Тензорный анализ для физиков (1265836), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Это также можно трактовать, как факт отсутствия в природе магнитных зарядов.§ 2. Интегральное представление дифференциальных операторов.Интегральные теоремы векторного анализаВ предыдущем параграфе мы определили, что такое тензорное поле, атакже определили дифференциальные операции – градиент, дивергенцию, ротор.
Определим теперь применительно к скалярным и векторным полям операцию интегрирования.Пусть наряду с векторr rным полем A(r ) нам дана некоторая кривая γ , соединяющая в пространстве точки А иВ (см. рис. 10). Разобьём её наN малых участков, которыеrможно заменить хордами ∆li ,и составим затем скалярныеРис. 1074()rr rrпроизведения Ai , ∆li , где Ai – вектор поля, отвечающий началу вектора ∆li .rN rРассмотрим сумму всех таких скалярных произведений ∑i =1 Ai , ∆li . Переходя()далее к пределу N → ∞ и устремляя тем самым длины участков к нулю, полуr rчим линейный интеграл векторного поля A(r ) вдоль кривой γ :r(A∑ , ∆l )rNi =1ii⎯⎯⎯→N →∞(∫ Ar, dl ).rγЭтот интеграл иногда пишут и в другом виде, например,r rA∫ , dl = ∫ (Ax dx + Ay dy + Az dz ).(γ)γДля его вычисления обычно выражают координаты точек кривой γ через некоторый параметр, в результате чего задача сводится к нахождению простого интеграла.Если кривая γ замкнута, соответствующий интеграл называется циркуляцией вектора по замкнутому контуру:(∫ Ar, dl ).rγrrЕсли, например, в качестве вектора A взять вектор силы F , действующей на тело (материальную точку), а в качестве кривой γ – траекторию егодвижения, тогда интеграл вдоль кривой будет иметь смысл работы этой силыпо перемещению тела из точки А в точку В.
В связи с этим в физике различаютсилы консервативные и неконсервативные. Работа консервативных сил (например, силы тяжести) не зависит от формы траектории и определяется лишьначальной и конечной её точками, поэтому на любом замкнутом контуре работатаких сил равна нулю. В то же время работа неконсервативных сил (например,сил трения) определяется не только конечной и начальной точками траектории,но и её формой.75Подобно тому, как выше мы определили линейный интеграл векторногополя вдоль кривой, можно определить ипотоквекторногополячерезпо-верхность. Итак, рассмотрим векторноеr rполе A(r ) и поверхность S (см.
рис. 11).Разобьём её на N малых участков, которые можно заменить параллелограммамиРис. 11.с площадями ∆S i , чью ориентацию вrпространстве определяют единичные векторы нормали ni . Составим скалярныеr rrпроизведения Ai , ni ∆S i , где Ai – вектор поля, отвечающий для определённостиr rNсередине участка, и рассмотрим их сумму ∑i =1 Ai , ni ∆S i .
Переходя далее к()()пределу N → ∞ и устремляя тем самым размеры параллелограммов к нулю,r rопределим поверхностный интеграл векторного поля A(r ) по поверхности Sили же поток векторного поля через поверхность:r∑ (A , n )∆SNrii =1i⎯N⎯⎯→→∞ir(,An∫ )dS = ∫ (A, dS ),rrSrSr rгде ввели вектор dS = n ⋅ dS . Этот интеграл иногда пишут и в другом виде, например,∫ (A, dS ) = ∫ (A dydz + A dzdx + A dxdy ).rrxSyzSЕсли поверхность S замкнута, то соответствующий интеграл даст потокr rвекторного поля A(r ) через замкнутую поверхность:r rA∫ , dS .()SРассмотрим теперь следующий интегралrrr∫S ϕ (r )dS , где ϕ (r ) – некотораяскалярная функция.
Для его вычисления рассечём поверхность S плоскостями,перпендикулярными осям системы координат и расположенными бесконечноблизко друг к другу, так, чтобы заключённый внутри поверхности объём рас76пался на множество параллелепипедов размером dx × dy × dz . Рассмотрим теперь такой параллелепипед, расположенный в точке ( x, y, z ) , и рассчитаем исходный интеграл применительно к его поверхности S ′ :r r(ϕr∫ )dS .S′Очевидно, он распадается на сумму шести слагаемых, отвечающих вкладу каждой грани параллелепипеда:rrr∫ ϕ (r )dS = (ϕ (x + dx, y, z )− ϕ (x, y, z ))i dydz +S′r+ (ϕ ( x, y + dy, z ) − ϕ ( x, y, z )) j dxdz +r+ (ϕ ( x, y, z + dz ) − ϕ ( x, y, z )) k dxdy =⎛ r ∂ϕ r ∂ϕ r ∂ϕ ⎞⎟⎟dxdydz .= ⎜⎜ i+ j+k∂∂∂xyz⎝⎠Рис.
12.При суммировании между собой таких интегралов вклады от смежных гранейсоседних параллелепипедов компенсируют друг друга, отчего в результате останется интеграл по поверхности S. Таким образом,r r(ϕr∫ )dS = ∫ gradϕ dV .S(40)VДалее, в соответствии с теоремой о среднем заменим интеграл по объёмуна произведение:∫ gradϕ dV = gradϕ M ⋅ V ,Vгде gradϕ M – значение градиента, вычисленное в некоторой точке М(x, y, z)внутри объёма, а V – полный объём, заключенный внутри поверхности S. Сжимая далее рассматриваемую поверхность в точку и, соответственно, устремляяеё объём к нулю, получим следующий предел:77rr∫ ϕ (r )dSgrad ϕ = lim S(41)VV →0Равенство (41) выражает собой интегральное представление градиента скалярной функции.Сам оператор «набла» можно выразить из (41), очевидно, следующим образомrdS∫∇ = lim SV →0(42)VПользуясь этим, нетрудно получить интегральные представления для дивергенции и ротора векторного поля:r rA∫S , dSrdiv A = limV →0V([∫ Ar, dSr ])rrot A = lim SиV →0V(43)Вернёмся вновь к процедуре, использованной при выводе формулы (40).Для бесконечно малого параллелепипеда с учётом (43) не вызывает сомненийравенство:∫ (A, dS ) = div A dV .rrrS′При дальнейшем суммировании вкладов от всех таких параллелепипедов в итоге получим∫ (A, dS ) = ∫ div A dVrrSr(44)Vт.е.
поток векторного поля через замкнутую поверхность равен интегралу отего дивергенции по объёму, заключённому внутри этой поверхности. Это соотношение составляет суть теоремы Остроградского-Гаусса.Без вывода напомним также и ещё одну известную теорему векторногоанализа – теорему Стокса:(∫ Ar, dl ) = ∫ (rot Ar, dSr )rlS78(45)которая устанавливает, что циркуляция векторного поля по замкнутому контуру равна потоку ротора этого поля через произвольную поверхность, натянутую на этот контур.☺ Пример 29. В качестве примера преобразуем интеграл по замкнутому контуруrот скалярной функции ∫ ϕ dl в интеграл по поверхности, натянутой на данныйCконтур. Для этого умножим его скалярно на произвольный постоянный векторrA , тогда() ( ( ) )r⎞r rr r⎞⎛r r⎛r∂ϕ⎜⎜ A, ∫ ϕ dl ⎟⎟ = ∫ ϕA, dl = ∫ rot ϕA , dS = ∫ ε ijkAk ni dS = ⎜⎜ A, ∫ [n , grad ϕ ]dS ⎟⎟ .∂x jSS⎠⎝ S⎠ C⎝ CТаким образом,rr∫ ϕ dl = ∫ [n, gradϕ ]dS ,CSrгде n – единичный вектор нормали к поверхности.§ 3.
Криволинейные системы координатКак известно, при решении некоторых задач более удобным оказываетсяопределение положения точки в трёхмерном пространстве не декартовыми координатами xi (i = 1, 2, 3), а тремя другими числами – qi (i = 1, 2, 3), более отвечающими симметрии рассматриваемой задачи. В качестве этих чисел можновыбрать криволинейные координаты.
В итоге каждой точке пространства с декартовыми координатами x1, x2, x3 ставится в соответствие упорядоченная тройка действительных чисел q1, q2, q3. Таким образом, каждая координата qi является некоторой функцией декартовых координат и наоборот:q i = q i ( x1 , x 2 , x 3 )⇔xi = xi (q1 , q2 , q3 ) .Будем предполагать, что эти функции однозначны и непрерывно дифференцируемы, а производимое преобразование координат является невырожденным,т.е.79∂q1∂q1∂x1∂ (q1 , q 2 , q 3 ) ∂q 2≡∂x1∂ ( x1 , x 2 , x 3 )∂q 3∂x1∂q 2∂q 3∂q1∂x 2∂q 2∂x 2∂q 2∂x 2∂x 3∂x 3≠ 0.(46)∂x 3Поверхности q i = const (i = 1, 2, 3) называются координатными поверхностями, а линии их пересечения – координатными линиями.
Касательные ккоординатным линиям векторыr∂rrei =∂q i(47)образуют базис криволинейной системы координат в данной точке пространства. При этом очевидно, каждый из этих векторов можно разложить по исходному базису декартовой системы координат:r ∂x r ∂x r ∂x rei = 1 i + 2 j + 3 k .∂qi∂qi∂qiВ соответствие с этим определяются так называемые коэффициенты Ламэ2⎛ ∂x⎛ ∂x ⎞rH i ≡ | ei | = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ + ⎜⎜ 2⎝ ∂q i⎝ ∂q i ⎠22⎞⎛ ∂x ⎞⎟⎟ + ⎜⎜ 3 ⎟⎟ ,⎠⎝ ∂q i ⎠(48)введённые в обращение французским математиком и инженером ГабриэлемЛамэ (1795–1870). С помощью коэффициентов Ламэ можно естественным обrразом ввести нормированный на единицу базис векторов ni :reirni =Hir| ni | = 1 .⇒(49)rЕсли векторы ei образуют ортогональную тройку векторов, т.е.(er , er ) = Hij2iδ ij ,то криволинейная система координат называется ортогональной.
Таковыми являются, например, цилиндрическая и сферическая системы координат.80Квадрат расстояния ds 2 между двумя бесконечно близкими точками, разrделёнными радиус-вектором dr , равенrrrr rds 2 = dr 2 = ( ei dqi , e j dq j ) = ( ei , e j ) dqi dq j ≡ g ij dqi dq j ,(50)r rгде величина g ij = (ei , e j ) называется метрическим тензором. Очевидно, в ортогональных системах координат метрический тензор диагонален:⎛ H 12⎜g ij = ⎜ 0⎜ 0⎝0 ⎞⎟0 ⎟.H 32 ⎟⎠0H 220(51)Метрический тензор составляет основу метрики и полностью определяетвсе геометрические свойства криволинейного пространства.
Так элементыплощади координатных поверхностей выражаются через его компоненты следующим образом:2dσ 1 = g 22 g 33 − g 23dq 2 dq3 ,dσ 2 = g11 g 33 − g132 dq1dq3 ,dσ 3 = g11 g 22 − g dq1dq 2 .212(52)Элемент объёма определяется соотношениемdV = J ⋅ dq1 dq 2 dq 3 ,(53)r r rгде величина J = (e1 , e2 , e3 ) называется якобианом (в честь немецкого математика Карла Густава Якоба Якоби (1804–1851)). Якобиан может быть рассчитан ичерез компоненты метрического тензора: J = det g ij . Очевидно, для ортогональных систем координат якобиан равен произведению коэффициентов Ламэ.☺ Пример 30.
В качестве примера рассмотрим цилиндрическую систему коорди-нат, в которой положение точки пространства задаётся координатами ρ, ϕ и z(см. рис. 13). Связь между этими переменными и декартовыми координатамивыглядит следующим образом:81⎧ x = ρ cosϕ⎪⎨ y = ρ sin ϕ⎪z = z⎩Рассчитаем квадрат элемента длины:ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 == (dρ cosϕ − ρ sin ϕdϕ ) +2+ (dρ sin ϕ + ρ cosϕdϕ ) + dz 22После тривиальных преобразований получим ds 2 = dρ 2 + ρ 2 dϕ 2 + dz 2 , откуда коРис. 13.эффициентыЛамэH1 = 1 ,H2 = ρиH 3 = 1 . Таким образом, метрический тензор в цилиндрической системе координат имеет вид⎛ 1⎜g ij = ⎜ 0⎜ 0⎝0ρ200⎞⎟0 ⎟,1 ⎟⎠а элемент объёма dV = ρ dρ dϕ dz .§ 4.
Дифференциальные операторы в криволинейных координатахВ первом параграфе настоящей главы, действуя в декартовых координатах, мы определили оператор «набла», а с помощью него – градиент скалярнойфункции, дивергенцию и ротор векторного поля. Обобщим теперь эти результаты на случай криволинейных ортогональных систем координат.r rДля начала договоримся, что для обозначения базисных векторов i , j иrr rrrrk в суммах будем использовать E1 , E2 и E3 , например, r = xi Ei . Наряду с этимбудут использоваться и базисные векторы криволинейной системы координатrei , определённые в (47).82rИтак, рассчитаем градиент скалярного поля ϕ (r ) . По определениюgrad ϕ =∂ϕ r ∂ϕ ∂q j r ∂ϕEi =Ei =⋅ grad q j∂q j∂xi∂q j ∂xiДля нахождения grad q j запишем∂qirdx j = (grad qi , dr ) .∂x jdqi =r rВ то же время согласно (47) dr = ek dqk , тогда получимrdqi = (grad qi , ek )dqk .Последнее равенство может выполняться, очевидно, лишь в случае, если(grad qi , erk ) = δ ik .Сопоставляя этот результат с условием ортогональности системы координат(eri , erk ) = H i2δ ik , немедленно находимrreinigrad qi = 2 =.HiHiТогда для градиента скалярной функции в ортогональной криволинейной системе координат получим следующее выражение:1 ∂ϕ rnjj =1 H j ∂q j3grad ϕ = ∑(54)В частности, для цилиндрической системы координат будем иметьgrad f =∂f r1 ∂f r ∂f reρ +e + e .∂ρρ ∂ϕ ϕ ∂z zДля получения выражения дивергенции векторного поля придётся воспользоваться её интегральным представлением (43).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
