1626435102-9ccf6d0a03aed727d9bf8add4160ccd9 (Учебное пособие (Головин, Чесноков)), страница 12

Áàçîâûì ÿâëÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâî R3 (t, x, y) × R3 (u, v, h), ïîýòîìó n = m = 3. Ðàññìîòðèì ÷àñòè÷íî72èíâàðèàíòíîå ðåøåíèå, ïîðîæäàåìîå äîïóñêàåìîé óðàâíåíèÿìè (5.22) ãðóïïîé G3 ñ àëãåáðîé ËèL3 = {∂x , t∂x + ∂u , (t2 + 1)∂t + tx∂x + ty∂y + (x − tu)∂u + (y − tv)∂v − 2th∂h }.Èíâàðèàíòàìè ãðóïïû G3 ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå ôóíêöèèpyλ= √, V = v t2 + 1 − tλ,2t +1Ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå öåëî÷èñëåííûå õàðàêòåðèñòèêè ãðóïïû Hr∗ = 3,r∗ (ξ) = 2,t = 3,H = h(t2 + 1).σ = 1,µ = 2.Ïî ôîðìóëå (5.16) äëÿ ðàíãà ρ ðåøåíèÿ íàõîäèì ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâà1 ≤ ρ < 3.Âîçìîæíî ïîñòðîåíèå ðåãóëÿðíîãî ÷àñòè÷íî èíâàðèàíòíîãî ðåøåíèÿ òèïà (1, 1) è íåðåãóëÿðíîãî ðåøåíèÿ òèïà (2, 1).Äàëåå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïåðâûé âàðèàíò, ò.å. ðåøåíèå òèïà (1, 1). ñîîòâåòñòâèè ñ èçëîæåííûì àëãîðèòìîì ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèÿ çàïèñûâàåòñÿ â âèäå (5.18), (5.19)V = V (λ),H = H(λ),u = U (t, x, y).Èìååòñÿ äâå èíâàðèàíòíûå ôóíêöèè V è H , çàâèñÿùèå îò ρ = 1 íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé è δ = 1 ëèøíÿÿ ôóíêöèÿU , çàâèñÿùàÿ îò âñåõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ.

 ýòî ïðåäñòàâëåíèå ìû ïîäñòàâëÿåì âûðàæåíèÿ äëÿ èíâàðèàíòîâ Vè H è ðàçðåøàåì èõ îòíîñèòåëüíî èñõîäíûõ èñêîìûõ ôóíêöèé v è h. Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òîíå èíâàðèàíòíàÿ ôóíêöèÿ U çàâèñèò íå îò (t, x, y), à îò (t, x, λ). Äëÿ ðåøåíèÿ ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå ôîðìóëûu = U (t, x, λ),V (λ) + tλ,v= √t2 + 1h=H(λ).t2 + 1Ïîäñòàíîâêà â ñèñòåìó óðàâíåíèé (5.22) äàåòUt + U Ux + V (t2 + 1)−1 Uλ = 0,(5.23)V V 0 + H 0 = −λ,V H 0 + H V 0 + (t2 + 1)Ux − t = 0.73Íèæíèå èíäåêñû îáîçíà÷àþò ïðîèçâîäíûå ïî ñîîòâåòñòâóþùèì àðãóìåíòàì, øòðèõ ïðîèçâîäíàÿ ïî λ. Ïåðâîå èòðåòüå óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (5.23) ôîðìèðóþò ïåðåîïðåäåëåííóþ ñèñòåìó Π äëÿ íåèíâàðèàíòíîé ôóíêöèè U ; âòîðîåóðàâíåíèå (5.23) ñâÿçûâàåò òîëüêî èíâàðèàíòíûå ôóíêöèè, ïîýòîìó çàäàåò èíâàðèàíòíóþ ÷àñòü E/H .Âíà÷àëå çàéìåìñÿ èññëåäîâàíèåì ïîäñèñòåìû Π.

 òðåòüåì óðàâíåíèè (5.23) ìîæíî ïðîèçâåñòè ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ. Ââîäèòñÿ íîâàÿ èíâàðèàíòíàÿ ôóíêöèÿ k(λ) = (t2 + 1)Ux − t. Äëÿ íåèíâàðèàíòíîé ôóíêöèè U èìååìïîäñèñòåìó:Ut + U U x +VUλ = 0,t2 + 1(t2 + 1)Ux − t = k.(5.24)Èíòåãðèðóÿ âòîðîå óðàâíåíèå (5.24), íàõîäèìU =xk(λ) + t+ f (t, λ).t2 + 1Ïîäñòàâëÿÿ â ïåðâîå óðàâíåíèå (5.24) ïîëó÷àåì èíâàðèàíòíîå óðàâíåíèå íà ôóíêöèþ kV k0 + k2 + 1 = 0è óðàâíåíèå íà f (t, λ)(t2 + 1)ft + V fλ + (k + t)f = 0.(5.25)Òàêèì îáðàçîì, ôàêòîðñèñòåìà (5.23) ðàñïàäàåòñÿ íà èíâàðèàíòíóþ ïîäñèñòåìó V V 0 + H 0 = −λ,E/H :V k 0 + k 2 + 1 = 0,V H 0 + HV 0 = −kH.(5.26)è óðàâíåíèå äëÿ ëèøíåé ôóíêöèè (5.25). Ââîäèòñÿ íîâàÿ íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ µ:dλ= V (λ),dµZµ=dλ.V (λ)(5.27)Òîãäà èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ (5.26) ñ òî÷íîñòüþ äî íåñóùåñòâåííîé êîíñòàíòû ïîëó÷àåìk = −tgµ.74(5.28)Èñïîëüçóÿ (5.28), ìîæíî ïðîèíòåãðèðîâàòü óðàâíåíèå (5.25):f (t, µ) =g(µ − arctg t)√,cos µ t2 + 1(5.29)(g ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ).

Êðîìå òîãî, ñèñòåìà (5.26) èìååò ïåðâûé èíòåãðàë, êîòîðûé ñëåäóåò èç òðåòüåãî óðàâíåíèÿHV cos µ = m.(5.30)Íàêîíåö, óðàâíåíèÿ èìåþò èíòåãðàë ÁåðíóëëèV 2 + λ2 + 2H = b20 .Îí äîëæåí ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê óðàâíåíèå äëÿ çàâèñèìîñòè λ(µ):λ02+ λ2 +2m= b20 .0λ cos µ(5.31)Òàêèì îáðàçîì, H -÷àñòè÷íî èíâàðèàíòíîå ðåøåíèå çàäàåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè (5.27)(5.30). Çàâèñèìîñòü λ(µ) íàõîäèòñÿèç ðåøåíèÿ îáûêíîâåííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (5.31). Çàìåòèì, ÷òî ðåøåíèå ñîäåðæèò ïðîèçâîëüíóþôóíêöèþ g â âûðàæåíèè (5.29).Ïðèìåð 30. Ðàññìàòðèâàåòñÿ óðàâíåíèå îêîëîçâóêîâîãî äâèæåíèÿ ãàçà− ϕx ϕxx + ϕyy + ϕzz = 0.(5.32)Ïîñòðîèì ÷àñòè÷íî èíâàðèàíòíîå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî äîïóñêàåìîé ãðóïïû ïåðåíîñîâ ïî âñåìíåçàâèñèìûì ïåðåìåííûìH = {∂x , ∂y , ∂z }.Ãðóïïà H èìååò åäèíñòâåííûé èíâàðèàíò ôóíêöèþ ϕ.

Íåðàâåíñòâà (5.16) äàþò îãðàíè÷åíèÿ äëÿ ðàíãà ρ ðåøåíèÿâ âèäå 0 ≤ ρ < 1. Îòñþäà, åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèå ðàíãà 0, ò.å. ïîñòîÿííîå. Äëÿ ïðåîäîëåíèÿ ýòîãîîãðàíè÷åíèÿ ìû ðàññìîòðèì ïåðâîå ïðîäîëæåíèå áàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà.  óðàâíåíèè (5.32) ââåäåì îáîçíà÷åíèÿu = ϕx ,v = ϕy ,75w = ϕz ,(5.33)Äëÿ íîâûõ ôóíêöèé u = (u, v, w) âûïîëíÿåòñÿ óðàâíåíèårot u = 0.(5.34) òåðìèíàõ ôóíêöèé u óðàâíåíèå (5.32) èìååò ñëåäóþùèé âèä:− uux + vy + wz = 0.(5.35)Èíâàðèàíòàìè ãðóïïû H â ïðîñòðàíñòâå R3 (x, y, z) × R3 (u, v, w) ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèè u, v , w. Òàêèì îáðàçîì, çäåñün = m = 3, r∗ = r∗ (ξ) = 3, t = 3, σ = 0, µ = 3. Äëÿ ðàíãà ðåøåíèÿ ρ ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâà (5.16)0 ≤ ρ < 3.Ðåøåíèå ñ ρ = 0 ñîîòâåòñòâóåò ïîñòîÿííîìó ðåøåíèþ ϕ = const.

Íåðåãóëÿðíîå ÷àñòè÷íî èíâàðèàíòíîå ðåøåíèåóðàâíåíèÿ (5.32) èëè ñèñòåìû (5.35) òèïà (ρ, δ) = (1, 1) íàçûâàåòñÿ ïðîñòîé âîëíîé, òèïà (2, 2) äâîéíîé âîëíîé.Ïðîäåìîíñòðèðóåì ïîñòðîåíèå ïðîñòîé âîëíû.  êà÷åñòâå íåèíâàðèàíòíîé ôóíêöèè âûáåðåì ôóíêöèþ u. Èìååìïðåäñòàâëåíèå (5.6) â âèäåv = v(u), w = w(u).(5.36)Ïðè ýòîì, íåèíâàðèàíòíàÿ ôóíêöèÿ u ïðåäïîëàãàåòñÿ çàâèñÿùåé îò âñåõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ:u = u(x, y, z).Ïîäñòàíîâêà ïîëó÷åííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ðåøåíèÿ â óðàâíåíèÿ (5.34) äàåò ñëåäóþùåå. Èç óðàâíåíèé (5.34) vz − wy = 0,wx − uz = 0,uy − vx = 0.⇒ 00vu−wuy = 0,zw0 ux − uz = 0,uy − v 0 ux = 0.Çäåñü øòðèõ îáîçíà÷àåò ïðîèçâîäíóþ ïî u.

Îïðåäåëèòåëü ýòîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèè u ðàâåí íóëþ, ïîýòîìó ñðåäè íèõ òîëüêî äâà ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè. Âûáåðåì ñëåäóþùèåäâà óðàâíåíèÿuy = v 0 (u)ux , uz = w0 (u)ux .(5.37)76Ïîäñòàâèì ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèÿ â óðàâíåíèå (5.35)−uux + v 0 (u)uy + w0 (u)uz = 0.Ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâ (5.37) ýòî äàåò óðàâíåíèå äëÿ èíâàðèàíòíûõ ôóíêöèé v(u) è w(u) â âèäå− u + v 02 (u) + w02 (u) = 0.(5.38)Îñòàëîñü ïðîèíòåãðèðîâàòü óðàâíåíèÿ (5.37) è íàéòè âûðàæåíèå äëÿ ϕ. Äëÿ ðåøåíèÿ ïåðâîé çàäà÷è áóäåì ñ÷èòàòü,÷òî çàâèñèìîñòü u = u(x, y, z) îïðåäåëÿåòñÿ íåÿâíî óðàâíåíèåì F (x, y, z, u) = 0, Fu 6= 0.

Òîãäà óðàâíåíèÿ (5.37)ýêâèâàëåíòíû ðàâåíñòâó íóëþ äåéñòâèÿ ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ íà ôóíêöèþ FΩ1 F = 0, Ω2 F = 0,ãäå Ω1 = v 0 (u)∂x − ∂y ,Ω2 = w0 (u)∂x − ∂z .Êîììóòàòîð îïåðàòîðîâ Ω1 è Ω2 ðàâåí íóëþ, ïîýòîìó ýòà ñèñòåìà îïåðàòîðîâ ïîëíà. Èùåì åå èíâàðèàíòû ñòàíäàðòíûìñïîñîáîì.

Èíâàðèàíòàìè îïåðàòîðà Ω1 ÿâëÿþòñÿ u, z è j = x + v 0 (u)y . Â ïåðåìåííûõ j , z è u îïåðàòîð Ω2 èìååò âèäΩ̄2 = w0 (u)∂j − ∂z . Åãî èíâàðèàíòû åñòü u è j + w0 (u)z . Òàêèì îáðàçîì, îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû (5.37) èìååò âèäx + v 0 (u)y + w0 (u)z = f 0 (u)(5.39)ñ ïðîèçâîëüíîé ãëàäêîé ôóíêöèåé f . Ôóíêöèÿ ϕ íàõîäèòñÿ èíòåãðèðîâàíèåì â âèäåϕ = xu + yv(u) + zw(u) − f (u).(5.40)Ðåøåíèå îïðåäåëåíî ñ ïðîèçâîëîì â äâå ôóíêöèè îäíîãî àðãóìåíòà. Íàïðèìåð, ìîæíî çàäàòü ïðîèçâîëüíî ôóíêöèèv(u) è f (u). Òîãäà ôóíêöèÿ w(u) íàõîäèòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ (5.38). Çàâèñèìîñòü u(x, y, z) îïðåäåëÿåòñÿ íåÿâíî óðàâíåíèåì (5.39).

Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå ôóíêöèè â (5.40), ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè ϕ(x, y, z). Ñâîéñòâà ïðîñòîéâîëíû îïèñàíû â [1].  ÷àñòíîñòè, åå ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ (ïîâåðõíîñòè, íà êîòîðûõ ôóíêöèÿ ϕ èìååò ïîñòîÿííûåçíà÷åíèÿ) ÿâëÿþòñÿ ïëîñêîñòÿìè è ñîâïàäàþò ñ õàðàêòåðèñòèêàìè óðàâíåíèÿ (5.32). Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïðîñòàÿâîëíà (5.38)(5.40) ñóùåñòâóåò ëèøü â îáëàñòè ãèïåðáîëè÷íîñòè óðàâíåíèÿ (5.32), îïðåäåëÿåìîé ñîîòíîøåíèåì ϕx > 0.775.4Çàäà÷è1. Ïîñòðîèòü è ïî âîçìîæíîñòè ïðîèíòåãðèðîâàòü èíâàðèàíòíóþ ïîäìîäåëü ñèñòåìû óðàâíåíèé E ïî äîïóñêàåìîéïîäàëãåáðå H(a) E : ut + uux + vuy = 0, vt + uvx + vvy = 0;H = {t∂x + ∂u , t∂y + ∂v }.(b) E : ut − u4 uxx = 0; H = {2t∂t + x∂x , 2x∂x + u∂u }.(c) E : ut = uzz − px , Tt = Tzz − uTx , pz = T ;i.

H = ∂x + β∂z ;ii. H = {∂t , x∂x + u∂u + 2p∂p + 2T ∂T }.(d) E : ut + uux + ghx = 0, ht + (uh)x = 0;i.ii.iii.iv.v.HHHHH= αt∂t + (α + 1)x∂x + u∂u + 2h∂h ;= ∂t + t∂x + ∂u ;= t∂t + (t + x)∂x + ∂u ;= {t∂t + x∂x , x∂x + u∂u + 2h∂h };= {∂t + t∂x + ∂u , t∂t + 2x∂x + u∂u + 2h∂h }.(e) E : ut + uux + vuy + ghx = f v,vt + uvx + vvy + ghy = −f u, ht + (uh)x + (vh)y = 0;i.ii.iii.iv.v.vi.H = {∂t , ∂y };H = {∂x , ∂y };H = {∂y , ∂t − f ∂x };H = {∂t , y∂x − x∂y + v∂u − u∂v };H = {y∂x − x∂y + v∂u − u∂v , x∂x + y∂y + u∂u + v∂v + 2h∂h };H = {∂t + α(y∂x − x∂y + v∂u − u∂v ), x∂x + y∂y + u∂u ++ v∂v + 2h∂h };78vii. Y = {∂y , (1 − cos(f t))∂x + sin(f t)∂y ++ f sin(f t)∂u + f cos(f t)∂v }.2. Ïîêàçàòü, ÷òî óðàâíåíèÿ äâóìåðíîãî äâèæåíèÿ ïîëèòðîïíîãî ãàçà ñ ïîêàçàòåëåì àäèàáàòû γ = 2ut + uux + vuy + 2ccx = 0,(5.41)vt + uvx + vvy + 2ccy = 0,ct + ucx + vcy + 2−1 c(ux + vy ) = 0èìååò èíâàðèàíòíîå îòíîñèòåëüíî ïîäàëãåáðû {X, Y, Z}X = ∂x + t∂y + ∂v , Y = ∂y − t∂x − ∂u ,Z = (t2 + 1)∂t + (tx + y)∂x + (ty − x)∂y − tc∂c ++(x − tu + v)∂u + (y − tv − u)∂vðåøåíèå íóëåâîãî ðàíãàu=tx − ayx + atyc0√,v=,c=t2 + 1a(t2 + 1)t2 + 1(a, c0 = const).3.

Ïîêàçàòü, ÷òî óðàâíåíèÿ ïîäìîäåëè, îïðåäåëÿþùåé ÷àñòè÷íî èíâàðèàíòíîå ðåøåíèå ñèñòåìû (5.41) ïî ïîäàëãåáðåH = {∂y , t∂y + ∂v }, èìåþò âèäut + uux + 2ccx = 0, ct + ucx + 2−1 c(ux + v1 ) = 0,v1t + uv1x + v12 = 0, v0t + uv0x + v0 v1 = 0,ãäå u = u(t, x), c = c(t, x), v = v1 (t, x)y + v0 (t, x). Óêàçàòü ðàíã è äåôåêò ýòîãî ðåøåíèÿ.4. Âûÿñíèòü, âîçìîæíî ëè ïîñòðîåíèå ÷àñòè÷íî èíâàðèàíòíûõ ðåøåíèé óðàâíåíèé (5.41) ïî ïîäàëãåáðàì(a) H = {∂t , −t∂t + u∂u + v∂v + c∂c };(b) H = {∂t , t2 ∂t + tx∂x + ty∂y − tc∂c + (x − tu)∂u + (y − tv)∂v ,2t∂t + x∂x + y∂y − c∂c − u∂u − v∂v }.796Îïòèìàëüíûå ñèñòåìû ïîäàëãåáð ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå ïîêàçàíî, ÷òî êàæäàÿ èç ïîäàëãåáð äîïóñêàåìîé àëãåáðû ïîðîæäàåò íåêîòîðîå èíâàðèàíòíîå èëè ÷àñòè÷íî èíâàðèàíòíîå ðåøåíèå ðàññìàòðèâàåìîãî óðàâíåíèÿ.

Ðàçíûå ïîäàëãåáðû ìîãóò, âîîáùå ãîâîðÿ,ïîðîæäàòü îäíî è òî æå ðåøåíèå.  ñâÿçè ñ ýòèì âîçíèêàåò âîïðîñ î íàèáîëåå îïòèìàëüíîì èñïîëüçîâàíèè ñâîéñòâñèììåòðèé óðàâíåíèÿ äëÿ îïèñàíèÿ åãî òî÷íûõ ðåøåíèé. Äðóãèìè ñëîâàìè, òðåáóåòñÿ óêàçàòü ¾íàèìåíüøèé¿ íàáîðïîäàëãåáð, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ìîæíî ïîëó÷èòü âñå ñóùåñòâåííî ðàçëè÷íûå (íå ñâîäÿùèåñÿ îäíî ê äðóãîìó çàìåíîéïåðåìåííûõ) èíâàðèàíòíî-ãðóïïîâûå ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.

¾Óìåíüøåíèå¿ áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà Ω ïîäàëãåáð H ∈ Lr âîçìîæíî íà îñíîâå âàæíîãî ïîíÿòèÿ ïîäîáèÿ ïîäàëãåáð, êîòîðîåîáúÿñíÿåòñÿ íèæå.6.1Àâòîìîðôèçìû è äèôôåðåíöèðîâàíèÿ àëãåáð ËèÀâòîìîðôèçìîì àëãåáðû Ëè L íàçûâàåòñÿ íåâûðîæäåííîå ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå A : L → L, ñîõðàíÿþùåå êîììóòàòîð, ò.å. äëÿ ëþáûõ X, Y ∈ LA[X, Y ] = [AX, AY ].(6.1)Ïðåäïîëîæèì, ÷òî àâòîìîðôèçìû íåïðåðûâíûì îáðàçîì çàâèñÿò îò ïàðàìåòðà è îáðàçóþò ëîêàëüíóþ ãðóïïó Ëè. Ñêàíîíè÷åñêèì ïàðàìåòðîì ïîëó÷èìA(t + s) = A(t)A(s), A(0) = I.(6.2)Ãðóïïà ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ñâîéñòâàì (6.1), (6.2) íàçûâàåòñÿ ãðóïïîéàâòîìîðôèçìîâ àëãåáðû Ëè L è îáîçíà÷àåòñÿ Aut L.Îïðåäåëåíèå 48.Äèôôåðåíöèðîâàíèå ðàâåíñòâà (6.1) ïî ïàðàìåòðó t ïðè t = 0 äàåò ñîîòíîøåíèå, ìîòèâèðóþùåå ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå.Äèôôåðåíöèðîâàíèåì àëãåáðû Ëè L íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå d : L → L, óäîâëåòâîðÿþùåå äëÿ ëþáûõ X, Y ∈ L ðàâåíñòâód[X, Y ] = [dX, Y ] + [X, dY ].(6.3)Îïðåäåëåíèå 49.80Ìíîæåñòâî âñåõ äèôôåðåíöèðîâàíèé äàííîé àëãåáðû Ëè L ñàìî îáðàçóåò àëãåáðó Ëè ñ êîììóòàòîðîì [d1 , d2 ] =d1 d2 − d2 d1 , êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ àëãåáðîé äèôôåðåíöèðîâàíèé àëãåáðû Ëè L è îáîçíà÷àåòñÿ DL .Àëãåáðà äèôôåðåíöèðîâàíèé DL èãðàåò ðîëü àëãåáðû Ëè äëÿ ãðóïïû àâòîìîðôèçìîâ Aut L.Äëÿ ëþáîé îäíîïàðàìåòðè÷åñêîé ïîäãðóïïû ãðóïïû àâòîìîðôèçìîâ A(t) ⊂ Aut L îòîáðàæåíèå a =ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèðîâàíèåì a ∈ DL .