Лекция №40.1. Модальное управление (Лекции по дисциплине "Динамическое проектирование систем стабилизации летательных аппаратов")

Модальное управлениеТеория модального управления исследует принудительноеопределение корней и полюсов замкнутой системы в любыенаперед выбранные положения.Метод стандартных коэффициентовЕсли передаточная функция замкнутой системы не имеетнулей, то при выборе ее характеристического полинома можноруководствоваться методом стандартных коэффициентов.При наличии n - кратных корней Ф( s ) 1наименьший( s  1) nкорень определяет длительность переходного процесса, т.к.компонента этого корня затухает медленнее других. Осталосьобеспечить«правильное»распределениекорнейхарактеристического уравнения:s n  a1s n1  ...

 an  0При принятии гипотезы, что все корни характеристическогоуравнения должны иметь одинаковые значения, в левой части егоnполучим бином Ньютона ( s  0 ) , разворачивая который получимстандартные(желаемые)значениякоэффициентовхарактеристического уравнения (таблица 1):Таблица 1Реакция на ступенчатое воздействие систем с биноминальнымикоэффициентамиДругаягипотеза,заключающаясяв«оптимальном»быстродействии, приводит к стандартным формам Баттерворта.Корниприсоблюдениираспределяютсяпоодинаковостиполуокружностиугловыхрадиусом0расстоянийвлевойполуплоскости.Естественно, что реакция на ступенчатое входное воздействиепосравнениюколебательным.сбиноминальнойЛеваячастьсистемойбудетхарактеристическогосистемы Баттерворта приведены в таблице 2.болееуравненияТаблица 2Система БаттервортаТретья гипотеза вытекает из интегральных критериев качествапереходных процессов.

Возьмем интеграл от квадрата ошибкисистемыI 2   e (t )dt   [1  x(t )]2 dt20Далеепронормируем0коэффициентыan  0n a0ивведем  0t . Тогда характеристическоенезависимую переменнуюуравнение примет вид:aid nxd n1 xdxfqq...qx, где i1n1t .dt ndt n1dta0a00Ифункционалможнополучитьввидекоэффициентов qi :I2 120F (q1 , q2 ,..., qn1 ) , гдеявнойфункцииСтандартные формы приводятся в таблице 3, а корни стандартныхполиномов приведены в таблице 4.Таблица 3Таблица 4Еще удобнее взять интеграл от произведения абсолютногозначения ошибки e(t )  1  x (t ) за времяtи минимизировать его:I 3   t e(t ) dt0Формы и соответствующие им корни приведены в таблице 5.Таблица 5Расположение полюсов системы,Реакции на ступенчатое воздействиеоптимизированной по критериюсистем, оптимизированных покритериюI 3   t e(t ) dtI 3   t e(t ) dt00Управляемость и наблюдаемостьПри рассмотрении динамики многоконтурных и многомерныхсистемсталомодносистемулинейныхдифференциальныхуравнений движения записывать в векторно-матричной форме,переходя в координаты пространства состояний: Y  БY  AUСтруктурно-матричная схема объекта управленияУправляемость характеризует возможность перевода объектаиз начального состоянияY ( 0)в требуемое конечное состояниеYТР (T )за конечный промежуток времени с помощью управляющеговоздействияU (t ) .Объект называется вполне управляемым, если может бытьнайдено такое воздействиеU (t ) ,которое переводит за времявсе выходные координаты состоянияконечноесостояниеYТР (T ) .управляемогообъектаобеспечиваетпереводЭтоможнообъекта в требуемоеY ( 0)означает,найтикоординатчтотакоесостоянияпроизвольного заданного состояния0t TдлявполнеU (t ) ,котороеизлюбогов начало координатY ( 0)пространства состояний.Физический смысл свойства наблюдаемости состоит в том,что по известным выходным координатамX (t )известном управляющем воздействииможно определитьсостояниявыходныхY (t ) , 0  t  TU (t )прии0t T.

На практике это означает, что по замерамкоординатдатчикамивозможноопределитьсоставляющие вектора выходных обобщенных координатY (t ) .противном случае система является не полностью наблюдаемой.Y1Б11 Б12 Б13 Б14Y20 Б 22 0 Б 24Y30 0 Б33 Б340 0 0 Б 44Y4Y1Y2Y3Y4A1A200UвсеВгде Бij, А1 и А2 – блочные матрицы. Если с помощью датчиковизмеряются выходные координаты объектаY2иY4 ,то Х2=Д2Y2 иХ4=Д4Y4.Перваястрокасистемыматричныхуравненийдаетуправляемую, но ненаблюдаемую часть объекта. Вторая строкавыделяетуправляемуюинаблюдаемуючасть,третья–неуправляемую и ненаблюдаемую, четвертая – неуправляемую, нонаблюдаемую часть объекта.Напримереэлектромеханическогорулевогоприводапроиллюстрируем данный подход.ПД – задающий потенциометр;  В - задающее положениевходного вала; ПУ – предварительный усилитель (усилительрассогласования); УМ – усилитель мощности; ИД –исполнительный двигатель постоянного тока; q - передаточноечисло редуктора; ПП – потенциометр приемника (датчик обратнойсвязи);C- положение выходного вала привода.Уравнения движения- уравнение рассогласования:U ( p)  U ВХ ( p)  U OC ( p) ,- уравнение усилителя рассогласования:U ВЫХ ( p)  k уU ( p),- уравнение обратной связи:U OC ( p)  kOC qС ( p) ,- уравнение усилителя мощности запишем при допущении,что усилитель безынерционен и Tу  0 :I Я ( p)  kУМ U ВЫХ ( p) или WУ ( p) U ВЫХ ( p) kУМI Я ( p)- уравнение равновесия напряжения на обмотке якоряидеализированного двигателя:dIU ДВ  I Я RЯ  LЯ Я  C E  ДВdt- уравнение моментов:d ДВM ДВ  CM I Я  I ДВ MHdtМ H  М И  М ВТ  М Шd 2CdC IHk C ШCВТ2dtdtили перейдя к операторной форме:C M qI Я ( p )  [( I H  I ДВ q 2 ) p 2  k ВТ p  C Ш )C ( p)I   I H  I ДВ q 2 ДВC1 1LЯ sКУ КУМ1Js1sCСтруктурная схема линейной модели электромеханическогорулевого привода с двигателем постоянного токаТеперь запишем те же дифференциальные уравнения ввекторно-матричной форме:x  Ax  Buy  Cxх – вектор состояния системы, у – вектор выходных величин,вектор внешних воздействий (задающих и возмущающих): x1 x  ...

, xn  y1 u1 y  ... , u  ...  yn un через А, В, С обозначены:- собственная параметрическая матрица системыа11 ... а1n А  ............ аn1 ... ann - входная матрица системыu -b11 ... b1n B  ............ bn1 ... bnn - выходная матрица системыc11 ...

c1n C  ............ cn1 ... cnn Процессы в системе в свободном движении (без внешнихвоздействий) записываются в виде x  Ax с характеристическимуравнениемD ( )  A   E  0Или в развернутом виде системой дифференциальных уравненийx1  a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn..............................................x n  an1 x1  an 2 x2  ...

 ann xnс характеристическим уравнениемa11  D ( ) a21a12... a1na22   ... a2 n.......................................an1an 2 ... ann  Перепишем уравнение равновесия напряжения на обмоткеякоря идеализированного двигателя в виде:di яRC1  я i я  e  дв  U ,dtLяLяLяа уравнение моментов:dдв CMkCiя  вт дв  ш CdtJJJНа входе контролируем разность между углом поворотавходного и выходного вала, а также их скоростей:u1  k П ( В  c )  kТ (0  дв )Для входной цепи усилителя мощности запишем:u2  k1u1  kос RшiяВыходное напряжение усилителя мощности с учетом предыдущего:u ум  k ум k1u1  k ум kос Rш i яРаскрыв предыдущие выражения получим:u ум  k ум k1k П ( В  c )  kТ ( 0   дв )  k ум kос RшiяДалее начинаем преобразования:di я1RC {k ум k1 k П ( В   c )  kТ ( 0   дв )  k ум kос Rш i я }  я i я  е dt LяLяLяиk1k ум kТ Cеk1k ум k Пkk kkk kdi яRR ( я  kос k ум я )i я  ( )  c  1 ум Т  0  1 ум П  BdtLяLяLяLяLяLяLяСкорость вращения:ddtТеперь запишем эти уравнения в векторно-матричной форме: Rя kосkумRш Ce k1kумkТ  k1kумkП  ()LLLLLяяяя яiя  d  CMkВТ0dt   JJc 010k1kумkТ k1kумkП  i   LLяяя      000  В     00c  Введем обозначения i я  x1 ;   х2 ;  c  х3 - координаты векторасостояния следящей системы, а также обозначивk1k ум k ПLяCM a21J a13  b12Rя  kос k ум RшLяk ВТ a22Jя a11k1k ум kТLяCe  k1k ум kТ b11Lя a12 0  u1  B  u2получим уравнение состояния в стандартной векторно-матричнойформе:x  Ax  Bu ,где x - вектор состояния системы, u - входной вектор. x1 u1 x   x2 , u   u2  x3 Параметрическая матрица системы А и входная матрица В имеютвид:Соответствующая структурная схема имеет вид:Она составлена по уравнениям данной системы:Дополним выходным уравнением:y  Cx .Поскольку в наших обозначениях выходные величины   x2 , c  x3 ,то в этом уравнении координатами выходного вектора системы y1 y   y2  y3 будутy1  0,y2  x2  ,y3  x3  c , а выходная матрицасистемы:0 0 0 C  0 1 0 0 0 1 Допустим, что нас не устраивают полученные характеристикиисходной системы, и мы приняли решение дополнить еекорректирующимифильтрами.Тогданеобходимо«расширение пространства состояний».