Тензорный анализ для физиков (Сборник материал для ознакомления с ФП), страница 5

Любая совокупность 3R величин, заданных в каждом базисе инумеруемых R индексами, изменяющимися от 1 до 3, образует тензор ранга Rв трёхмерном пространстве, если при повороте ортогональной системы координат эти величины в исходном и конечном базисах связаны линейным законом:Ti1′,i2 ,K,iR = α i1k1α i2k2 Kα iRkR Tk1 ,k2 ,K,kR27(18)Согласно определению, тензором нулевого ранга является скаляр – величина, не изменяющаяся при поворотах системы координат.

Тензором первогоранга является вектор, преобразование компонент которого может быть выражено равенством (9) или (16):Ai′ = α ij A jилиAk = α kiT Ai′(19)Тензор второго ранга Bij в трёхмерном пространстве имеет 32 компонент,которые нумеруются двумя индексами. Законы его прямого и обратного преобразований при повороте системы координат имеют вид:Bij′ = α inα jm Bnm′Bij = α inT α Tjm Bnm(20)В законе преобразования тензора третьего ранга будет уже три матрицыповорота и т.д.

Приведённые выше определения нетрудно обобщить на пространства размерности N > 3.☺ Пример 13. Пусть в исходной декартовой системе координат известны компо-ненты тензора второго ранга Aij , заданные матрицей:1⎛ 0⎜A = ⎜−1 0⎜ 0 2 2⎝0 ⎞⎟−2 2⎟.0 ⎟⎠Требуется найти компоненты этого тензора в системе координат, повёрнутойвокруг оси z на 135°.Для решения данной задачи удобно представить закон преобразованиятензора второго ранга в матричной форме, как это делалось для преобразованиявектора в примере 12.

А для этого в свою очередь нужно поставить множителив законе преобразования в порядке, соответствующем произведению матриц,исходя из стоящих индексов суммирования. Итак,TAij′ = α inα jm Anm = α in Anmα jm = α in Anmα mj= (α ⋅ A ⋅ α T )ijflA′ = α ⋅ A ⋅ α T(21)Заметим здесь, что перестановка сомножителей в каждом слагаемом двойнойсуммы и транспонирование производилось затем, чтобы суммирование всякийраз происходило по второму индексу первого множителя и первому индексу28множителя, следующего за ним. Например, выражение α i n Anm описывает перемножение компонент i-й строки матрицы поворота и m-го столбца матрицы А.Нетрудно получить также и закон обратного преобразования тензора Aij .Действительно, домножая обе части равенства (21) на матрицу α (справа) и наматрицу αT (слева), а также учитывая свойство матрицы поворота (14), получимA = α T ⋅ A′ ⋅ α(22)Вернёмся теперь к задаче.

Воспользуемся соотношением (21):⎛− 2⎜2⎜A′ = ⎜ − 22⎜⎜ 0⎝⎛− 2⎜2⎜= ⎜− 22⎜⎜ 0⎝202− 2201202− 220001⎞⎟⎛ 01⎟⎜⎟⎜ − 1 0⎟⎜ 0 2 2⎟⎝⎠⎞⎛⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎠⎝22⎛− 22⎞⎜⎟⎜ 2− 2 2 ⎟⎜2⎟⎜0 ⎠⎜ 0⎝0− 222222−22− 2− 2220001⎞⎟⎟⎟=⎟⎟⎠⎞⎟ ⎛ 01 − 2⎞⎟⎟ ⎜2 ⎟− 2 2 ⎟ = ⎜ −1 0⎟⎟ ⎜0 ⎟ ⎝ 2 −2 0 ⎠⎠0Определим теперь действия над тензорными величинами.1. Сложение тензоров. Складывать можно лишь тензоры одинаковых рангов,причём суммироваться должны их соответственные компоненты. В результатесложения получается тензор того же ранга.Например, так строится сумма двух тензоров третьего ранга:Aijk + Bijk = Cijk .Докажем на этом примере, что в результате суммирования двух тензоровтретьего ранга Aijk и Bijk получился действительно тензор, обозначенный в равенстве как Cijk . Для того, чтобы доказать, что величины Cijk составляют тензортретьего ранга, необходимо доказать, что их совокупность удовлетворяет определению тензора третьего ранга.

Так, очевидно, что число компонент Cijk соответствует числу компонент тензоров Aijk и Bijk и составляет 33, и занумерованыони тремя индексами, что необходимо для тензора третьего ранга. Осталось29проверить самое главное – выполнение закона преобразования. Для этого запишем исходное равенство в некоторой штрихованной системе координат ипопробуем получить закон прямого тензорного преобразования для величинCijk .′ = Aijk′ + Bijk′ =KCijkВоспользуемся далее законами преобразования для тензоров Aijk и Bijk .K = α inα jmα kl Anml + α inα jmα kl Bnml = KИндексы суммирования n, m и l специально были выбраны совпадающими всуммах для обоих тензоров – это позволяет теперь вынести матрицы поворотаза скобки:K = α inα jmα kl ( Anml + Bnml ) = α inα jmα kl C nml .В результате получаем равенство′ = α inα jmα kl Cnml ,Cijkсовпадающее с законом преобразования тензора третьего ранга. Таким образом,мы доказали, что сумма двух тензоров третьего ранга также является тензоромтретьего ранга.

Очевидно, что аналогичное доказательство может быть проведено и в случае сложения тензоров произвольного ранга.Пример 14. Обсудим теперь пример того, как нельзя складывать тензоры и –главное – почему. Рассмотрим, например, сумму двух тензоров первого рангаAi + B j = Cij .( )Составляют ли величины Cij тензор второго ранга? Очевидно, что если у каждого из двух тензоров первого ранга имеется по три компоненты, то при ихсложении каждой с каждой будут получаться девять разных сумм. Таким образом, величин Cij всего девять и занумерованы они как раз двумя индексами.Пока всё как у тензора второго ранга.

А вот с законом преобразования возникают проблемы. Очевидно, что при повороте системы координат левая частьравенства ( ) будет линейна по компонентам матрицы поворота, в то время какдля тензора второго ранга зависимость должна быть квадратичной. Таким обра30зом, величина Cij , определённая неправильной суммой двух тензоров первогоранга, сама тензором не является.2. Умножение тензоров.

Результатом перемножения двух тензоров рангов R1и R2 является тензор суммарного ранга R1 + R2 .Например, произведение тензора первого ранга и тензора второго рангадаёт тензор третьего рангаAi ⋅ B jk = Cijk .Докажем в порядке упражнения, что величины Cijk действительно составляюттензор третьего ранга. Легко убедиться, что их количество и число индексовсоответствуют определению тензора третьего ранга, поэтому остаётся проверить, как и ранее, лишь закон преобразования.

Запишем исходное соотношениев некоторой штрихованной системе координат и воспользуемся тем, что Ai иB jk являются тензорами и, следовательно, преобразуются известным образом:′ = Ai′ ⋅ B ′jk = α in An ⋅ α jmα kl Bml = KCijkВынесем в данном произведении компоненты матриц поворота вперёд, а произведение An Bml обозначим как C nml :K = α inα jmα kl An Bml = α inα jmα kl C nml .В итоге получается равенство – закон преобразования тензора третьего ранга:′ = α inα jmα kl C nml . Таким образом, в частном случае было доказано, что произCijkведение тензоров является тензором суммарного ранга.3.

Свёртка тензора. Свёрткой тензора называется операция умножения его насимвол Кронекера с последующим суммированием по обоим его индексам.При свёртке ранг тензора уменьшается на два, поэтому сворачивать можнолишь тензоры, ранг которых не меньше двух.Например, возьмём тензор четвёртого ранга Aijkl и свернём его по второйпаре индексов:31Aijkl δ kl = Aijkk .Обозначим теперь результат как Bij и докажем, что эта величина является тензором второго ранга. Итак, по определениюBij = Aijkk = KВоспользуемся законом обратного преобразования для компонент тензора четвёртого ранга Aijkl′ = α inT α Tjmα lk α hk Anmlh′ =KK = α inT α Tjmα klT α khT Anmlhи просуммируем выражение по k согласно свойству матриц поворота (12):′ = α inT α Tjm Anmhh′ = α inT α Tjm Bnm′ ,K = α inT α Tjmδ lh Anmlh′ . В результате получаем закон обрат′ была обозначена как Bnmгде свёртка Anmhh′ . Таким образом, мыного преобразования тензора второго ранга: Bij = α inT α Tjm Bnmдоказали, что величины Bij , являющиеся результатом свёртки тензора четвёртого ранга, действительно образуют тензор второго ранга.В рассмотренном примере тензор Aijkl можно было свернуть и по любойдругой паре индексов, например, как Akjkl или Aijjl : результатом всё равно оказался бы тензор второго ранга (отличающийся, конечно, от Bij ).

А вообще, тензор четвёртого ранга может быть свёрнут дважды, например, Akjkj , в результатечего получится тензор нулевого ранга, т.е. скаляр.Скаляр, образующийся в результате свёртки тензора второго ранга, называется следом тензора или его шпуром и обозначается значками Sp или Tr:Sp(Aij ) ≡ Tr (Aij ) ≡ Aii(23)Обозначения связаны с немецким «spur» и английским «trace», соответственно,которые и переводятся как «след».Пользуясь законом преобразования тензора и свойством матриц поворота(15), нетрудно показать, что след тензора второго ранга инвариантен по отношению к произвольным поворотам системы координат:Sp(Aij′ ) = Aii′ = α ijα ik A jk = δ jk A jk = Akk = Sp(Aij )32flSp(Aij′ ) = Sp(Aij ) .Операции перемножения тензоров и свёртки могут комбинироваться между собой, как, например, в выраженииAijk Bkm = Cijm .В порядке упражнения докажем на этом примере, что умножение тензоровтретьего и второго рангов, Aijk и Bnm , с последующей свёрткой является тензором третьего ранга.