Тензорный анализ для физиков (Сборник материал для ознакомления с ФП), страница 6

Действительно, при переходе в штрихованную систему координат будем иметьTTCijm = Aijk Bkm = α ipT α Tjqα krT A′pqr ⋅ α ksT α mtBst′ = α ipT α Tjqα rk α sk α mtA′pqr Bst′ =TTT= α ipT α Tjqδ rsα mtA′pqr Bst′ = α ipT α Tjqα mtA′pqr Brt′ = α ipT α Tjqα mtC ′pqt ,Tт.е. Cijm = α ipT α Tjqα mtC ′pqt , что и является законом обратного преобразования длятензора третьего ранга. При доказательстве, как и ранее, мы воспользовались,во-первых, тем, что перемножаемые величины являются тензорами и, следовательно, преобразуются известным образом, и, во-вторых, мы в очередной развоспользовались свойством матрицы поворота.Теорема деления. Если в каждой системе координат заданы NR величинTi1 ,i2 ,K,iR и для любого тензора ранга r ( r ≤ R ) Ai1 ,i2 ,K,ir выражение Ti1 ,i2 ,K,iR Ai1 ,i2 ,K,irявляется тензором ранга R – r, то величины Ti1 ,i2 ,K,iR составляют тензор ранга R.Докажем эту теорему в частном случае.

Пусть дано, что в каждой системекоординат выполняется соотношение Aijk ⋅ B j = Cik , причем Aijk и Cik – тензорытретьего и второго рангов соответственно. Докажем, что Bj является тензоромпервого ранга.Доказательство. Поскольку Cik является тензором, для него верен законпреобразования Cik′ = α ijα kn C jn . Продолжаем эту запись с учетом условий теоремы:Cik′ = α ijα kn C jn = α ijα kn A jmn Bm = KТеперь используем то, что Aijk – тензор, получимTK = α ijα knα Tjpα mqα nrT A′pqr Bm = α ijα knα pjα qmα rn A′pqr Bm = K33Используя свойство матрицы поворота, получим′ .K = δ ipδ krα qm A′pqr Bm = α qm Bm Aiqk′ Bq′ .

СледоваС другой стороны, в силу условий теоремы должно быть Cik′ = Aiqkтельно,′′ Bq′ = α qm Bm AiqkAiqkfl′ (Bq′ − α qm Bm ) = 0 .Aiqk′ , вообще говоря, ненулевой, получаем Bq′ = α qm Bm , т.е. заПоскольку тензор Aiqkкон преобразования тензора первого ранга для величин Bi.§ 2. Симметрия тензоровРассмотрим тензор второго ранга Tij . Он называется симметричным (антисимметричным), если при перестановке двух индексов его компоненты неменяются (меняют знак на противоположный), т.е.Tij = T jifl Tij – симметричный тензорTij = −T ji fl Tij – антисимметричный тензорТензор более высокого ранга может быть симметричен по одной паре индексови наряду с этим антисимметричен по другой паре.

Так, например, еслиFijkn = F jikn и Fijkn = − Fkjin ,то говорят, что тензор четвёртого ранга Fijkn симметричен по первой паре индексов и антисимметричен по перестановке первого и третьего индексов.Условие симметрии приводит к сокращению числа независимых компонент тензора. Так, рассмотрим для простоты тензор второго ранга. В трёхмерном пространстве он имеет всего девять компонент, которые легко представитьсебе в виде квадратной матрицы 3 × 3.

Если тензор является симметричным, торавны его компоненты, симметрично расположенные относительно главнойдиагонали. Очевидно, независимыми тогда можно назвать лишь те компоненты,что расположены над главной диагональю, а также элементы, стоящие непосредственно на ней. Тогда число независимых компонент симметричного тензора второго ранга в трёхмерном пространстве окажется равным шести.34Что касается антисимметричного тензора второго ранга, то можно заметить, что его компоненты, расположенные выше главной диагонали матрицытензора, отличаются знаком от соответственных компонент, расположенныхниже неё.

Компоненты, стоящие на главной диагонали, равны нулю. Это нетрудно показать. Пусть Aij – антисимметричный тензор, тогда Aij = − A ji . Еслиже выбрать в этом равенстве i = j, то получим A jj = − A jj (здесь нет суммы по j).Последнее условие выполняется лишь в случае, когда A jj = 0 . Таким образом,число независимых компонент антисимметричного тензора второго ранга втрёхмерном пространстве будет равно трём.Можно показать также, что свойство симметрии (антисимметрии) тензора– инвариантно, т.е. не зависит от системы координат. Рассмотрим симметричный (антисимметричный) тензор второго ранга, т.е. Tij = ±T ji . Докажем, что всистеме координат, произвольно повёрнутой относительно исходной, это равенство также будет иметь место, т.е.

будет Tij′ = ±T ji′ . В самом деле,Tij′ = α inα jm Tnm = α inα jm (± Tmn ) = ±α jmα in Tmn = ±T ji′ , т.е. Tij′ = ±T ji′ ,что и требовалось доказать. Иллюстрацией инвариантности свойства симметрии тензора является пример 13 на стр. 28. Заметим также, что из доказанногоследует ещё один практический вывод: если изначально тензор не обладал какой-либо симметрией, то и в любой другой системе координат никакой симметрией обладать не будет.Теорема.

Произвольный тензор второго ранга может быть представлен в видесуммы симметричного и антисимметричного тензоров.Доказательство. Рассмотрим произвольный тензор второго ранга Tij .Очевидно, что для любой из его компонент справедливы равенства:Tij =Tij2+Tij2=Tij2+Tij2+T ji2−T ji2=Tij + T ji2+Tij − T ji2= S ij + Aij ,где введены обозначения S ij = (Tij + T ji ) 2 и Aij = (Tij − T ji ) 2 . Заметим далее, что• S ij =Tij + T ji2=T ji + Tij2= S ji , т.е. S ij – симметричный тензор,35•Aij =Tij − T ji2=−T ji − Tij2= − A ji , т.е. Aij – антисимметричный тензор.Таким образом, мы показали, что произвольный тензор Tij может быть представлен в виде суммы симметричной S ij и антисимметричной Aij составляющих.

Теорема доказана.☺ Пример 15. Пусть в некоторой декартовой системе координат известны компо-ненты тензора⎛1⎜Pij = ⎜ 3⎜4⎝3−1−1216⎞⎟⎟.⎟⎠Задача состоит в том, чтобы найти его симметричную S ij и антисимметричнуюAij составляющие, а также найти Sp(Sij A jk ).По формулам, выведенным при доказательстве теоремы, нетрудно найти:Sij =Aij =Pij + Pji2Pij − Pji2⎛⎛ 11 ⎜⎜= ⎜⎜ 32 ⎜⎜⎝⎝ 4⎛⎛ 11 ⎜⎜= ⎜⎜ 32 ⎜⎜⎝⎝ 44 ⎞⎞ ⎛ 1⎟⎟ ⎜− 1 − 1⎟ ⎟ = ⎜ 316 ⎟⎠ ⎟⎠ ⎜⎝ 3−1−12⎞ ⎛1⎟ ⎜1 ⎟+⎜ 36 ⎟⎠ ⎜⎝ 23−121⎞ ⎛1⎟ ⎜⎟−⎜ 36 ⎟⎠ ⎜⎝ 234 ⎞⎞ ⎛ 0⎟⎟ ⎜− 1 − 1⎟ ⎟ = ⎜ 016 ⎟⎠ ⎟⎠ ⎜⎝ 1− 1⎞⎟1⎟− 1 0 ⎟⎠3−1−13303⎞⎟0⎟6 ⎟⎠00Введём далее обозначение Sij A jk = Dik . Исходя из расположения индекса суммирования в левой части этого равенства, в матричной форме оно примет вид:D = S ⋅ A .

Найдём тогда компоненты Dik:⎛1⎜Dik = ⎜ 3⎜ 3⎝3−103 ⎞⎛ 0⎟⎜0 ⎟⎜ 06 ⎟⎠⎜⎝ 1− 1⎞ ⎛ 3⎟ ⎜01 ⎟=⎜ 0− 1 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 60−34 ⎞⎟0 − 4⎟ .− 6 − 3 ⎟⎠Sp (Sij A jk ) ≡ S kj A jk = Dkk , т.е. необходимо найти сумму диагональных элементовматрицы тензора Dik. Она равна нулю. Таким образом, Sp(Sij A jk ) = 0 .36☺ Пример 16. В предыдущем примере мы получили, что двойная свёртка S kj A jkоказалась равной нулю. Покажем теперь в общем виде, что свёртка симметричного S ij и антисимметричного Aij тензоров равна нулю всегда.S kj A jk = S jk ⋅ (− Akj ) = − S jk Akj = KМы воспользовались свойствами симметрии этих тензоров, а теперь совершимещё переименование индексов суммирования: вместо j будем писать k, а вместоk будем писать j (эта операция обозначается также j ¨ k), тогдаK = − S kj Ajk .В итоге, пришли к равенству S kj A jk = − S kj Ajk , откуда следует, что такая суммаравна нулю, т.е.

S kj A jk = 0 .§ 3. Изотропные тензорыОпределение. Тензор называется изотропным, если при повороте системы координат его компоненты не изменяются.Казалось бы, это определение противоречит понятию тензора как объекта, преобразующегося определённым образом при повороте системы координат. Однако, оказывается, можно удовлетворить обоим этим определениям.Так, например, изотропным является нулевой тензор произвольного ранга, поскольку нулевой тензор в любой системе координат имеет нулевые компоненты. Существуют примеры и ненулевых изотропных тензоров.Символ Кронекера δ ij является изотропным тензором второго ранга.Для того, чтобы доказать это, необходимо доказать выполнение следующегосоотношения:δ ij = α inα jmδ nm .Но его выполнение очевидно в силу определения символа Кронекера и свойствматрицы поворота: α inα jmδ nm = α inα jn = δ ij .37Изотропным тензором третьего ранга является абсолютно антисимметричный единичный тензор ε ijk , который также называют тензором ЛевиЧивита в честь итальянского математика Туллио Леви-Чивита (1873-1941).Понятие «абсолютно антисимметричный» подразумевает антисимметрию поотношению к перестановкам любой пары индексов.

Это отражается на численезависимых компонент тензора Леви-Чивита: из 27-ми его компонент в трёхмерном пространстве не равны нулю только шесть:⎧ε123 = ε 312 = ε 231 = 1,⎨⎩ε 213 = ε 321 = ε132 = −1.(24)Для обоснования изотропии данного тензора докажем выполнение соотношенияε ijk = α inα jmα kl ε nml .Распишем в явном виде сумму, стоящую в правой части:α inα jmα kl ε nml = α i1α j 2α k 3 + α i 3α j1α k 2 + α i 2α j 3α k1 − α i 2α j1α k 3 −α i1 α i 2 α i 3r r r− α i 3α j 2α k1 − α i1α j 3α k 2 = α j1 α j 2 α j 3 = (ei′, e ′j , ek′ )α k1 α k 2 α k 3Для записи последнего равенства было использовано соотношение (11).