Тензорный анализ для физиков (Сборник материал для ознакомления с ФП), страница 2

Таким образом, выбранные нами полиномы линейно независимы.Обобщая полученный результат, можно доказать, что все полиномы видаEi ( x ) = x i (где i = 0, …, n) из этого множества являются линейно независимыми.Определение. Размерностью векторного пространства называется максималь-ное число линейно независимых векторов.Определение. Базисом векторного пространства размерности N называетсялюбая совокупность N линейно независимых векторов.Пусть векторы a1, a2, ..., aN образуют базис векторного пространства V.Его размерность равна N. Тогда при добавлении к данной совокупности N век8торов произвольного вектора b из множества V векторы (в количестве N + 1)становятся линейно зависимыми.

Отсюда следует, что вектор b может бытьпредставлен в виде линейной комбинации базисных векторов. Докажем это.Итак, набор векторов a1, a2, ..., aN – базис векторного пространства V, и b– произвольный вектор из этого пространства. Уравнениеα0b + α1a1 + … + αNaN = 0должно иметь нетривиальное решение, т.к. рассматривается совокупность изN + 1 вектора в N-мерном пространстве. Важно то, что здесь α0 ≠ 0, в противномслучае все остальные коэффициенты также должны были бы равняться нулю,поскольку векторы a1, a2, ..., aN линейно независимы. Разделим равенство на α0и получим искомое разложение вектора b в данном базисе:b = β1a1 + ... + β N aN ,где коэффициенты β i = − α1 α 0 называются координатами (или компонентами) вектора b в данном базисе.Докажем далее, что найденное разложение определяется единственнымобразом.

Доказательство произведём методом от противного, предположив, чтов том же базисе существует ещё одно разложение вектора b:b = β1′a1 + ... + β N′ aN .Вычитая из первого разложения второе, приходим к следующему равенству0 = (β1 − β1′)a1 + ... + (β N − β N′ )aN .Поскольку векторы a1, a2, ..., aN линейно независимы, а эта их линейная комбинация равна нулевому вектору, она тривиальна. Таким образом, β i′ = β i , т.е.

обаразложения вектора b в данном базисе совпадают. Следовательно, произвольный вектор множества раскладывается по базису единственным образом.Ограничимся далее рассмотрением пространства действительных векторов и определим их скалярное произведение.Определение. Скалярным произведением действительных векторов a и b называется число, ставящееся в соответствие данной паре векторов, обозначаемое(a, b) или a⋅b, которое удовлетворяет следующим условиям:91). (a, b ) = (b, a ) ,3). (αa, b ) = α (a, b ) , где α ∈ R ,2). (a + b, c ) = (a, c ) + (b, c ) ,4). (a, a ) > 0 при a ≠ 0 , (a, a ) = 0 при a = 0 .Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведениеравно нулю.Определение.

Длиной (или модулем) вектора a называется положительное значение квадратного корня из скалярного произведения вектора a самого на себя:(a, a )a=Если модуль вектора равен единице, то сам вектор называется единичным.Как отмечалось выше, базисом векторного пространства размерности Nможет служить любая совокупность из N линейно независимых векторов. Однако из всех возможных базисных систем наиболее удобной является так называемая ортонормированная базисная система – та, в которой векторы базиса ei(i = 1, …, N) являются единичными и ортогональными друг другу.

Коротко этозаписывается так:( e , e )= δijij⎧0, если i ≠ j, где δ ij = ⎨⎩ 1, если i = jЗдесь δij – символ Кронекера, названный так в честь немецкого математика Леопольда Крóнекера (1823-1891). На возможность построения такого базиса указывает следующая теорема.Теорема. Из всякой совокупности m линейно независимых векторов a1, a2, ...,am можно построить совокупность m линейно независимых единичных ортогональных друг другу векторов e1, e2, ..., em.Доказательство.

Возьмём в качестве вектора e1 следующее выражение:e1 =a1.a1Очевидно, вектор e1 – единичный. Рассмотрим теперь векторe2′ = a2 − (a2 , e1 ) ⋅ e1 .10Нетрудно убедиться, что (e2′ , e1 ) = 0 , т.е. новый вектор ортогонален e1. Тогда построим из него единичный вектор e2 = e2′ e2′ . Вектор, ортогональный e1 и e2,определим следующим выражениемe3′ = a3 − (a3 , e1 ) ⋅ e1 − (a3 , e2 ) ⋅ e2 .Отнормировав его, получим третий искомый вектор e3 = e3′ e3′ .Повторное выполнение аналогичной процедуры позволит найти ортонормированную совокупность векторов e1, e2, ..., em, каждый из которых выражается через a1, a2, ..., am. Теорема доказана.Координаты вектора в произвольном базисе найти, вообще говоря, неочень просто: необходимо решить систему из N линейных уравнений.

В случаеортонормированного базиса эта задача заметно проще. Действительно, возьмёмразложение произвольного вектора а в ортонормированном базисеNa = ∑ ai eii =1и умножим обе части равенства скалярно на базисный вектор ej:N⎛(e j , a) = ⎜ e j , ∑ ai ei ⎞⎟ .i =1⎝⎠Скалярное произведение в правой части может быть преобразовано к видуNN⎛⎞ N⎜ e j , ∑ ai ei ⎟ = ∑ ai (e j , ei ) = ∑ aiδ ji = a j .i =1i =1⎝⎠ i =1Таким образом, координаты вектора а в ортонормированном базисе ei находятся согласно соотношению:ai = (ei , a ) .(1)Нетрудно также выразить скалярное произведение двух векторов через ихкомпоненты в ортонормированном базисе. Действительно,NNNNN⎞ N⎛N(a, b ) = ⎜⎜ ∑ ai ei , ∑ b j e j ⎟⎟ = ∑ ai b j (ei , e j ) = ∑ ai b jδ ij = ∑ ai ∑ b jδ ij = ∑ ai bi .j =1i , j =1i =1j =1i =1⎠ i , j =1⎝ i =1Следует заметить, что в этой цепочке преобразований значки суммирований привели лишь загромождению записи.

Дело в том, что они не несли на себе11какой-либо полезной информации, поскольку изначально было известно, чторазмерность пространства равна N и, соответственно, суммирование по i и jидёт по всему базису – от 1 до N. Так нельзя ли совсем не писать значки суммирования, подразумевая их присутствие, где это необходимо? Оказывается,можно! Именно для таких целей и было сформулировано следующее правило.Правило Эйнштейна. По всякому индексу, повторяющемуся в выражениидважды, подразумевается суммирование, а знак суммы опускается.С помощью этого правила удается сократить запись многих формул и соотношений. Так, например, последняя цепочка преобразований с учётом данного правила приобретает следующий вид:(a, b ) = (ai ei , b j e j ) = ai b j (ei , e j ) = ai b jδ ij = ai bi .Она не потеряла своей информативности и стала гораздо компактнее.При использовании правила Эйнштейна следует иметь в виду, что• от наименования индекса суммирования результат суммы не зависит, т.е.ai bi = a j b j = ak bk = ...• индекс суммирования можно обозначить любой буквой, за исключениемтех, что уже используются в выражении, поэтому(a, b ) = (ai ei , b j e j ) – правильно,(a, b ) = (ai ei , bi ei ) – неправильно.В абсолютном большинстве случаев в выражениях не может встретитьсябόльшего числа индексов суммирования, чем два.

В тех редких ситуациях, когда это не так, значок суммирования используется явно. Таким образом, при аккуратном использовании сформулированное правило не может привести к недоразумениям.В заключение раздела приведём несколько примеров, касающихся базисов векторных пространств различных типов.☺ Пример 7. Множество геометрических векторов на плоскости двумерно, абазисом может служить любая пара неколлинеарных векторов. Трёхмерноевекторное пространство образует множество геометрических векторов в объёме; базис при этом – произвольная тройка некомпланарных векторов.12Скалярное произведение геометрических векторов определяется, как известно, через произведение их модулей на косинус угла между ними. Нетрудноубедиться, что при этом выполняются все требования, предъявляемые к операrции скалярного произведения.

В смысле такого определения базис векторов i ,r rr r rr rr rj , k является ортонормированным, поскольку i = j = k = 1 и (i , j ) = j , k =( )( )rr= k ,i = 0 .☺ Пример 8. Множество действительных квадратных матриц 2×2 четырёхмерно,а базисом могут служить четыре элемента этого множества:⎛ 1 0⎞ ⎛ 0 1⎞ ⎛ 0 0⎞ ⎛ 0 0⎞⎜⎜⎟⎟ , ⎜⎜⎟⎟ , ⎜⎜⎟⎟ , ⎜⎜⎟⎟ .⎝ 0 0⎠ ⎝ 0 0⎠ ⎝ 1 0⎠ ⎝ 0 1⎠Скалярное произведение таких векторов – матриц 2×2 – можно определить так:⎛ ⎛ a1⎜⎜ ⎜⎜⎝ ⎝ a3a2 ⎞ ⎛ b1⎟, ⎜a4 ⎟⎠ ⎜⎝ b3b2 ⎞ ⎞⎟ ⎟ = a1b1 + a2 b2 + a3b3 + a4 b4 .b4 ⎟⎠ ⎟⎠В этом смысле предложенный базис является ортонормированным.☺ Пример 9.

Уже знакомое множество действительных полиномов степени невыше n, заданных на отрезке x∈[a, b],P ( x ) = c0 + c1 x + c2 x 2 + K + cn x nимеет размерность n + 1. В качестве базиса можно выбрать следующий наборлинейно независимых полиномов:E0 ( x ) = 1 , E1 ( x ) = x , E2 ( x ) = x 2 , ..., En ( x ) = x n .Скалярное произведение векторов-полиномов обычно определяют черезинтеграл от их произведения:b(P1 ( x ), P2 ( x ) ) = ∫ P1 ( x ) P2 ( x )dx .aНетрудно убедиться тогда, что предложенный базис Ei ( x ) = x i не является нинормированным, ни ортогональным. Построение ортонормированного базисана основе набора линейно независимых векторов Ei ( x ) возможно с использова13нием алгоритма, сформулированного при доказательстве приведённой вышетеоремы. Так, возьмём в качестве первого базисного вектора единичный векторe0 ( x ) :e0 ( x ) =E0 (x )E0 (x )e0 ( x ) =⇒1.b−aВторой вектор будем искать в видеe1′ ( x ) = E1 ( x ) − (E1 ( x ), e0 ( x )) ⋅ e0 ( x )⇒e1′ ( x ) =1(2 x − a − b ) ,2что после нормировки примет вид:e1 ( x ) = −3(b − a )32(a + b − 2 x ) .Действуя согласно алгоритму, третий вектор ищем в видеe2′ ( x ) = E 2 ( x ) − (E 2 ( x ), e0 ( x )) ⋅ e0 ( x ) − (E 2 ( x ), e1 ( x )) ⋅ e1 ( x )e2′ ( x ) =⇒⇒1(6 x 2 − 6 x(a + b) + a 2 + 4ab + b 2 ) .6После нормировки найдём:e2 ( x ) =5(b − a ) 25(a2+ 4ab + b 2 − 6(a + b )x + 6 x 2 ) .Аналогично можно получить и все остальные (до en(x)) ортонормированныевекторы-полиномы.§ 2.

Вектор как направленный отрезок. Скалярное, векторное и смешанноепроизведения векторовРассмотримдалеемножествогеометрическихвекторов в трёхмерном пространстве. Как уже говорилось, базисом в таком случае могут служить любые тринекомпланарных вектора, однако чаще используется орr rтонормированный базис, образованный векторами i , jrиk.14Рис. 1.Ранее уже отмечалось, что скалярное произведение двух векторов определяется как произведение их модулей на косинус угла между ними:( )r r r rr∧ ra , b = a ⋅ b ⋅ cos a , b .(2)rrВекторным произведением векторов a и c называется вектор, обознаr rr rчаемый [a , c ] или a × c , длина которого определяется соотношением[ar, cr ]r rr∧ r= a ⋅ c ⋅ sin a , c ,(3)а направление – по правилу правого винта: оно совпадаетс направлением движения правого винта, вращаемого отrrпервого вектора a ко второму c по кратчайшему пути.Векторное произведение удобно представлять в виде определителя:ri[ar, cr ] = a1c1Рис.