Уравнения Макселла в криволинейных координатах (1265837)
Текст из файла
See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/235974565Уравнения Максвелла в криволинейных координатахArticle · January 2011CITATIONSREADS47942 authors, including:Dmitry Sergeevich KulyabovPeoples' Friendship University of Russia (RUDN University)169 PUBLICATIONS 202 CITATIONS SEE PROFILESome of the authors of this publication are also working on these related projects:System and Network Engineering View projectOne-step processes stochastization View projectAll content following this page was uploaded by Dmitry Sergeevich Kulyabov on 22 May 2014.The user has requested enhancement of the downloaded file.УДК 537.8:514.7:621.372.81Уравнения Максвелла в криволинейных координатахД.
С. Кулябов, Н. А. НемчаниноваКафедра систем телекоммуникацийРоссийский университет дружбы народовул. Миклухо–Маклая, д. 6, Москва, 117198, РоссияПри записи уравнений Максвелла в криволинейных координатах обычно используетсягромоздкий векторный формализм. Предлагается заменить его более простым тензорным описанием.Ключевые слова: волноводы, уравнения Максвелла, тензорный формализм.1.ВведениеВ исследованиях интегрально-оптических волноводов можно выделить дваэтапа: исследования регулярных планарных волноводов и исследования нерегулярных интегрально-оптических векторных волноводов. В тех и в других исследованиях решаются уравнения Максвелла с использованием граничных уравнений.Планарные волноводы образованы стопкой плоских параллельных диэлектрических пластинок и тонкоплёночных слоёв, так что все границы плоские и параллельны между собой.
Это обусловило запись уравнений Максвелла и граничныхусловий в декартовых координатах. Исследование нерегулярных интегрально-оптических волноводов с круговыми и сферическими симметриями границ разделапобуждают к использованию криволинейных координат. Имеется большое число публикаций в этом направлении. Все они имеют дело с «векторной формой»уравнений, для которой характерна большая громоздкость выражений. Использование «тензорной формы» записи уравнений представляется нам более простойи изящной. Чтобы продемонстрировать эквивалентность двух форм, мы подробно приводим параллельно все используемые выражения в тензорной и векторнойформе, а также формулы перехода между ними.Предлагается следующий алгоритм преобразования.
Уравнения в векторномформализме в декартовых координатах преобразуются в тензорную запись пу⃗ на ковариантную производную ∇ . Затемтём формальной замены оператора ∇производится замена координат. После этого тензорная запись переводится в векторную.В данной работе рассматривается трёхмерное пространство. Индексы пробегают диапазон = 1, 2, 3.2.Преобразование координат в тензорном формализмеНапомним, как производятся преобразования дифференциальных операторов [1].Градиент:grad = (grad ) e = ∇ e .Поскольку — скаляр, то можем заменить ковариантную производную на частную:(grad ) = ∇ = .(1)Таким образом, при преобразовании координат компоненты градиента не изменяются.Статья поступила в редакцию 30 декабря 2010 г.Авторы выражают большую благодарность профессору Севастьянову Л. А.
за помощь в постановке и решении проблемы.Кулябов Д. С., Немчанинова Н. А. Уравнения Максвелла в криволиней . . .173Распишем в компонентах:grad = 1e + 2 e2 + 3 e3 .1(2)Дивергенция:(︀√ )︀ ,⃗ · ⃗ = ∇ = , − Γ = , + √div⃗ = ∇1= √ (︀√ )︀ .(3)Распишем в компонентах:1div⃗ = √[︂]︂√√√( 2 )( 3 )( 1 )++.123(4)Ротор:⃗ ⃗] = ∇⃗ × ⃗ = (rot ⃗) e .rot ⃗ = [∇,(rot ⃗) = ∇ = ; ,(5)где — тензор Леви–Чевиты, выражающийся через — символ Леви–Чевитыследующим образом:⎧ (, , ) — чётная перестановка;⎪⎨1, = = −1, (, , ) — нечётная перестановка;⎪⎩0,среди , , есть равные.
=√ ;1 = √ .Поскольку в (5) фигурируют члены типа [;] , то связности сокращаются, имы можем заменить ковариантную производную на частную:(rot ⃗) = , .(6)Распишем в компонентах:⃒⃒⃒ e1e2e3 ⃒⃒⃒1 ⃒ ⃒=rot ⃗ = √ ⃒ ⃒ ⃒ 1 2 3 ⃒⃒ 123 ⃒{︃[︂]︂[︂]︂[︂]︂ }︃3231112=√− 3 e1 +− 1 e2 +− 2 e3 . (7)231Лапласиан можно получить из (3) для дивергенции, положив = , .1Δ = div⃗ = √ 3.(︀√)︀ .(8)Соответствие между тензорной и векторной записямивекторовВ то время, как в тензорном формализме обычно используется координатныйбазис e = / , в векторном формализме базис задаётся как ^e = / , где d —элемент длины по соответствующей координате [2].174Вестник РУДН.
Серия Математика. Информатика. Физика. № 2. 2011. С. 172–179Считая системукоординат ортогональной, запишем d2 = d d = ℎ2 (d )2 ,√√где ℎ = = 1/ — коэффициенты Ламе. Обычно для коэффициентов Ламе√суммирование по индексу не производится. Заметим также, что = ℎ1 ℎ2 ℎ3 .Расписывая вектор в тензорном и векторном виде, найдём соотношение междуэтими формализмами (векторный вид будем помечать шапочкой):⃗ = e = ,1 ⃗ = ^^e = ^ = ^.ℎ Таким образом для контравариантных компонент:1 ^ .ℎ =(9)Аналогично для ковекторов: ⃗ = e = d , ⃗ = ^^e = ^ d = ^ ℎ d .Таким образом для ковариантных компонент: = ℎ ^ .4.Дифференциальные операторы в произвольной системекоординатДля градиента из (1) и (9) получаем:grad = e =1 ^e .ℎ Распишем в компонентах:grad =1 21 31 1^e +^e +^e .ℎ1 1ℎ2 2ℎ3 3Для дивергенции из (3) и (9) получаем:(︀√ )︀11div⃗ = √ = √ (︂√ ^ℎ)︂.Распишем в компонентах:(︂)︂(ℎ2 ℎ3 ^1 )(ℎ1 ℎ3 ^2 )(ℎ1 ℎ2 ^3 )1div⃗ =++.123ℎ1 ℎ2 ℎ3Для ротора из (6) и (3) получаем:(︀)︀1ℎrot ⃗ = √ , e = √ ℎ ^ ^e .Распишем в компонентах:⃒⃒⃒ ℎ1^e1 ℎ2^e2 ℎ3^e3 ⃒[︂]︂⃒⃒(ℎ3 ^3 )(ℎ2 ^2 )1⃒ ⃒= 1rot ⃗ =−^e1 +⃒ 1⃒ℎ1 ℎ2 ℎ3 ⃒ ℎ2 ℎ32323 ⃒⃒ℎ1 ^1 ℎ2 ^2 ℎ3 ^3 ⃒[︂]︂[︂]︂(ℎ1 ^1 )(ℎ3 ^3 )(ℎ2 ^2 )(ℎ1 ^1 )11+−^e2 +−^e3 .3112ℎ1 ℎ3ℎ1 ℎ2Кулябов Д.
С., Немчанинова Н. А. Уравнения Максвелла в криволиней . . .175Для лапласиана получаем запись, эквивалентную (8).Распишем в компонентах:[︂(︂)︂(︂)︂(︂)︂]︂1ℎ2 ℎ3 ℎ1 ℎ3 ℎ1 ℎ2 + 2+ 3.Δ =1123ℎ1 ℎ2 ℎ35.ℎ1 ℎ2 ℎ3 Некоторые криволинейные координаты5.1.Цилиндрические координатыВ рамках стандарта ISO 31-11 координаты (1 , 2 , 3 ) обозначаются как (, , ).Закон преобразования координат от декартовых к цилиндрическим:⎧⎪⎨ = cos , = sin ,⎪⎩ = .Закон преобразования координат от цилиндрических к декартовым:√︀⎧22⎪⎨ = +(︁ )︁, = arctg,⎪⎩ = .Метрический тензор:⎛1 0 = ⎝0 20 0⎞00⎠ ,1 ⎛1= ⎝0001/20⎞00⎠ ,1√ = .Коэффициенты Ламе: ℎ1 ≡ ℎ = 1, ℎ2 ≡ ℎ = , ℎ3 ≡ ℎ = 1.1Символы Кристоффеля: Γ122 = −, Γ221 = Γ212 = .
Остальные символы Кристоффеля равны нулю.5.2.Сферические координатыВ рамках стандарта ISO 31-11 координаты (1 , 2 , 3 ) обозначаются как (, , ).Закон преобразования координат от декартовых к сферическим:⎧⎪⎨ = sin cos , = sin sin ,⎪⎩ = cos .Закон преобразования координат от сферических к декартовым:√︀⎧=2 + 2 + 2 ,⎪⎪(︃)︃(︃ √︀)︃⎪⎪⎨2 + 2 = arccos √︀= arctg,⎪2 + 2 + 2⎪(︁)︁⎪⎪⎩ = arctg .176Вестник РУДН.
Серия Математика. Информатика. Физика. № 2. 2011. С. 172–179Метрический тензор:⎛1 0 = ⎝0 20 00⎠,022 sin ⎞ ⎛1⎜⎜= ⎜0⎝001200⎞⎟⎟0⎟,⎠12 sin2 √ = 2 sin .Коэффициенты Ламе: ℎ1 ≡ ℎ = 1, ℎ2 ≡ ℎ = , ℎ3 ≡ ℎ = sin .1,= − ctg . Остальные символы Кристоффеля равныСимволы Кристоффеля: Γ122 = −, Γ133 = − sin2 , Γ221 = Γ212 = Γ313 = Γ331 =Γ233 = − cos sin , Γ323 = Γ332нулю.6.Уравнения Максвелла в криволинейных координатахБудем рассматривать уравнения Максвелла в системе СГС [3, 4].⃗⃗ ×⃗ = − 1 ;∇ ⃗41⃗ ×⃗ =+ ⃗;∇ (10)⃗ ·⃗ = 4;∇⃗ ·⃗ = 0.∇⃗ и ⃗ — напряжённости электрического и магнитного полей, ⃗ и ⃗ —Здесь электрическая и магнитная индукция, ⃗ и — плотности тока и заряда.Будем считать среду линейной, изотропной, однородной и не обладающей дис⃗ = ,⃗ ⃗ = ,⃗ где и — магнитная исипацией.
Для изотропной среды диэлектрическая проницаемости среды. В силу линейности среды сигнал можноразложить на сумму монохроматических волн, которые можно рассматривать в⃗˜ , ) = (⃗⃗˜ ) exp(−i). Переход к действительным полямкомплексной форме: (⃗осуществляется следующим образом:[︁]︁⃗ , ) = Re(⃗⃗˜ , ) = 1 (⃗⃗˜ ) exp(−i) + ⃗˜ * (⃗) exp(i) ,(⃗2⃗˜ ) — комплексная амплитуда.где (⃗При отсутствии источников ( = 0, ⃗ = 0) уравнения Максвелла (10) длякомплексных амплитуд сводятся к следующему виду:⃗ ×⃗˜∇⃗ ×⃗˜∇⃗ ·⃗˜∇⃗ ·⃗˜∇⃗˜= i;⃗˜= −i;(11)= 0;= 0,где = — волновое число.Решать можно двумя путями: записать уравнения Максвелла сразу в векторном виде, либо произвести вычисления в тензорном виде, а результаты перевестив векторный вид.Кулябов Д.
С., Немчанинова Н. А. Уравнения Максвелла в криволиней . . .6.1.177Решение в векторном видеЗапишем уравнения Максвелла (11) в криволинейных координатах в векторном виде (тильду писать не будем во избежании громоздкости).[︂]︂^3 )^2 )(ℎ3 (ℎ2 1−= i^1 ;(12a)ℎ2 ℎ323[︂]︂^1 )^3 )(ℎ1 (ℎ3 1−= i^2 ;(12b)ℎ1 ℎ331[︂]︂^2 )^1 )(ℎ2 (ℎ1 1−= i^3 ;(12c)12ℎ1 ℎ2[︂]︂^ 3)^ 2)(ℎ3 (ℎ2 1−= −i^1 ;(12d)ℎ2 ℎ323[︂]︂^ 1)^ 3)(ℎ1 (ℎ3 1−= −i^2 ;(12e)31ℎ1 ℎ3[︂]︂^ 2)^ 1)(ℎ2 (ℎ1 1−= −i^3 ;(12f)12ℎ1 ℎ2^2)^3)^1)(ℎ1 ℎ3 (ℎ1 ℎ2 (ℎ2 ℎ3 ++= 0;123^ 1)^ 2)^ 3)(ℎ2 ℎ3 (ℎ1 ℎ3 (ℎ1 ℎ2 ++= 0.123(12g)(12h)Система переопределена, так как для шести переменных имеем восемь уравнений.Следовательно, необходимо ввести два координатных условия.Электромагнитное поле в волноводе не является чисто поперечным, но и имеет и продольную составляющую [3].
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
