Тензорный анализ для физиков (Сборник материал для ознакомления с ФП), страница 8

В качестве упражнения найдём собственные значения и собствен-ные векторы тензора, заданного матрицей⎛ 1 1 0⎞⎟⎜M ij = ⎜ 1 10 3 ⎟ .⎜ 0 3 1⎟⎠⎝rПусть A = {a, b, c} – собственный вектор тензора M ij , отвечающий собственному значению λ . Тогда его компоненты находятся из системы уравнений (29),которую удобно представить в матричной форме:⎛a⎞⎛ 1 1 0 ⎞⎛ a ⎞⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎜ 1 10 3 ⎟⎜ b ⎟ = λ ⎜ b ⎟⎜c⎟⎜ 0 3 1 ⎟⎜ c ⎟⎝ ⎠⎠⎝ ⎠⎝или10 ⎞⎛ a ⎞ ⎛ 0 ⎞⎛ 1− λ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜10 − λ3 ⎟⎜ b ⎟ = ⎜ 0 ⎟ .⎜ 1⎜ 031 − λ ⎟⎠⎜⎝ c ⎟⎠ ⎜⎝ 0 ⎟⎠⎝( )Собственные значения находятся из решения характеристического уравнения:1− λ10110 − λ3031− λ=0(1 − λ )2 (10 − λ ) − 10(1 − λ ) = 0 .flЛегко показать, что его корни λ1 = 0 , λ2 = 1 и λ3 = 11 .Подставляя поочерёдно эти значения в систему уравнений ( ), найдёмсобственные векторы тензора M ij .

Например, для λ1 = 0 имеем:⎛ 1 1 0 ⎞⎛ a ⎞ ⎛ 0 ⎞⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜1103⎟⎜ b ⎟ = ⎜ 0 ⎟⎜⎜ 0 3 1 ⎟⎜ c ⎟ ⎜ 0 ⎟⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝fl⎧a + b = 0⎨⎩3b + c = 0fl⎧a = − b⎨⎩c = −3bТаким образом, первый собственный вектор приобретает следующуюrструктуру: A1 = b{− 1, 1, − 3}. Аналогично, с точностью до постоянных могутrrбыть найдены векторы A2 = c{− 3, 0, 1} и A3 = a{1, 10, 3}. В общем-то, на этомпроцедура отыскания собственных векторов завершается.44rЛегко проверить ортогональность трёх найденных векторов Ai . Это свойство, как упоминалось выше, позволяет построить систему главных осей тензоrра с ортами ei′ :rrrA3A1A2rrr11{− 1, 1, − 3}, e′2 = r ={− 3, 0, 1}, e3′ = r = ± 1 {1, 10, 3} .e1′ = r =1110110A3A1A2rrЗдесь мы выбрали константы b и c в определениях A1 и A2 положительными, аrзнак постоянной a в A3 оставили пока неопределённым: он должен быть найденrиз условия того, чтобы орты ei′ образовывали правую тройку векторов, т.е.rr re3′ = [e1′,e2′ ].

Вычисляя векторное произведениеr rre1 e2 e3[er1′, er2′ ] = 1 − 1 1 − 3 = 1 (er1 + 10er2 + 3er3 ) ,110110−3 0 1приходим к необходимости выбора знака «плюс». Итак,re3′ =1{1, 10, 3} .110rВ системе координат, построенной на ортах ei′ , исходный тензор M ijпримет диагональный вид:⎛0 0 0 ⎞⎟⎜M ij′ = ⎜ 0 1 0 ⎟ .⎜ 0 0 11⎟⎠⎝С вопросом о приведении симметричного тензора второго ранга к диагональному виду тесно связано понятие тензорной поверхности. Это поверхностьвторого порядка, определяемая уравнениемTij xi x j = 1(31)Тензорная поверхность однозначно соответствует тензору лишь в том случае,если он симметричный. Если тензор не обладает симметрией, то, как известно,45его можно представить в виде суммы симметричной Sij и антисимметричнойAij составляющих:Tij xi x j = (Sij + Aij )xi x j = Sij xi x j + Aij xi x j = Sij xi x j .123=0Таким образом, тензорная поверхность однозначно определяется лишь симметричной составляющей тензора.Главные оси тензора являются главными осями тензорной поверхности,которая в системе главных осей X 1 , X 2 , X 3 имеет уравнение:λ1 X + λ2 X + λ3 X = 1212223flX 32X 12X 22++=1111λ1λ2(32)λ3С точки зрения приложений наиболее важен случай, когда все собственныезначения положительны, тогда, легко видеть, тензорная поверхность являетсяэллипсоидом с полуосями 1λ1 , 1 λ2 , 1 λ3 .

При λ1 = λ2 тензорный эллип-соид является эллипсоидом вращения, а если λ1 = λ2 = λ3 , тензорный эллипсоид– сфера.Например, для тензора Mij из примера 19 уравнение тензорной поверхности в исходной системе координат выглядит довольно сложно:⎛ 1 1 0⎞⎜⎟M ij = ⎜ 1 10 3 ⎟⎜ 0 3 1⎟⎝⎠flx 2 + 2 xy + 10 y 2 + 6 yz + z 2 = 1 .В системе главных осей это же уравнение принимает совсем простой вид:⎛0 0 0 ⎞⎜⎟M ij′ = ⎜ 0 1 0 ⎟⎜ 0 0 11⎟⎝⎠flX 22 + 11X 32 = 1 .Оно описывает цилиндрическую поверхность, поперечным сечением которойявляется эллипс.46§ 5.

Инварианты тензоров второго рангаПодобно тому, как при повороте декартовой системы координат и изменении компонент векторов их длины остаются неизменными, для тензоров второго ранга также существуют свои инварианты. Для получения явного видаэтих выражений распишем характеристическое уравнение (30) в явном виде,приведя подобные с одинаковыми степенями λ:⎛Tλ3 − λ2 (T11 + T22 + T33 ) + λ ⎜⎜ 22⎝ T32T23T33+T11T13T31 T33+T11 T12T12 ⎞⎟ − T21 T22T22 ⎟⎠T31 T32T11T21T13T23 = 0 .T33Тензор Tij может быть записан в разных системах координат, но при этом корнихарактеристического уравнения – его собственные значения – от системы координат не зависят, т.к.

являются скалярами. Это означает, что коэффициенты характеристического уравнения не меняются при повороте системы координат,т.е. являются инвариантами. Выпишем эти инварианты.I 1 = T11 + T22 + T33 ≡ Sp(Tij ) ,I2 =T22T23T32T33+T11T13T31 T33+T11T12T21 T22T11,T12I 3 = T21 T22T31T32T13T23 .(33)T33Заметим, что ранее уже было доказано, что шпур тензора второго ранга инвариантен по отношению к поворотам системы координат. Сейчас мы пришли кэтому факту совсем с другой позиции.Инварианты можно выразить также через собственные значения тензора,для этого достаточно расписать их в его собственной системе координат:I 1 = λ1 + λ2 + λ3 ,I 2 = λ1λ2 + λ2 λ3 + λ3λ1 ,I 3 = λ1λ2 λ3 .Используя эти инварианты, можно составлять другие инварианты, представляющие собой различные комбинации I 1 , I 2 и I 3 .

Например, инвариантомявляется комбинация:I 12 − 2 I 2 = T112 + T222 + T332 + 2T12T21 + 2T13T31 + 2T23T32 = Tij T ji .47Задания для самостоятельного решенияII-1. В исходной декартовой системе координат известны компоненты тензораAij . Найти его компоненты в системе координат, повёрнутой относительноисходной на некоторый угол вокруг одной из осей:⎛1 0 − 2⎞⎜⎟а). Aij = ⎜ 0 1 0 ⎟ , вокруг оси Ox на 30°;⎜2 0 1 ⎟⎝⎠⎛− 2⎜б). Aij = ⎜ 1⎜⎝ 2− 2⎞⎟11 ⎟ , вокруг оси Oy на 45°;⎟2 ⎠−111⎛0⎜в).

Aij = ⎜ − 1 0⎜0 2 2⎝⎞⎟− 2 2 ⎟ , вокруг оси Oz на 135°.0 ⎟⎠0II-2. В системе координат, полученной из исходной декартовой системы путёмеё поворота на некоторый угол вокруг одной из осей, известны компоненты тензора Aij′ . Найти его компоненты в исходной системе координат (доповорота):⎛ 1⎜′а). Aij = ⎜ − 3⎜⎝− 33 1⎞⎟1 0 ⎟ , вокруг оси Ox на 60°;⎟0 1⎠⎛ 3 03 ⎞⎜⎟б). Aij′ = ⎜ − 4 00 ⎟ , вокруг оси Oу на 120°;⎜⎟−303⎝⎠⎛ 2 2 3 0⎞⎜⎟в). Aij′ = ⎜ 004 ⎟ , вокруг оси Oz на 30°.⎜⎟⎝0 − 4 0⎠II-3.

В некоторой декартовой системе координат даны компоненты тензора48⎛ 2 −1 0⎞⎜⎟Tik = ⎜ − 1 1 0 ⎟ .⎜ 0 0 1⎟⎝⎠На какой угол ϕ вокруг оси Oz нужно повернуть систему координат, чтобы в новой системе координат компонента T12′ стала равной нулю? Чемуравны остальные компоненты Tik′ в новой системе координат?II-4. Доказать, что сумма α ⋅ Aij + β ⋅ Bij представляет собой компоненты тензора второго ранга, если известно, что Aij и Bij – тензоры второго ранга, а αи β – скаляры.r rrII-5.

Доказать, что произведение δ ij A j B n C n является вектором, если A , B и C– векторы.II-6. В некоторой декартовой системе координат известно соотношениеM ijk = Ai B jk . Известно, что Ai и B jk составляют компоненты тензоров I-гои II-го рангов соответственно. Доказать, что M ijk – тензор III-го ранга.II-7. Rnkml – тензор IV-го ранга. Доказать, что Dnl = R nkkl – тензор II-го ранга.II-8. В некоторой декартовой системе координат известно соотношениеrFk H n = Tkn , где Tkn – тензор II-го ранга, F – вектор. Доказать, что H n образует вектор.II-9. В некоторой декартовой системе координат известно соотношениеAi Bik = C k .

Доказать, чтоrrа). Bik – тензор II-го ранга, если A и C – векторы;rб). Ai – вектор, если Bik – тензор II-го ранга, C – вектор.II-19. В некоторой декартовой системе координат известно соотношениеF = Aij B jk C ki . Доказать, чтоа). F – скаляр, если Aij , B jk , C ki – тензоры второго ранга;б). B jk – тензор второго ранга, если F – скаляр, а Aij , C ki – тензоры второго ранга.49II-20. В некоторой декартовой системе координат имеет место соотношениеTnkm = Ami Rink . Доказать, чтоа). Ami – тензор II-го ранга, если Tnkm и Rink – тензоры III-го ранга;б). Rink – тензор III-го ранга, если Tnkm и Ami – тензоры III-го и II-го ранговсоответственно.II-21.

В некоторой декартовой системе координат имеет место соотношениеS k = Am Tmknl R nl . Доказать, чтоа). Am – вектор, если S k – вектор, а Tmknl и Rnl – тензоры IV-го и II-го рангов соответственно;б). Tmknl – тензор IV-го ранга, если S k и Am – векторы, а Rnl – тензор II-горанга;в). Rnl – тензор II-го ранга, если S k и Am – векторы, а Tmknl – тензор IV-горанга.II-22. Даны два тензора II-го и III-го рангов соответственно – Pik и Rnml . Получить из них путём перемножения и свёртывания тензоры I-го, III-го и V-горангов.II-23. Записать в развёрнутой форме и по возможности упростить выражениеDij x i x j , еслиа).

Dij = D ji ;б). Dij = − D ji .II-24. Даны три вектора – Ai , B j , C k . Построить зависящие от ниха). инварианты;б). тензоры II-го ранга;в). симметричный тензор III-го ранга.II-25. Используя свойства матрицы поворота, доказать, что определитель тензора второго ранга является инвариантом.II-26. В некотором базисе задан тензор II-го ранга:50⎛2 0 1⎞⎜⎟Tij = ⎜ 1 1 0 ⎟ .⎜ 3 4 2⎟⎝⎠rrИзвестны также два вектора: A = { 2, 1, 3} и B = { 1, − 1, 3} . Найти:2 ⎞⎛в). ⎜ Tij − δ ij ⎟ Ai B j .5 ⎠⎝rrII-27. Доказать, что произведение компонент двух векторов A и B образуета). Tij Ai B j ;2 ⎞⎛б).

⎜ Tij − δ ij ⎟Tnn ;5 ⎠⎝тензор второго ранга. Найти матрицу этого тензора в системе K, если изrrвестны компоненты A = { 1, − 1, 2} в системе K и B ′ = { 0, 2, 1} – в системеK', получаемой из K поворотом вокруг оси Oz на 90°.II-28. Доказать, что произведение компонент векторов Ai и B j образуют тензорвторого ранга. Найти компоненты этого тензора в системе координат K',rrесли известны компоненты A = { 1, 0, 2} и B = {−1, 2, 3} в системе K и матрица, связывающая систему K с системой K':⎛ 0 1 0⎞⎜⎟α ik = ⎜ − 1 0 0 ⎟ .⎜ 0 0 1⎟⎝⎠II-29. В некоторой системе координат известны компоненты двух векторов –rrA = { 1, 2, − 1} и B = { 2, 3, − 4} .

Найти матрицу тензора Tij = Ai B j − ε ijk Ak ивычислить его след.II-30. Из тензора второго ранга0 2⎞⎛ 1⎜⎟Tij = ⎜ − 1 − 1 2 ⎟⎜ 00 4 ⎟⎠⎝rrи векторов A = { 1, 1, 1} и B = { 0, 2, 1} построить величины:1⎛⎞а). ⎜ Tij − δ ij Tll ⎟ Ai B j ;4⎝⎠б). Tij δ ij An .51rrII-31. В некотором базисе известны два вектора – A = { 1, 2, − 1} и B = { 3, 2, 4} .Из компонент этих векторов построить симметричный и антисимметричный тензоры второго ранга.II-32. В некоторой системе координат известны компоненты тензора II-го ранга:⎛ 1 0 1⎞⎜⎟Pij = ⎜ 2 − 1 1 ⎟ .⎜ 3 1 4⎟⎝⎠Разложить его на симметричную S ij и антисимметричную Aij составляющие.

Найти Sp ( S in Anj ) .II-33. Разложить тензор Fij , матрица которого имеет следующий вид⎛ − 4 − 3 2⎞⎜⎟Fij = ⎜ 31 0⎟ ,⎜ 4 − 2 6⎟⎝⎠на симметричную S ij и антисимметричную Aij составляющие. Найти матрицу тензора Gij = S ij − 1 δ ij Fnn . Чему равен его след?3II-34. Разложить тензор H ij , матрица которого имеет следующий вид⎛ 1 0 2⎞⎜⎟H ij = ⎜ 6 − 1 1 ⎟ ,⎜ 2 3 4⎟⎝⎠на симметричную S ij иантисимметричную Aij составляющие. Найтисвёртку S ij Aij .II-35. В некоторой системе координат задан тензор второго ранга:⎛0 1 3 ⎞⎜⎟Cij = ⎜ 1 2 0 ⎟ .⎜ 3 0 − 1⎟⎝⎠Чему равны следующие свёртки:а). δ ik Cik ;б). ε ijk C jk ?52rrII-36.