Тензорный анализ для физиков (Сборник материал для ознакомления с ФП), страница 3

2.rja2c2rka3 .c3(4)Среди полезных свойств векторного произведения следует отметить следующие:• модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на двух векторах-сомножителях;• необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторовявляется равенство нулю их векторного произведения;• если рассматривать векторные произведения различных пар базисныхвекторов, то нельзя не отметить определённую симметрию:rr rr r rr r ri, j =k ,j,k = i ,k ,i = j .[ ][ ][ ]Наряду с определениями скалярного и векторного произведений пар векторов можно определить и произведения троек векторов – смешанное произведение и двойное векторное произведение.r r rСмешанным произведением трёх векторов a , b и c называется скалярнаяr r rвеличина a , b , c , определяемая как()15( ar, b , cr ) = ( ar, [b , cr ] ).rr(5)Смешанное произведение удобно изображать в виде определителя:a1r r ra , b , c = b1c1( [ ])a2b2c2a3b3 .c3(6)Среди его свойств необходимо отметить следующие:• с точностью до знака смешанное произведение равно объёму параллелепипеда, построенного на трёх векторах-сомножителях;• необходимым и достаточным условием компланарности трёх векторовявляется равенство нулю их смешанного произведения;• при перестановке любой пары векторов в смешанном произведении ономеняет знак, при циклической перестановке сомножителей знак не меняется.Также необходимо отметить важный факт:r r ri , j,k = 1,(7)rr rпоэтому говорят, что векторы i , j и k образуют правую тройку векторов.

В()случае левой тройки подобное смешанное произведение равно –1.Под двойным векторным произведением трёх векторов принято пониматьr r rвектор, определяемый как a , b , c . Для него справедливо следующее соотно-[ [ ]]шение:[ar, [b , cr ]] = b (ar, cr ) − cr (ar, b ).rrr(8)Это соотношение известно также под названием «бац минус цаб». Его можнодоказать, расписав покомпонентно обе части равенства, а также используя выражения для скалярного и векторного произведений векторов через их координаты.

Иное доказательство данного соотношения будет дано в следующей главе.16§ 3. Преобразования компонент векторовпри повороте декартовой системы координатПусть в исходном ортонормированном базисеr r rre1 , e2 , e3 координаты вектора a равны соответстrrвенно a1, a2 и a3, т.е. верно равенство a = a n e n .

Осуществим поворот системы координат вокруг некоторой оси, в результате получим новый базис, построr r rенный на векторах e1′ , e2′ , e3′ . В новой системе координат будет иметь место аналогичное разложениеrra = a k′ e k′ . Возникает вопрос о связи между координа-Рис. 3.тами вектора в старом и новом базисах. Согласно (1)r rrai′ = (ei′, a ) . Подставляя в данное равенство разложение вектора a по старомубазису, получимr rrrr rai′ = α ij a jai′ = (ei′, a ) = (ei′, a j e j ) = (ei′, e j )a j = α ij a j , т.е.(9)r rЗдесь введена матрица поворота α ij = (ei′, e j ) . В силу того, что векторы старогои нового базисов единичные, компонентами матрицы поворота являются косинусы углов между ними:α ij = (ei′, e j ) = ei′ ⋅ e j ⋅ cos ei′, e j = cos ei′, e j .r rrrr ∧rr ∧r(10)Сами векторы старого и нового базисов связаны между собой также посредством матрицы поворота:rrei′ = α ij e j .(11)Для доказательства этого соотношения домножим обе его части скалярно наrвектор ek , получим(eri′, erk ) = (α ij er j , erk ) fl (eri′, erk ) = α ij (er j , erk ) fl (eri′, erk ) = α ijδ jk fl (eri′, erk ) = α ik ,а последнее равенство совпадает с определением матрицы поворота.Выясним теперь, как ортонормированность старого и нового базисов сказывается на свойствах матрицы поворота.

Для этого с помощью (11) рассчитаемскалярное произведение двух векторов нового базиса:17(er′, er′ ) = (αrrr re , α jm em ) = α ikα jm (ek , em ) = α ikα jmδ km = α ikα jk .r rС другой стороны, известно, что (ei′, e ′j ) = δ ij . Тогда получаем равенство:ijik kα ikα jk = δ ij .(12)Последнее соотношение удобно представить также в матричной форме.Преобразуем для этого левую часть равенства:α ikα jk = α ikα kjT = (α ⋅ α T )ijВ результате можем записать:(α ⋅ α )Tij= δ ijflα ⋅α T = I(13)Отсюда следует, что матрицей, обратной матрице поворота, является транспонированная матрица:α −1 = α T(14)Умножая (13) слева на матрицу α T , можем получить равенство α T ⋅ α = I , расписывая которое по компонентам, получим(αT⋅ α )ij = δ ijflα ikT ⋅ α kj = δ ijflα ki ⋅ α kj = δ ij .(15)Последнее соотношение аналогично (12) и отличается лишь порядком индексов; оно бывает удобно при решении задач.Полученное ранее соотношение (9) выражает собой закон прямого преобразования координат вектора – от старого базиса к новому.

В заключение раздела выведем закон обратного преобразования, для чего обе части равенства (9)умножим на α ik :α ik ai′ = α ikα ij a j fl α ik ai′ = δ kj a j fl α ik ai′ = ak flak = α kiT ai′(16)Как и следовало ожидать, обратное преобразование осуществляется посредством обратной матрицы – транспонированной матрицы поворота.☺ Пример 10. Докажем, что при произвольном повороте декартовой системыкоординат скалярное произведение векторов не изменяется. Для этого придётсявоспользоваться законом прямого преобразования (9), а также свойством матрицы поворота (15):18(ar′, b′) = a′ b′ = α a αrirПоскольку a =iij(ar, ar ) ,j( )r r,b .b=ααab=δab=ab=aik kij ik j kjk j kk kто отсюда, в частности, следует, что модуль векторатакже является инвариантом по отношению к поворотам системы координат.☺ Пример 11.

Построим матрицу поворота системы координат вокруг оси z наугол φ. По определению⎛ cos er ′∧, er⎜1 1⎜r ∧rα = ⎜ cos e2′ , e1⎜ cos er ′∧, er⎜3 1⎝r ∧rcos e1′, e2r ∧rcos e2′ , e2r ∧rcos e3′ , e2r ∧rcos e1′, e3 ⎞⎟r ∧r ⎟cos e2′ , e3 ⎟ .r ∧rcos e3′ , e3 ⎟⎟⎠При повороте вокруг оси z на угол φ (см. рис. 4)будет⎛ cosϕ⎜α z = ⎜ − sin ϕ⎜ 0⎝sin ϕcosϕ0001Рис. 4.⎞⎟⎟.⎟⎠☺ Пример 12. Решим теперь следующую задачу.

Пусть в некоторой системеrкоординат K известны компоненты вектора a = 0, 2 , 2 . В системе K′, полу-{}ченной из K поворотом на 45° вокруг оси z, известны компоненты вектораrc ′ = 1 − 2 , 1 + 2 , 1 . Найти скалярное произведение этих векторов.{}Как было показано в примере 10, скалярное произведение не зависит отсистемы координат, поэтому в данной задаче возможны два пути решения:rможно посредством обратного преобразования найти компоненты вектора c вr rсистеме координат K и вычислить скалярное произведение (a , c ) или же найти,rсделав прямое преобразование, компоненты вектора a ′ в системе K′ и вычисr rлить скалярное произведение (a ′, c ′) .

Решим задачу первым способом, предоставив читателю возможность решить задачу другим путём самостоятельно.rИтак, найдём компоненты вектора c в системе K согласно закону обратного преобразования ck = α kiT ci′ , где матрица поворота уже известна – она быларассчитана в примере 11. Сам закон преобразования гораздо удобнее записать вматричной форме, изображая векторы столбцами:19ck = α kiT ci′⎛ c1 ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜⎜ c2 ⎟ = ⎜⎜c ⎟ ⎜⎝ 3⎠ ⎝flαT⎞⎛ c1′ ⎞⎟⎜ ⎟⎟⎜ c2′ ⎟ .⎟⎜ c ′ ⎟⎠⎝ 3 ⎠Таким образом,⎛⎜r ⎜c =⎜⎜⎜⎝⎞⎟⎛ 1 − 2 ⎞ ⎛ − 2 ⎞22⎟ ⎜ ⎟⎟⎜220 ⎟⎜ 1 + 2 ⎟ = ⎜ 2 ⎟ .22⎟ ⎜ ⎟⎟⎜001 ⎟⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠⎠r rВ итоге, искомое скалярное произведение (a , c ) = 0 ⋅ (− 2 ) + 2 2 + 2 ⋅ 1 = 4 .2− 20§ 4. Преобразования компонент векторовпри инверсии декартовой системы координатИнверсия системы координат означает, что все три еёr rнаправление на противоположное.

Базисные векторы i , j ,rсвоё направление, порождая новый базис – набор векторов i ,rrr rr ri = −i , j = − j , k = −k .оси меняют своёrk также меняютr rj, k:(17)Примечательно, что при таком преобразованииrизначально правая тройка базисных векторов i ,r r rr rj , k сменяется левой тройкой векторов i , j , k :r r rr r ri , j,k = 1 fli , j , k = −1 .()()Казалось бы, всё уже сказано, и всё это достаточно просто. Что же может быть особенного иинтересного в связи с такого рода преобразоваРис. 5.нием координат?Обозначим эту особенность на следующем примере. Рассмотрим три векrrrтора – a = {1, 2,1}, b = { 2,1, 2} и c = {3, 0,−3}.

Найдём векторное произведениеr ra, b :[ ]20ri[ ]r rj k[ar, br ] = 12rr1 = 3i − 3k ,212[ ]r rr r rт.е. a , b = {3, 0,−3}, значит, a , b = c . Произведём теперь инверсию системы координат, в результате чего компоненты нашей тройки векторов сменят знаки:rrra = { − 1, − 2, − 1}, b = { − 2, − 1, − 2}, c = { − 3, 0, 3}.r rНайдём теперь векторное произведение a , b :rrrijkrrr ra , b = − 1 − 2 − 1 = 3i − 3k ,[ ][ ]−2[ ]−1 − 2[ ]r rr r rт.е. a , b = {3, 0,−3}, значит, a , b ≠ c . Получили следующую ситуацию: в исходной системе координат два вектора равны друг другу, а в инвертированной– это равенство нарушается![ ]r rrВывод может быть только один: векторы a , b и c по-разному ведут себяr rпо отношению к инверсии системы координат.

Действительно, векторы a , b иrc изначально указывают на некоторые направления в пространстве. После инверсии системы координат они по-прежнему указывают туда же, но посколькубазисные векторы поменяли свои направления, то поменяли знаки и компоненr rты этих векторов. А вот вектор a , b , будучи ориентирован в исходной системе[ ]координат в некотором направлении, при её инверсии поменял направление напротивоположное вместе с векторами базиса, отчего его компоненты и не изменились.