Тензорный анализ для физиков (1265836), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Тензорные поля§ 1. Дифференциальные операторы тензорного анализа.Векторные тождестваВсюду ранее мы рассматривали ситуации, когда компоненты тензоров зависели лишь от системы координат. Отметим теперь, что компоненты тензоровфизических величин являются, как правило, функциями координат, а также,возможно, времени, температуры и т.п.Определение. Если каждой точке пространства однозначно соответствуетзначение компонент тензора, то говорят, что задано тензорное поле.Например, в каждой точке пространства своё атмосферное давление p,rкоторое меняется со временем, поэтому можно говорить, что функция p(r , t ) –тензорное поле нулевого ранга.
Примером тензорного поля первого ранга может служить стационарный поток жидкости, в каждой точке которого векторскорости имеет свои модуль и направление. А, например, компоненты введённых ранее тензоров поляризуемости и диэлектрической проницаемости в случае неоднородной среды также являются функциями координат, значит, тутможно говорить о тензорных полях второго ранга и т.д.rРассмотрим подробнее поле нулевого ранга ϕ (r ) , т.е. скалярное поле.rПри перемещении в пространстве от точки к точке значение функции ϕ (r ) както изменяется. Чтобы охарактеризовать это изменение, используют набор производных по координатам ∂ϕ ∂xi . Посмотрим, как преобразуются эти производные при повороте системы координат:T∂ϕ ∂ϕ ∂x j ∂ϕ ∂ (α jk xk′ )∂ϕ∂ϕ=== α Tjk δ ki= α ij∂xi′ ∂x j ∂xi′ ∂x j ∂xi′∂x j∂x jflrr∂ϕ (r )∂ϕ (r ′).= α ij∂xi′∂x jТаким образом, закон преобразования имеет тот же вид, что и для тензоровпервого ранга, следовательно, производные ∂ϕ ∂xi являются компонентамивектора67grad ϕ =∂ϕ r ∂ϕ r ∂ϕ ri +j+k,∂x∂y∂zкоторый носит название градиента скалярной функции ϕ и обозначаетсяgrad ϕ .
Таким образом, по определениюgrad i ϕ =∂ϕ∂xi(37)Из определения следует важное свойство градиента: это – вектор, направленный в сторону наискорейшего возрастания функции.Для сокращения записи часто используют векторный дифференциальныйоператор ∇ (читается «набла»), изначально введённый Уильямом Роуэном Гамильтоном:r ∂ r ∂ r∂∇=i+ j+k .∂x∂y∂zТогда grad ϕ ≡ ∇ϕ .r☺ Пример 23. В качестве примера найдём градиенты скалярных функций ϕ (r ) = rrr rи ψ (r ) = (a , r ) .grad i r =∂r∂=∂xi ∂xixn2 =xi∂xm xm∂ 2 1xx=2=δ=.mmmi2r∂xirr2 xn2 ∂xi1rВ результате grad r = r r .r r∂grad i (a , r ) =a j x j = a j δ ij = ai ,∂xir r rоткуда grad (a , r ) = a .r☺ Пример 24. Рассчитать напряжённость электрического поля E , создаваемогоrдиполем с дипольным моментом d .rrrКак известно, E = −grad ϕ (r ) , где ϕ (r ) – распределение скалярного потенциала.
В случае, когда источником электрического поля является диполь,r rrrϕ (r ) = d , r r 3 . Найдём grad ϕ (r ) :( )68(d , rr ) =rgrad ir3( )r rr r ∂ ⎛1⎞ 1 ∂r r − 3 ∂r1 ∂ r r∂ d,r,,,r 4=+=drdrdxd=+⎜⎟j jr 3 ∂xir ∂xi∂xi r 3∂xi ⎝ r 3 ⎠ r 3 ∂xi=( ) ( )( )( )( )r r 3 xi d ir r xi1ddδ−d,r=−3,r 5 .j ijr3r4 r r3rВ итоге,r(d,r ) dgrad=rr3rr r rr− 3 d,r 5 ,r3r( )следовательно,rr r rr dr rE (r ) = 3 d , r 5 − 3 .rr( )Оператор «набла» может действовать и на векторные поля, результатомчего являются дивергенция или ротор векторного поля.r rОпределение. Дивергенцией векторного поля A(r ) называется скалярнаяrфункция div A , определяемая в декартовой системе координат так:()r r r ∂Adiv A = ∇, A ≡ i(38)∂xir rОпределение.
Ротором векторного поля A(r ) называется векторное полеrrot A , определяемая в декартовой системе координат так:[ ]r r r rr∂rot A = ei ∇, A i ≡ ei ε ijkAk(39)∂x jr rr rЗаметим также, что если rot A ≡ 0 , то векторное поле A(r ) называетсяrпотенциальным, а если div A ≡ 0 , то – вихревым или соленоидальным.☺ Пример 25. В порядке упражнения рассчитаем дивергенцию и ротор векторноr rrго поля A(r ) = r r .x∂rr∂rrxi = xidiv rr = (∇, rr ) =+ rδ ii = xi i + 3r = 4r .r∂xi∂xi⎛ xj⎞∂rr+ rδ jk ⎟⎟ = 0rot i rr = [∇, rr ]i = ε ijkrxk = ε ijk ⎜⎜ xk∂x j⎝ r⎠69flr rrot rr = 0 .r rrТаким образом, векторное поле A(r ) = r r является потенциальным.r☺ Пример 26.
Рассчитать напряжённость магнитного поля H , создаваемогоrмагнитным диполем с магнитным моментом µ .Как известно, векторный потенциал магнитного поля, создаваемого магr rr rнитным диполем, имеет вид: A(r ) = [µ , r ] r 3 . Напряжённость магнитного поляrrможет быть найдена как H = rot A .r rr ⎡ [µr , rr ]⎤∂ ⎛ [µ , r ]k ⎞∂ ⎛ xm ⎞rot i A = ⎢∇, 3 ⎥ = ε ijk⎜ 3 ⎟ = ε ijk ε knm µ n⎜ ⎟=r ⎦i∂x j ⎝ r ⎠∂x j ⎝ r 3 ⎠⎣⎛ δ mj 3 x j xm ⎞xx ⎞r r x µ⎛ δ⎟⎟ = µ n ⎜ − in3 + 3 i 5 n ⎟ = 3(µ , r ) 5i − 3i ,= (δ inδ jm − δ imδ jn )µ n ⎜⎜ 3 −5r ⎠r ⎠rr⎝ r⎝rrr r rrr rт.е.
H = 3 (µ , r )r r 5 − µ r 3 . Нетрудно установить, что div ([µ , r ] r 3 ) = 0 .Интерес представляет также и кратное действие оператора «набла», чтопозволяет, в частности, определить дифференциальные операции второго порядка. Так, например, поскольку градиент скалярного поля является в своюочередь полем векторным, можно рассчитать его дивергенцию и ротор:∂ 2ϕdiv grad ϕ = (∇, ∇ )ϕ = 2 = ∆ϕ ,∂xiгде ввели оператор∆=∂2∂2∂2,++∂x 2 ∂y 2 ∂z 2называемый оператором Лапласа или лапласианом. Что касается ротора, тоrr∂ 2ϕrot grad ϕ = [∇, ∇]ϕ = ei ε ijk= 0,∂x j ∂xkпоскольку смешанные производные симметричны по отношению к перестановке индексов j и k, а тензор Леви-Чивита – антисимметричен. Таким образом,градиент любой скалярной функции является потенциальным полем.Градиент дивергенции векторного поля есть вектор, компонентами которого являются суммы смешанных производных:70r rr r ∂ 2 Ajgrad div A(r ) = ∇ ∇, A = ei.∂xi ∂x j()По отношению к ротору векторного поля можно рассчитать его дивергенцию:( [ ])r rr∂ 2 Akdiv rot A(r ) = ∇, ∇, A = ε ijk= 0,∂x j ∂xkоткуда следует, что ротор любого векторного поля в свою очередь является полем вихревым.
Нетрудно также показать, что ротор от ротора может быть выражен через ранее рассмотренные функции:r rrrrrrrot rot A(r ) = ∇, ∇, A = ∇ ∇, A − (∇, ∇ ) A = grad div A − ∆A .[ [ ]] ( )Важную роль в векторном анализе играют различные векторные тождества, позволяющие удобным образом преобразовывать различные соотношения.Особенно часто необходимость в этом возникает, например, в электродинамике. Докажем некоторые из них.()()rrrr☺ Пример 27. Доказать тождество div ϕ ⋅ A = ϕ div A + A, grad ϕ , где ϕ и A –соответственно скалярная и векторная функции координат.Распишем левую часть этого равенства по определению:()()rrr∂(ϕ ⋅ Ai ) = ϕ ∂Ai + Ai ∂ϕ = ϕ div A + A, grad ϕ .div ϕ ⋅ A =∂xi∂xi∂xiТождество доказано.( )( )r r rr rrrr☺ Пример 28.
Доказать тождество ∇, A B = B div A + A, ∇ B , где A и B – векторные функции координат.Заметим в первую очередь, что в выражении, стоящем в левой части равенства, оператор «набла» действует на все функции, стоящие правее его, поr rr rэтому ∇, A B ≠ div A ⋅ B . Подобно предыдущему примеру распишем i-ю компо-( )ненту левой части:(∇, A) B = ∂∂x (A B ) = B ∂∂Axrijjiji+ Ajj71()r r∂Bi = Bi div A + A, ∇ Bi ,∂x j()()r r rr rrоткуда следует векторное равенство ∇, A B = B div A + A, ∇ B , которое и требовалось доказать.В заключение раздела приведём без доказательства следующую теорему.rТеорема Гельмгольца.
Любое квадратично-интегрируемое векторное поле Arможно представить в виде суммы вихревой (соленоидальной) V и потенциrальной P составляющих, т.е.r r rA =V + P,r rrгде rot P = 0 и div V = 0 .Как же найти эти составляющие векторного поля? Очевидно, например,rrrчто div A = div P . В силу потенциальности поля P его можно представить какrградиент некоторой скалярной функции ϕ : P = grad ϕ . Напомним, что роторградиента тождественно равен нулю. В итоге получимrrdiv grad ϕ = div Afl∆ϕ = div A .Последнее равенство представляет собой уравнение Пуассона с известной правой частью.
Для его решения можно использовать известные стандартные методы. В результате найдёмr r1 div A(r ′)rϕ (r ) = − ∫ r r dV ′ ,4πr − r′откудаr rr1div A(r ′)P = − grad ∫ r r dV ′ .4πr − r′rrЧто касается вихревой составляющей, то заметим, что rot A = rot V . Вихrревое поле V можно в свою очередь представить как ротор некоторого другогоrполя, например, B , тогда будетrrrrrot A = rot rot B = grad div B − ∆B .rПотребуем дополнительно, чтобы поле B само по себе было вихревым, и в результате вновь придём к уравнению Пуассона:72rr∆B = −rot A ,решение которогоr rr r1 rot A(r ′)B(r ) =r r dV ′ .4π ∫ r − r ′Соответственно, вихревая составляющая векторного поляr rr 1rot A(r ′)rot ∫ r r dV ′ .V=4πr − r′r rr rОчевидно, что потенциальная составляющая P(r ) векторного поля A(r )rможет быть найдена, если известна div A во всём пространстве, а для нахождеrr rния вихревой составляющей V (r ) необходимо знание rot A во всём пространстве.
Таким образом, теорему Гельмгольца можно сформулировать в виде равенства:r rr rr r1rot A(r ′)1div A(r ′)rot ∫ r r dV ′ −grad ∫ r r dV ′ .A(r ) =4π4πr − r′r − r′В качестве иллюстрации рассмотрим электромагнитное поле, создаваемоеrстатическим распределением зарядов с объёмной плотностью ρ (r ) . В уравнеrrниях Максвелла для электрического и магнитного полей ( E и B соответственно)rdiv E = 4πρ ,rr1 ∂B,rot E = −c ∂trdiv B = 0 ,rr 4π r 1 ∂Ej+rot B =cc ∂tr rв рассматриваемом случае следует положить j = 0 (токи отсутствуют), а такжеrr∂E ∂t = ∂B ∂t = 0 (задача стационарная).
Тогда из теоремы Гельмгольца следуrет, что магнитное поле B всюду равно нулю, а вектор напряжённости электриrческого поля E совпадает со своей потенциальной компонентой:73rrr rrp rr rρ (r ′) rρ (r ′) ⋅ (r − r ′) rE (r ) = E (r ) = −grad ∫ r r dr ′ = − ∫r r 3 dr ′ .r − r′r − r′Фактически, последнее равенство является выражением закона Кулона для сисrтемы распределённых зарядов. Очевидно, что при ρ (r ) = 0 это кулоновское поле обращается в нуль.r rr rНаряду с этим, как известно, переменные поля E (r , t ) и B(r , t ) (электро-магнитные волны) могут существовать и в отсутствие источников, т.е. приr r rrρ (r ) = 0 и j (r ) = 0 . В таком случае из уравнений Максвелла и теоремы Гельмr rr rr rr rгольца следует, что эти поля являются вихревыми: E (r ) ≡ E v (r ) и B(r ) ≡ B v (r ) .rВ заключение заметим, что в силу уравнения div B = 0 магнитное полевсегда имеет вихревой характер.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
