1626435102-9ccf6d0a03aed727d9bf8add4160ccd9 (Учебное пособие (Головин, Чесноков)), страница 8

. . , Xr }.Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ìàòðèöó M = ||ξαi (x)||, i = 1, . . . , n, α = 1, . . . , r èç êîîðäèíàò áàçèñíûõ îïåðàòîðîâ. Ðàíã ìàòðèöû M , âîîáùå ãîâîðÿ, çàâèñèò îò òî÷êè x.Îïðåäåëåíèå 22.Îáùèì ðàíãîì ìàòðèöû M (x) (îáîçíà÷àåòñÿ î.ð. M ) íàçûâàåòñÿ íàèáîëüøèé ðàíã ìàòðèöû Mïðè x ∈ R .nÎáîçíà÷èì r∗ = î.ð. M .Ãðóïïà Gr èìååò èíâàðèàíòû åñëè è òîëüêî åñëè r∗ < n. Ïðè âûïîëíåíèè ýòîãî óñëîâèÿ ñóùåñòâóþòt = n − r∗ ôóíêöèîíàëüíî íåçàâèñèìûõ èíâàðèàíòîâ I 1 (x), . . . , I t (x). Ëþáîé äðóãîé èíâàðèàíò F (x) âûðàæàåòñÿ÷åðåç íèõ â âèäå F (x) = Φ(I 1 , .

. . , I t ).Òåîðåìà 11.Íàáîð I = (I 1 (x), . . . , I t (x)) ôóíêöèîíàëüíî íåçàâèñèìûõ èíâàðèàíòîâ ãðóïïû Gr íàçûâàåòñÿáàçèñîì èíâàðèàíòîâ èëè óíèâåðñàëüíûì èíâàðèàíòîì.Îïðåäåëåíèå 23.Äëÿ îòûñêàíèÿ óíèâåðñàëüíîãî èíâàðèàíòà çàäàííîé ãðóïïû Gr íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü åå îáùèé ðàíã r∗ , îòáðîñèòüëèíåéíî ñâÿçàííûå îïåðàòîðû èç áàçèñà è âîñïîëüçîâàòüñÿ àëãîðèòìîì ïîñòðîåíèÿ èíâàðèàíòîâ ïîëíîé ñèñòåìûîïåðàòîðîâ.Ïðèìåð 20. Ïîñòðîèì áàçèñ èíâàðèàíòîâ ãðóïïû âðàùåíèé â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå SO(3) (ñì. ïðèìåð 17). Ëèíåéíî íå ñâÿçàííûìè îïåðàòîðàìè èç ïîðîæäàþùåé àëãåáðû ÿâëÿþòñÿ îïåðàòîðûX1 = z∂y − y∂z ,X2 = x∂z − z∂x .47Îáùèé ðàíã ãðóïïû åñòü r∗ = 2. Çíà÷èò áàçèñ èíâàðèàíòîâ ñîñòîèò èç îäíîãî èíâàðèàíòà.

Äëÿ ïðèâåäåíèÿ ñèñòåìûîïåðàòîðîâ ê ÿêîáèåâîé çàïèøåì îïåðàòîðû â âèäåX10 = ∂y −y∂z ,zX20 = ∂x −x∂z .zÈíâàðèàíòàìè îïåðàòîðà X10 ÿâëÿþòñÿ x, y 2 + z 2 . Îñóùåñòâëÿåì çàìåíó ïåðåìåííûõ, ¾âûïðÿìëÿþùóþ¿ îïåðàòîð X10 :y 1 = y,y 2 = x, íîâûõ ïåðåìåííûõY1 = ∂y1 ,y3 =py2 + z2.y2Y2 = ∂y2 − 3 ∂y3 .yÎïåðàòîð Y2 â ïðîñòðàíñòâå R2 (y 2 , y 3 ) èìååò åäèíñòâåííûé èíâàðèàíò (y 2 )2 + (y 3 )2 . Ïåðåïèñûâàÿ åãî â èñõîäíûõïåðåìåííûõ, ïîëó÷àåì èíâàðèàíò ãðóïïû SO(3):I = x2 + y 2 + z 2 .3.4Èíâàðèàíòíûå ìíîãîîáðàçèÿ. Èíäóöèðîâàííûå ãðóïïà è àëãåáðà ËèÌíîãîîáðàçèå M èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ãðóïïû Gr åñëè äëÿ ëþáîé òî÷êè x ∈ M è äëÿëþáîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ T ∈ Gr âûïîëíåíî T x ∈ M.Îïðåäåëåíèå 24.Ïóñòü ìíîãîîáðàçèå M ⊂ Rn ðåãóëÿðíî çàäàíî ñèñòåìîé óðàâíåíèéψ σ (x) = 0,σ = 1, .

. . , s; σ ∂ψ rank i = s.∂x M(3.8)Ìíîãîîáðàçèå M ðåãóëÿðíî çàäàííîå óðàâíåíèÿìè (1.6) èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ ãðóïïûGr ñ îïåðàòîðîì X , åñëè è òîëüêî åñëè âûïîëíåíîÒåîðåìà 12.Xα ψ σ |M = 0,σ = 1, . . . , s; α = 1, . . . , r.48(3.9)Îïðåäåëåíèå 25.Ìíîãîîáðàçèå M íàçûâàåòñÿ îñîáûì îòíîñèòåëüíî ãðóïïû Gr , ïîðîæäàåìîé îïåðàòîðàìè Xα =ξαi ∂xi , åñëèrank ξαi (x)|M < r∗ . ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìíîãîîáðàçèå íàçûâàåòñÿ íåîñîáûì. Íàïîìíèì, ÷òî r∗ íàèáîëüøèõ ðàíã ìàòðèöû ñ ýëåìåíòàìèξαi (x) ïðè x ∈ Rn .(î ïðåäñòàâëåíèè íåîñîáîãî èíâàðèàíòíîãî ìíîãîîáðàçèÿ).

Äëÿ òîãî, ÷òîáû ãðóïïà Gr èìåëà íåîñîáûåèíâàðèàíòíûå ìíîãîîáðàçèÿ íåîáõîäèìî r∗ < n. Åñëè ýòî òàê è I = (I 1 , . . . , I t ), t = n − r∗ óíèâåðñàëüíûéèíâàðèàíò ãðóïïû Gr , òî âñÿêîå íåîñîáîå èíâàðèàíòíîå îòíîñèòåëüíî ãðóïïû Gr ìíîãîîáðàçèå M ìîæíî çàäàòüóðàâíåíèÿìè âèäàΦσ (I 1 , ..., I t ) = 0, σ = 1, ..., s(3.10)Òåîðåìà 13ñ ïîäõîäÿùèìè ôóíêöèÿìè Φσ .Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 24 äëÿ ëþáîãî x ∈ M îïðåäåëåí åãî îáðàç ïîä äåéñòâèåì ïðåîáðàçîâàíèé ãðóïïû Gr è ýòîòîáðàç òàêæå ïðèíàäëåæèò M.

Òàêèì îáðàçîì, îïðåäåëåíî èíäóöèðîâàííîå äåéñòâèå ãðóïïû Gr íà ìíîãîîáðàçèè M.Îíî îáîçíà÷àåòñÿ Gr |M . Ïðåîáðàçîâàíèÿ Gr |M ñàìè îáðàçóþò ëîêàëüíóþ ãðóïïó Ëè.Ëîêàëüíàÿ ãðóïïà Ëè Gr |M íàçûâàåòñÿ èíäóöèðîâàííîé ãðóïïîé ìíîãîîáðàçèÿ M, ïîðîæäåííîéãðóïïîé Gr . Åå àëãåáðà Ëè îáîçíà÷àåòñÿ Lr |M .Îïðåäåëåíèå 26.Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðàíãîâûé ìèíîð â ìàòðèöå ||∂ψ σ /∂xi || íàõîäèòñÿ â ïåðâûõ s ñòîëáöàõ.Ñäåëàåì íåâûðîæäåííóþ çàìåíó ïåðåìåííûõ, ëîêàëüíî ¾âûïðÿìëÿþùóþ¿ ìíîãîîáðàçèå M:y σ = ψ σ (x),y τ = xτ ; σ = 1, .

. . , s, τ = s + 1, . . . , n.(3.11)Äëÿ òî÷åê M èìååì y σ = 0, σ = 1, . . . , s. Êîîðäèíàòû y s+1 , . . . , y n ìîæíî ïðèíÿòü çà êîîðäèíàòû òî÷êè íà ìíîãîîáðàçèèM:(0, . . . , 0, y s+1 , . . . , y n ) ∈ M. ñèëó êðèòåðèÿ èíâàðèàíòíîñòè (3.9) îïåðàòîðû Lr ïåðåñ÷èòûâàþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîìX̄α = Xα (y i )|M ∂yi = ξ τ (ȳ)∂yτ .49(3.12)Çäåñü ȳ = (y s+1 , .

. . , y n ), èíäåêñ τ ïðîáåãàåò çíà÷åíèÿ τ = s + 1, . . . , n. Îïåðàòîðû X̄α ïîðîæäàþò èíäóöèðîâàííóþàëãåáðó Ëè Lr |M .Ïðèìåð 21. Ïîêàçàòü, ÷òî ýëëèïòè÷åñêèé ïàðàáîëîèä M : z = x2 + y 2 ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíûì ìíîãîîáðàçèåìïðåîáðàçîâàíèÿ ðàñòÿæåíèÿ X = x∂x + y∂y + 2z∂z . Çàïèñàòü åãî â òåðìèíàõ èíâàðèàíòîâ îïåðàòîðà X . Îïèñàòüèíäóöèðîâàííûå ãðóïïó è àëãåáðó Ëè.Çäåñü ψ = z − x2 − y 2 . Ïðîâåðÿåì êðèòåðèé èíâàðèàíòíîñòè (3.9).Xψ|M = 2(z − x2 − y 2 )|M = 0.Èíâàðèàíòû îïåðàòîðà X : I 1 = z/x2 , I 2 = y/x.

Ïðè ñóæåíèè èíâàðèàíòîâ íà ìíîãîîáðàçèå M ïîëó÷àåì:I 1 |M =x2 + y 2,x2I 2 |M =y.x2Ìåæäó íèìè èìååòñÿ ôóíêöèîíàëüíàÿ ñâÿçü I 1 |M = 1 + I 2 |M . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ìíîãîîáðàçèå M â òåðìèíàõ2èíâàðèàíòîâ îïåðàòîðà X çàïèñûâàåòñÿ â âèäå I 1 = 1 + I 2 .Äëÿ âû÷èñëåíèÿ îïåðàòîðîâ èíäóöèðîâàííîé àëãåáðû Ëè ñäåëàåì çàìåíó (3.11):y 1 = z − x2 − y 2 ,y 2 = x,y 3 = y.Òîãäà X̄ = X|M = y 2 ∂y2 + y 3 ∂y3 .

Òàêèì îáðàçîì, èíäóöèðîâàííàÿ àëãåáðà Ëè ïîðîæäàåòñÿ îïåðàòîðîì X̄ ; èíäóöèðîâàííàÿ ãðóïïà ÿâëÿåòñÿ ãðóïïîé ðàñòÿæåíèé.3.5×àñòè÷íî èíâàðèàíòíûå ìíîãîîáðàçèÿÏóñòü Gr = {Ta : x̄ = f (x, a)}, a ∈ ∆ ⊂ Rr ëîêàëüíàÿ ãðóïïà Ëè ïðåîáðàçîâàíèé, äåéñòâóþùàÿ â ïðîñòðàíñòâåRn . Ñîîòâåòñòâóþùàÿ åé àëãåáðà Ëè Lr çàäàåòñÿ îïåðàòîðàìè Xα = ξαi ∂xi , (i = 1, ..., n; α = 1, ..., r). Ìíîãîîáðàçèå Mðåãóëÿðíî çàäàíî óðàâíåíèÿìèM : ψ σ (x) = 0,σ = 1, . .

. , s;50î.ð. ∂ψ σ /∂xk = s.(3.13)Îðáèòîé òî÷êè x ïîä äåéñòâèåì ïðåîáðàçîâàíèé ãðóïïû Gr íàçûâàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü òî÷åê f (x, a),êîãäà a ïðîáåãàåò âñå âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ èç ∆ ⊂ Rr . Îðáèòîé f (M, a) ìíîãîîáðàçèÿ M íàçûâàåòñÿ ñîâîêóïíîñòüîðáèò âñåõ åãî òî÷åê x ∈ M.Îïðåäåëåíèå 27.Ââåäåì ñëåäóþùóþ ÷èñëîâóþ õàðàêòåðèñòèêó.Äåôåêòîì δ(M, Gr ) ìíîãîîáðàçèÿ M îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ ãðóïïû Gr íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòüìåæäó ðàçìåðíîñòüþ îðáèòû f (M, a) è ðàçìåðíîñòüþ ñàìîãî ìíîãîîáðàçèÿ M:Îïðåäåëåíèå 28.δ(M, Gr ) = dim f (M, a) − dim M.(3.14)Äåôåêò ìíîãîîáðàçèÿ ÿâëÿåòñÿ âàæíîé õàðàêòåðèñòèêîé, ïîêàçûâàþùåé ñòåïåíü íåèíâàðèàíòíîñòè ìíîãîîáðàçèÿM îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ Gr .

Äëÿ èíâàðèàíòíûõ ìíîãîîáðàçèé äåôåêò ðàâåí íóëþ òàê êàê îðáèòà êàæäîé òî÷êèìíîãîîáðàçèÿ ïðèíàäëåæèò ñàìîìó ìíîãîîáðàçèþ.Îðáèòà ïðîèçâîëüíîãî ìíîãîîáðàçèÿ ïîä äåéñòâèåì ãðóïïû ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðîñòðàíñòâà ñàìà ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíûì ìíîãîîáðàçèåì ãðóïïû, òàê êàê ïî îïðåäåëåíèþ ñîäåðæèò îðáèòû âñåõ ñâîèõ òî÷åê. Áîëåå òîãî, îðáèòàf (M, a) ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøèì èíâàðèàíòíûì ìíîãîîáðàçèåì ãðóïïû Gr , ñîäåðæàùèì M.

Òàêèì îáðàçîì, åå ìîæíî îïèñàòü â òåðìèíàõ ôóíêöèîíàëüíûõ ñîîòíîøåíèé ìåæäó èíâàðèàíòàìèãðóïïû. Ïóñòü Gr èìååò ïîëíûé íàáîðôóíêöèîíàëüíî íåçàâèñèìûõ èíâàðèàíòîâ I = I 1 (x), . . . , I t (x) , ãäå t = n − r∗ è r∗ = o.p.||ξαi ||. Òîãäà â ñèëó òåîðåìûî ïðåäñòàâëåíèè íåîñîáîãî èíâàðèàíòíîãî ìíîãîîáðàçèÿ îðáèòó ìíîãîîáðàçèÿ M ìîæíî çàäàòü óðàâíåíèÿìèΦτ I 1 (x), . . . , I t (x) = 0,Îïðåäåëåíèå 29.τ = 1, . . .

, l.(3.15)Ïðè óñëîâèè ðåãóëÿðíîñòè çàäàíèÿ (3.15) (ýòî îçíà÷àåò, ÷òî î.ð. ||∂Φτ /∂I k || = l) ÷èñëîρ(M, Gr ) = t − l(3.16)íàçûâàåòñÿ ðàíãîì ÷àñòè÷íî èíâàðèàíòíîãî ìíîãîîáðàçèÿ M îòíîñèòåëüíî ãðóïïû Gr . Ïàðà ÷èñåë (ρ, δ) îïðåäåëÿþòòèï ÷àñòè÷íî èíâàðèàíòíîãî ìíîãîîáðàçèÿ M.Ðàíã ïîêàçûâàåò ðàçìåðíîñòü èíâàðèàíòíîãî ìíîãîîáðàçèÿ f (M, a) â ïðîñòðàíñòâå èíâàðèàíòîâ ãðóïïû Gr .

Íàïðàêòèêå íå î÷åíü óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé (3.16), òàê êàê äëÿ âû÷èñëåíèÿ ðàíãà ñ åå ïîìîùüþ íóæíî èìåòü51èíâàðèàíòíîå ïðåäñòàâëåíèå (3.15) îðáèòû ìíîãîîáðàçèÿ M. Îäíàêî, ñ èñïîëüçîâàíèåì ôîðìóëû (3.14), ðàíã ìîæíîîïðåäåëèòü â òåðìèíàõ êîðàçìåðíîñòè s èñõîäíîãî ìíîãîîáðàçèÿ M è åãî äåôåêòà:ρ(M, Gr ) = δ(M, Gr ) + t − s.(3.17)Çàäàííûé òåîðåìîé 12 êðèòåðèé èíâàðèàíòíîñòè ìíîãîîáðàçèÿ îáîáùàåòñÿ íà ñëó÷àé ÷àñòè÷íî èíâàðèàíòíûõìíîãîîáðàçèé ñëåäóþùèì îáðàçîì.Ïóñòü ÷àñòè÷íî èíâàðèàíòíîå ìíîãîîáðàçèå M ãðóïïû Gr ðåãóëÿðíî çàäàíî ñîîòíîøåíèÿìè (3.13).Ïóñòü {X1 , . .

. , Xr } áàçèñ èíôèíèòåçèìàëüíûõ îïåðàòîðîâ ãðóïïû Gr . Òîãäà äëÿ äåôåêòà ÷àñòè÷íî èíâàðèàíòíîãî ìíîãîîáðàçèÿ M ñïðàâåäëèâà ôîðìóëàÒåîðåìà 14.δ(M, Gr ) = î.ð. ||Xα ψ σ (x)|M ||(3.18) ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (3.18) ñòîèò îáùèé ðàíã ìàòðèöû ñ ýëåìåíòàìè Xα ψ σ (x), âû÷èñëåííîé â òî÷êàõ ìíîãîîáðàçèÿ M.  ñëó÷àå èíâàðèàíòíîãî ìíîãîîáðàçèÿ â ñèëó òåîðåìû 12 ýòà ìàòðèöà ñîñòîèò èç îäíèõ íóëåé, ÷òîñîãëàñóåòñÿ ñ íóëåâûì äåôåêòîì èíâàðèàíòíîãî ìíîãîîáðàçèÿ.Âûáåðåì ïîäãðóïïó H ⊂ Gr .

×àñòè÷íî èíâàðèàíòíîå ìíîãîîáðàçèå M òèïà (ρ, δ) òàêæå ìîæåò áûòü ðàññìîòðåíî,êàê ÷àñòè÷íî èíâàðèàíòíîå ìíîãîîáðàçèå ïîäãðóïïû H . Ïðè ýòîì ÷èñëà ρ è δ , âîîáùå ãîâîðÿ, èçìåíÿòñÿ è ñòàíóò(ρ0 , δ 0 ).Ïðè ïåðåõîäå ê ïîäãðóïïå ðàíã ÷àñòè÷íî èíâàðèàíòíîãî ìíîãîîáðàçèÿ íå óáûâàåò, à äåôåêò íå óâåëè÷èâàåòñÿ, ò.å.ρ0 ≥ ρ, δ 0 ≤ δ.(3.19)Òåîðåìà 15.Îñîáî âûäåëÿåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà ïðè ïåðåõîäå ê ïîäãðóïïå ðàíã ÷àñòè÷íî èíâàðèàíòíîãî ìíîãîîáðàçèÿ îñòàåòñÿïðåæíèì, à äåôåêò óìåíüøàåòñÿ.Ãîâîðÿò, ÷òî ÷àñòè÷íî èíâàðèàíòíîå ìíîãîîáðàçèå M ãðóïïû G òèïà (ρ, δ) ðåäóöèðóåòñÿ ê ÷àñòè÷íî èíâàðèàíòíîìó ìíîãîîáðàçèþ ãðóïïû H ⊂ G òèïà (ρ0 , δ 0 ) åñëèÎïðåäåëåíèå 30.ρ0 = ρ,δ 0 < δ. ñëó÷àå δ 0 = 0 ãîâîðÿò î ðåäóêöèè ÷àñòè÷íî èíâàðèàíòíîãî ìíîãîîáðàçèÿ ê èíâàðèàíòíîìó.52Ïðèìåð 22.

 ïðîñòðàíñòâå R4 (x, y, u, v) äåéñòâóåò ãðóïïà G2 , çàäàííàÿ ñâîèìè èíôèíèòåçèìàëüíûìè îáðàçóþùèìèX1 = y∂x − x∂y ,X2 = v∂u − u∂v . êà÷åñòâå M âûáåðåì ìíîãîîáðàçèå, çàäàííîå óðàâíåíèÿìèM:ψ 1 = xu + yv − x2 − y 2 = 0,ψ 2 = (xu + yv)2 − u2 − v 2 = 0.(3.20)Êîðàçìåðíîñòü ìíîãîîáðàçèÿ M ñîâïàäàåò ñ ðàçìåðíîñòüþ è ðàâíà n − s = 2. Âû÷èñëåíèå äåôåêòà ìíîãîîáðàçèÿ ïîôîðìóëå (3.18) äàåòδ = î.ð.yu − xv 2(xu + yv)(yu − xv)xv − yu 2(xu + yv)(xv − yu)= 1.MÃðóïïà G2 èìååò t = 4 − 2 = 2 èíâàðèàíòà.