Тензорный анализ для физиков (1265836), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Так, рассмотрим бесконечно малый «параллелепипед», отступив от точки пространства (q1 , q2 , q3 ) в направлении координатных линий на dq1 , dq2 и dq3 соответственно (см. рис. 14).83В этом случае гранями «параллелепипеда» являются участки координатных поверхностей.Рассчитаем теперь поток векторноrго поля A через поверхность такого «параллелепипеда». Очевидно, он складывается из шести слагаемых – потоков черезкаждую его грань. Например, с учётомструктуры метрического тензора (51) ивыражений (52) вклад от передней (закрашенной)граниимеетвидA1 H 2 H 3 (q1 + dq1 , q2 , q3 )dq2 dq3 , а от проти-Рис.
14.воположной ей: − A1 H 2 H 3 (q1 , q2 , q3 )dq2 dq3 . Объединяя вклады в поток от этихграней, получим∂( A1 H 2 H 3 ) ⋅ dq1dq2 dq3 .∂q1Действуя аналогично по отношению к двум оставшимся парам противоположных граней, для потока через поверхность «параллелепипеда» в итоге получимследующее:⎛ ∂⎞⎜⎜( A1 H 2 H 3 ) + ∂ ( A2 H 1 H 3 ) + ∂ ( A3 H 1 H 2 )⎟⎟dq1dq2 dq3 .∂q2∂q3⎝ ∂q1⎠Разделив это выражение на объём dV = H 1 H 2 H 3 dq1dq2 dq3 , получим искомыйрезультат:rdiv A =⎛ ∂⎞1⎜⎜( A1 H 2 H 3 ) + ∂ ( A2 H 1 H 3 ) + ∂ ( A3 H 1 H 2 )⎟⎟H 1 H 2 H 3 ⎝ ∂q1∂q2∂q3⎠(55)Без вывода приведём также и выражение для ротора векторного поля вортогональной криволинейной системе координат:84rH 1n1rrot A =1∂H 1 H 2 H 3 ∂q1H 1 A1rH 2 n2rH 3 n3∂∂q2∂∂q3H 2 A2H 3 A3(56)В частности, в цилиндрической системе координат дивергенция и роторимеют следующий вид:r 1 ∂(ρAρ ) + 1 ∂Aϕ + ∂Az ρ ,div A =ρ ∂ρρ ∂ϕ∂zr ⎛ 1 ∂Az ∂Aϕrot A = ⎜⎜−∂z⎝ ρ ∂ϕ⎞ r ⎛ ∂Aρ ∂Az⎟⎟nρ + ⎜⎜−∂ρ⎠⎝ ∂z∂A⎞r1⎛ ∂⎟⎟nϕ + ⎜⎜ (ρAϕ ) − ρρ ⎝ ∂ρ∂ϕ⎠⎞r⎟⎟n z .⎠Выпишем в заключение также выражение для оператора Лапласа.
На основе определения ∆ψ = div gradψ с учётом (54) и (55) имеем∆ψ =⎛ ∂ ⎛ H 2 H 3 ∂ψ ⎞ ∂ ⎛ H 1 H 3 ∂ψ ⎞ ∂ ⎛ H 1 H 2 ∂ψ ⎞ ⎞1⎜⎜⎜⎟⎟ ⎟⎜⎜⎟⎟ +⎜⎜⎟⎟ +⎜H 1 H 2 H 3 ⎝ ∂q1 ⎝ H 1 ∂q1 ⎠ ∂q2 ⎝ H 2 ∂q2 ⎠ ∂q3 ⎝ H 3 ∂q3 ⎠ ⎟⎠(57)Задания для самостоятельного решенияIV-1. Вычислить:а). grad (1 r ) ;rб). div (r r ) ;rв). rot (r r ) .rIV-2. Найти напряженность электрического поля E , если распределение скалярного потенциала ϕ в пространстве имеет вид:qа). ϕ = − ;xб). ϕ = Ae −αx ;г). ϕ = α ln kr ;q −д). ϕ = e a (потенциал Юкавы).rrIV-3. Найти градиент скалярной функции ϕ .85в). ϕ = − Az 2 ;rre ( a ⋅r )а).
ϕ =;rr rr rг). ϕ = ( a , r ) ⋅ sin b , r ;( )r rб). ϕ = r ( c , r ) ;3r r2д). ϕ = [a , r ] ;r r3(a, r )в). ϕ =;r2r r rе). ϕ = r , ar , b .()rIV-4. Найти дивергенцию и ротор векторного поля A .r rr rr r r rnr r rа). A = [a , r ];б). A = c sin k , r ;в). A = r ( a , r ) ;r ⎡ ar r ⎤r r rr r rг). A = ⎢ , r ⎥ ;е). A = [a , r ] ⋅ tg r 2 ;д). A = [a , r ] ⋅ sin r ;⎣r ⎦r [ar, rr ]r ⎡ ar r r r ⎤r rr (cr ,rr )ж). A = r r ;з). A = ⎢ , r , b c ⎥ .ё). A = e ;( a, r )r⎣r⎦( )( )IV-5. Доказать тождества:а). grad (ϕ ,ψ ) = ϕ grad ψ + ψ grad ϕ ;r rrrrrб).
div A, B = B, rot A − A, rot B ;r rrrrrr rr rв). rot A, B = B, ∇ A − A, ∇ B + A div B − B div A ;r rrrrrrr rrг). grad A, B = B, ∇ A + A, ∇ B + B, rot A + A, rot B ;rr rr rrrr rд). C , grad A, B = A, C , ∇ B + B, C , ∇ A ;rrrr rrr rе). A, ∇ , B = A, ∇ B + A, rot B − A div B ;r r rrr rrrr rё). ∇, A , B = A div B − A, ∇ B − A, rot B − B, rot A ;[ ] ([ ] (( ) ((( ))[[ ] ] ([[ ] ]) ()( )( ) [] [( ) ) ( ( ) )[]( ) [] [))()]]ж). ∆(ϕ ,ψ ) = ϕ ⋅ ∆ψ + 2(grad ϕ , grad ψ ) + ψ ⋅ ∆ϕ .IV-6.
Доказать, что величина Bk = ∂Tik ∂xi есть тензор I-го ранга, и найти егокомпоненты, еслиа). Tik = xi C k ;б). Tik = r 2 x i C k .IV-7. Доказать, что величина C = ∂Bk ∂xk есть тензор нулевого ранга, и найтиr r r rrего компоненты, если B = r ( a , r ) , а a = {a 0 , 0, 0} .rrrrrIV-8. Доказать, что A ⋅ ∇ A = − A rot A , если A 2 = const .(IV-9. Вычислить:rа).
grad (a , grad ϕ ) ;rв). grad (r , grad ϕ ) ;)rб). rot [a , grad ϕ ] ;rг). rot [r , grad ϕ ] .86( )r rIV-10. Вычислить при ϕ = d , r r 3 :rrа). grad div (ϕ ⋅ r ) ;б). rot rot (ϕ ⋅ r ) ;IV-11. Вычислить:ra⎞⎛rа). ⎜ a , rot ⎟ ;r⎠⎝r ra, bв). rot;r( )r r2r rб). div ([r , a ], r ) + ∆ k , r ;[ ]([ ])((()r r1r rrг). div [a , r ] + b , r + ( r , ∇ ) ;rrrrr2е). ( r , ∇ ) r + div 2 − ( r , grad r 2 ) .rr 2д). r 3 ( a , ∇ ) r ;IV-12. Вычислить:rа). div ϕ (r ) r ;rг). rot r ⋅ A(r ) ;rд). div A(r ) r n ;rе). rot A(r ) r n .rб).
rot ϕ (r ) r ;rв). div r ⋅ A(r ) ;(в). div grad ϕ .)))rIV-13. Найти функцию ϕ (r ) , удовлетворяющую уравнению div ϕ (r ) r = 0 .IV-14. Найти поток радиус-вектора через замкнутую поверхность цилиндра радиуса а и высотой h.IV-15. Найти поток радиус-вектора через замкнутую поверхность конуса с радиусом основания а и высотой h.IV-16. Интеграл по объёму∫ (grad ϕ , rot A) dVrVпреобразовать в интеграл по по-верхности.IV-17. Вычислить интегралыr r rа).
∫ r a , dS ,()б).Srr r∫ (a, r )dS ,Srесли a – постоянный вектор.IV-18. Интегралы по замкнутой поверхностиrr rа). ∫ ϕ dS ,б). ∫ a , dS ,[S]S()r r rв). ∫ b a , dS ,Sr rгде a , b – постоянные векторы, преобразовать в интегралы по объёму, заключённому внутри поверхности.87IV-19. Доказать тождество:rrrrrrrrA,rotrotB−B,rotrotAdV=B,rotA−A,rotBdS .∫∫(() (([))V] [])SrrIV-20. Внутри объёма V векторное поле A удовлетворяет условию div A = 0 ина границе объёма – поверхности S – условию An = 0 . Доказать, чтоrA∫ dV = 0 .VIV-21. Для тензора II-го ранга в трёхмерном пространстве доказать теоремуОстроградского-Гаусса:∂Tik∫V ∂xi dV = ∫S Tik dSi .(Указание: исходить из теоремы Остроградского-Гаусса для вектораrAi = Tik d k , где d – постоянный вектор.)IV-22. Пользуясь интегральным представлением оператора ∇ , доказать равенство:[∫ br, [∇, ar ]]dV + ∫ [[ar, ∇], br ]dV = −∫ [[nr, ar ], br ]dS ,VVSr rrгде a , b – постоянные векторы, n – орт нормали к поверхности.rIV-23.
Вычисляя для поля B = −∇⎛⎜ q ⎞⎟⎝ r⎠rа). поток вектора B через поверхность сферы единичного радиусаrб). интеграл по объему сферы от div Bпроизвести прямое доказательство теоремы Остроградского-Гаусса.rr J × rr r( J = const )IV-24. Вычисляя для поля A =rrа). циркуляцию вектора A по окружности единичного радиусаrб). поток rot A через площадь круга единичного радиуса[]произвести прямое доказательство теоремы Стокса.IV-25. Найти значения интегралов, не прибегая к их прямому вычислению:88а). ni =( )1r r r rг).
(a , n ) b , n =4π1ni dΩ ,4π ∫r rr∫ (a , n )(b , n )dΩ ,r11ni n j dΩ ,ni n j nk nl dΩ ,д). ni n j nk nl =∫4π4π ∫r rr rгде n = r r , a и b – постоянные векторы, dΩ = sin θdθdϕ – элемент телесб). ni n j =ного угла,∫ dΩ = 4π .Интегрирование ведётся по всем направлениям впространстве.IV-26. Найти значения коэффициентов Ламэ для сферической системы координат.IV-27. Найти вектор напряженности электрического поля при заданном распреrделении скалярного потенциала φ (r ) :а). φ = a ln ρ ;б).
φ = cρ ( sin ϕ − cos ϕ ) ;в). φ = kr 2 ;г). φ = br 2 sin θ .IV-28. Найти плотность распределения заряда ρ при известном распределенииrэлектрического поля E = { E ρ , Eϕ , E z }.r ⎧a⎫а). E = ⎨ , 0, 0⎬ ;⎩ρ⎭rб). E = { bρ , 0, 0} ;rв). E = k { cos ϕ , − sin ϕ , 0}.IV-29. Найти плотность распределения заряда ρ при известном распределенииэлектрического поля:⎧ rr ⎪⎪a r , при 0 ≤ r ≤ R ,E=⎨ 3⎪ aR rr, при r ≥ R .⎪⎩ r 3IV-30. Найти вектор напряженности магнитного поля при заданном векторномrrпотенциале A = { Aρ , Aϕ , Az }.
Найти div A .r ⎧ 1⎫а). A = ⎨ 0, H 0 ρ , 0⎬ ;⎭⎩ 2rг). A = A0 { zρ 2 , 0, − ρz 2 };rб). A = { 0, 0, B ln ρ };r⎧z4 ⎫д). A = A0 ⎨ zρ 2 , z 3ϕ , −⎬;4ρ⎩⎭89r⎧ sin ϕ cos ϕ1⎫е). A = A0 ⎨ − 2 , 2 , − ⎬ .zρ ⎭ρρ⎩r ⎧C⎫в). A = ⎨ , 0, 0⎬ ;⎩ρ⎭IV-31. Найти вектор напряженности магнитного поля при заданном векторномrrпотенциале A = { Ar , Aθ , Aϕ }. Найти div A .r⎧ 2 cos θ sin θ ⎫,, 0⎬ ;а).
A = A0 ⎨22r 2 ⎭⎩ rrг). A = A0 { r , 0, a + r sin θ } ;r2 ⎫⎧ cos ϕ, − ,ϕ⎬ ;б). A = A0 ⎨r ⎭⎩ rrд). A = A0 { 2r + a cos θ , − a sin θ , r cos θ };r⎧ 2 cos θ sin θ ⎫в). A = A0 ⎨, 3 , 0⎬ ;3r⎭⎩ rrе). A = A0 { r sin θ , r cos θ , − rϕ cos 2 θ }.IV-32. Найти функцию ρ, удовлетворяющую уравнению ∆ϕ = 4πρ , еслиа). ϕ = − Bz 2 ;б). ϕ = − Be −αz ;в).
ϕ = 4πρ0cos αx cos βy cos γz .α2 + β2 +γ 2IV-33. Найти ∆φ ( ρ , ϕ , z ) , еслиа). φ =aρг). φ = − k ln ρ ;;д). φ = aρ cos ϕ ;б). φ = cρ 2 ;в). φ = k ( ρ 2 + z 2 )−12;е). φ =a.ρ sin ϕIV-34. Найти ∆φ ( r , θ , ϕ ) , еслиа). φ =a;rг). φ = cr cos ϕ ;б). φ = cr 2 ;д). φ = ar 2 cos θ sin ϕ ;в). φ = kr sin θ ;е). φ =90k( sin θ + cos ϕ ) .rОтветыI-4. а).
t = 10, б). t = 2.I-6. a = 1.I-12 и I-13. Указание: воспользоваться формулой (8).⎛⎜I-14. α x = ⎜⎜⎝II-3. ϕ = arctg100cos ϕ0− sin ϕ⎛ cos ϕ⎞⎜⎟sin ϕ ⎟ , α y = ⎜ 0⎜ sin ϕcos ϕ ⎟⎠⎝0010− sin ϕ ⎞⎟0 ⎟.cos ϕ ⎟⎠1± 5+ πk , где k = 0 или k = 1 . При этом матрица тензора приоб2ретает диагональный вид:⎛3m 5⎜⎜ 2⎜Tik′ = ⎜ 0⎜⎜ 0⎜⎝003± 52001⎞⎟⎟⎟⎟.⎟⎟⎟⎠1πРешение может быть также найдено в виде ϕ = − arctg 2 + n , где n = 0,..., 3 .22При этом следует различать повороты системы координат на углы с чётными инечётными значениями n.II-25. Закон преобразования тензора в матричной форме имеет вид (21):A′ = α ⋅ A ⋅ α T ,откуда следует, что det A′ = det (α ⋅ A ⋅ α T ) = det α ⋅ det A ⋅ det α T .
Поскольку в силусвойств матрицы поворота α ⋅ α T = I , то det A′ = det A , что и требовалось доказать. Заметим, что симметрия тензора при этом роли не играет.⎛8 0⎜II-26. а). 25, б). ⎜ 5 3⎜ 15 20⎝5⎞⎟0 ⎟ , в). 21.8 ⎟⎠II-35. а). 1, б). 0.II-37. {2, 4, 6} (см. (28)).91rrr∧ rr∧ rIII-1. а). D = E0 { 8, 12, − 12} , P = E0 4π { 6, 11, − 10} , cos D E = 13 3 22 , cos P E =r r r rr= 43 3 257 , б). D = E , P = 0 . Вектор D коллинеарен вектору напряжённостиrэлектрического поля, если E ориентирован вдоль одного из главных векторовтензора ε ij : A{ − 2, 2, 1} , B{ − 1, − 2, 2} или C{ 2, 1, 2} . Соответствующие собственные значения тензора ε 1 = 1 , ε 2 = 7 и ε 3 = 4 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
