 0⎝0− 2qa 20Используя это выражение, получим57⎞⎟⎟.4qa 2 ⎟⎠00r − 2qa 2 (R12 + R22 ) + 4qa 2 R32ϕR =2R5или, переходя к сферическим координатам,()ϕ ( R,θ ) =qa 2(3 cos 2 θ − 1) .3RЗаметим также, что эта формула может быть представлена в виде2qa 2ϕ (R,θ ) = 3 P2 (cosθ ) ,Rгде P2 (cosθ ) – полином Лежандра второго порядка.☺ Пример 21.

Найти потенциал точечного заряда в однородной анизотропнойсреде, характеризуемой тензором диэлектрической проницаемости ε ij .rВ общем случае потенциал ϕ (r ) удовлетворяет уравнению:∂∂ϕrε ij= −4πqδ (r ) ,∂xi ∂x jrгде δ (r ) – дельта-функция Дирака (см. Приложение). Для однородной средыуравнение примет вид:ε ij∂ 2ϕr= −4πqδ (r ) .∂xi ∂x jВ системе главных осей тензора ε ij уравнение значительно упрощается:ε1∂ 2ϕ∂ 2ϕ∂ 2ϕr().εε=−4πqδr++23∂x32∂x22∂x12Произведём теперь замену переменных xi′ = xi∂ 2ϕ= −4πqδ∂xi′ 2(ε i , тогдаε 1 x1′ )⋅ δ ( ε 2 x2′ )⋅ δ ( ε 3 x3′ ).Используя свойство дельта-функции δ (γx ) = δ ( x ) γ , придём к уравнениюr∆ϕ (r ′) = −4πqε 1ε 2ε 3решение которого58rδ (r ′) ,rϕ (r ) =qε 1ε 2ε 3⋅121xε1+x22ε2+x32.ε3От системы главных осей нетрудно перейти и в произвольную систему координат, обобщив полученное решение. Действительно, ε 1ε 2ε 3 = det ε ij , а 1 ε 1 , 1 ε 2 ,1 ε 3 – собственные значения тензора ε ij−1 .

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1022,63 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее