Уравнения Макселла в криволинейных координатах (1265837), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

В зависимости от того, какое из полей имеет продольную составляющую, можно выделить ТЕ-волну (электрическое полене имеет продольной составляющей) и ТМ-волну (магнитное поле не имеет продольной составляющей). Очевидно, что в линейной среде общее решение можноразделить на ТЕ-моду и ТМ-моду.Считая, что волна распространяется вдоль координаты 3 , будем искать ре^3 = 0) и ТМ-моды (^ 3 = 0). Начнём со случая ТЕ-моды.шение в виде ТЕ-моды (Идея решения заключается в введении новой потенциальной функции и выра^ и ^ .жении через неё компонент Считая, что для криволинейных координат справедливо условие (первое координатное условие)ℎ3 = 1,(13)из (12g) получим:^1 = ^ 1 = i ,2ℎ2 ^2 = ^ 2 = − i .1(14)ℎ1 ^1 в (12b) и ^2 в (12a), получим:Подставляя (︂)︂(︂)︂1 ℎ2 1 ℎ1 12^^^^1 = =, 2 = =.3132ℎ2 ℎ1 ℎ1 ℎ2 (15)178Вестник РУДН.

Серия Математика. Информатика. Физика. № 2. 2011. С. 172–179Для выполнения (12f) после подстановки (15) необходимо, чтобы криволинейные координаты удовлетворяли также следующему условию (второе координатное условие):(︂ )︂3ℎ2ℎ1= 0.(16)2^3 = ^ 3 = 2 + . Подставляя полученные знаИз (12e) получаем: (3 )2чения в (12c), получаем уравнение для :[︂(︂)︂(︂)︂]︂21ℎ2 ℎ1 + 2++ 2 = 0.1123 2ℎ1 ℎ2ℎ1 ℎ2 ( )Аналогично для ТМ-моды. Исходя из симметрии системы (12), решения для^ → ^ , ^ → ^ . Вместо функТМ-моды можно получить механически заменой ции будет аналогичная функция .6.2.Решение в тензорном видеТеперь решение будем выполнять в тензорном виде, а получившийся результатпереведём в векторный вид.Проведём все рассуждения аналогично предыдущему пункту.

Запишем уравнения Максвелла (11) в криволинейных координатах в тензорном виде (тильдуписать не будем во избежании громоздкости).[︂]︂1 32√− 3 = i 1 ;(17a) 2[︂]︂31 1√− 1 = i 2 ;(17b) 3[︂]︂1 21√−= i 3 ;(17c) 12[︂]︂21 3√−= −i 1 ;(17d) 23[︂]︂31 1√−= −i 2 ;(17e) 31[︂]︂1 21√−= −i 3 ;(17f)121 2 3++= 0;123123++= 0.123Будем использовать первое координатное условие, аналогичное (13):√33 = 1 ≡ ℎ3 = 1.Из (17g) получим (учитывая также (3) и (18)):i , 2^1 = 1 1 = i ,ℎ1ℎ2 21 = 11 1 = 11 √i , 1^2 = 1 2 = − i .ℎ2ℎ1 12 = 22 2 = −22 √(17g)(17h)(18)Кулябов Д. С., Немчанинова Н. А.

Уравнения Максвелла в криволиней‌ . . .179Подставляя 1 в (17b) и 2 в (17a), получим (опять учитываем (3) и (18)):(︂)︂(︂)︂11 22 22 11 12√√1 = 11 = √, 2 = 22 = √, 3 1 3 2(︂)︂(︂)︂ℎ2 ℎ1 ^ 2 = 1 2 = 1 ^ 1 = 1 1 = 1 , .3132ℎ1ℎ2 ℎ1 ℎ2ℎ1 Аналогично (16) введём второе координатное условие:3получаем (используя (3) и (18)):2,(3 )23 = 2 +3 =1 = 3 ,33 3ℎ2 (︂ℎ2ℎ1)︂= 0. Из (17e)2^ 3 = 1 3 = 2 + .3 2ℎ3( )Подставляя полученные значения в (17c), получаем уравнение для :[︂(︂)︂(︂)︂]︂122 11 2√√√+++ 2 = 0.11223 2 7. ( )ЗаключениеИспользование тензорного формализма при оперировании векторами в криволинейных координатах представляется оправданным. Более того, наиболее предпочтительным является использование в вычислениях именно тензорного формализма, а переход к векторам — только в результирующих выражениях.

Приэтом использование тензорного формализма предпочтительно в неоднородных инеизотропных средах, а также при использовании неортогональных координат.Литература1. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия:Методы и приложения. — М.: Наука, 1986. [Dubrovin B. A., Novikov S. P.,Fomenko A. T. Sovremennaya geometriya: Metodih i prilozheniya.

— M.: Nauka,1986.]2. Морс Ф. М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. — М.: Издательствоиностранной литературы, 1960. [Mors F. M., Feshbakh G. Metodih teoreticheskoyjfiziki. — M.: Izdateljstvo inostrannoyj literaturih, 1960.]3. Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. — М.: МИР, 1988.[Vayjnshteyjn L. A. Ehlektromagnitnihe volnih. — M.: MIR, 1988.]4. Денисов В.

И. Лекции по электродинамике. — М.: УНЦ ДО, 2005. [Denisov V. I.Lekcii po ehlektrodinamike. — M.: UNC DO, 2005.]UDC 537.8:514.7:621.372.81Maxwell’s Equations in Curvilinear CoordinatesD. S. Kulyabov, N. A. NemchaninovaTelecommunication Systems DepartmentPeoples Friendship University of RussiaMiklukho-Maklaya str., 6, Moscow, 117198, RussiaWhen writing the Maxwell equations in curvilinear coordinates, usually used a vector-basedformalism.

Proposed to replace it by easier tensor-based formalism.Key words and phrases: waveguide, Maxwell’s equations, tensor formalism.View publication stats.

Характеристики

Список файлов лекций