1626435102-9ccf6d0a03aed727d9bf8add4160ccd9 (Учебное пособие (Головин, Чесноков)), страница 13

Îáðàòíî, ëþáîå äèôôåðåíöèðîâàíèå a ∈ DL ïîçâîëÿåò âîññòàíîâèòüîäíîïàðàìåòðè÷åñêóþ ãðóïïó àâòîìîðôèçìîâ A(t) ⊂ Aut L èç ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ËèdA= aA, A(0) = I.(6.4)dtÐåøåíèåì óðàâíåíèé (6.4) ÿâëÿåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå A = exp(ta). Óäîáíî òàêæå çàïèñàòü óðàâíåíèÿ (6.4) â òåðìèíàõ êîíå÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé ýëåìåíòîâ àëãåáðû Ëè L. À èìåííî, ïóñòü X = AX , X ∈ L, A ∈ Aut L.Òîãäà óðàâíåíèÿ (6.4) ïðèíèìàþò âèädX= aX, X|t=0 = X.(6.5)dt àëãåáðå äèôôåðåíöèðîâàíèé DL áîëüøóþ ðîëü èãðàåò èäåàë, îáðàçîâàííûé òàê íàçûâàåìûìè âíóòðåííèìè äèôôåðåíöèðîâàíèÿìè àëãåáðû L.Òåîðåìà 23.dAdt |t=0Îïðåäåëåíèå 50.Äëÿ êàæäîãî X ∈ L äèôôåðåíöèðîâàíèå ad X ∈ DL , äåéñòâóþùåå ïî ïðàâèëó(ad X)Y = [X, Y ],Y ∈L(6.6)íàçûâàåòñÿ âíóòðåííèì äèôôåðåíöèðîâàíèåì àëãåáðû L. Ìíîæåñòâî âñåõ âíóòðåííèõ äèôôåðåíöèðîâàíèé ad L ={ad X|X ∈ L} ÿâëÿåòñÿ èäåàëîì â DL è íàçûâàåòñÿ àëãåáðîé âíóòðåííèõ äèôôåðåíöèðîâàíèé L èëè ïðèñîåäèíåííîé àëãåáðîé. Àâòîìîðôèçìû, ïîðîæäàåìûå âíóòðåííèìè äèôôåðåíöèðîâàíèÿìè ad L ïî ôîðìóëå (6.4), íàçûâàþòñÿ âíóòðåííèìè àâòîìîðôèçìàìè àëãåáðû Ëè L.

Ãðóïïà âíóòðåííèõ àâòîìîðôèçìîâ îáîçíà÷àåòñÿ Int L ={exp(tad X) | X ∈ L}.Äëÿ îïðåäåëåíèÿ äåéñòâèÿ ãðóïïû âíóòðåííèõ àâòîìîðôèçìîâ Int L íà ýëåìåíòû àëãåáðû X ∈ L óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ óðàâíåíèÿìè (6.5), êîòîðûå â äàííîì ñëó÷àå èìåþò âèädX= [Y, X], X|t=0 = X,dt81Y ∈ L.(6.7)Ïðèìåð 31.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì àëãåáðó Ëè, äîïóñêàåìóþ óðàâíåíèÿìè îêîëîçâóêîâîãî äâèæåíèÿ ãàçàuy = vx ,vy = −uux .Áàçèñ äîïóñêàåìîé àëãåáðû L4 îáðàçóþò ñëåäóþùèå îïåðàòîðûX1 = (−xv + yu2 )∂x − (xu + 2yv)∂y + 2uv∂u + (− 32 u2 + 32 v 2 )∂v ,X2 = x∂x + 2y∂y − 2u∂u − 3v∂v ,X3 = ∂v ,X4 = x∂x + y∂y .Òàáëèöà êîììóòàòîðîâ àëãåáðû L4 èìååò âèäX1X2X3X4X1X2X3 X 403X1 X2 0−3X103X3 0−X2 −3X3 000000Àâòîìîðôèçìîì àëãåáðû L4 ÿâëÿåòñÿ, íàïðèìåð, ïðåîáðàçîâàíèåX1 = X1 + t1 X4 , X2 = X2 + t2 X4 , X3 = X3 + t3 X4 , X4 = X4ñ ïðîèçâîëüíûìè ïàðàìåòðàìè ti .

Îäíîïàðàìåòðè÷åñêîé ïîäãðóïïå ýòîé ãðóïïû àâòîìîðôèçìîâ, îòâå÷àþùåé èçìåíåíèþ ïàðàìåòðà t1 ñîîòâåòñòâóåò äèôôåðåíöèðîâàíèå àëãåáðû L4 , äåéñòâóþùåå ïî ïðàâèëód : X1 = X4 , X2 = 0, X3 = 0, X4 = 0.(6.8)Àíàëîãè÷íî âûãëÿäÿò äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, îòâå÷àþùèå îäíîïàðàìåòðè÷åñêèì ïîäãðóïïàì, ïîðîæäåííûì ïàðàìåòðàìè t2 è t3 . Ïîñòðîèì âíóòðåííèå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, îòâå÷àþùèå áàçèñíûì îïåðàòîðàì Xi .

Èõ äåéñòâèå íà ïðî-82èçâîëüíûé ýëåìåíò àëãåáðû X = xi Xi ∈ L4 çàäàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì(ad X1 )X = [X1 , X] = 3x2 X1 + x3 X2 ,(ad X2 )X = [X2 , X] = −3x1 X1 + 3x3 X3 ,(6.9)(ad X3 )X = [X3 , X] = −x1 X2 − 3x2 X3 ,(ad X4 )X = [X4 , X] = 0.Âèäíî, ÷òî äèôôåðåíöèðîâàíèå (6.8) íå ÿâëÿåòñÿ âíóòðåííèì, òàê êàê íå ñîâïàäàåò íè ñ êàêèì èç îòîáðàæåíèé (6.9).Âíóòðåííèå àâòîìîðôèçìû, ïîðîæäàåìûå âíóòðåííèìè äèôôåðåíöèðîâàíèÿìè (6.9), âû÷èñëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Äîñòàòî÷íî âû÷èñëèòü âíóòðåííèå àâòîìîðôèçìû, ïîðîæäàåìûå áàçèñíûìè ýëåìåíòàìè àëãåáðû L4 .

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîä äåéñòâèåì âíóòðåííåãî àâòîìîðôèçìà îïåðàòîð X = xi Xi ïåðåõîäèò â X = xi Xi . Äëÿ àâòîìîðôèçìà,ïîðîæäàåìîãî X1 â ñèëó (6.9) èç (6.7) èìååìdX= [X1 , X] = 3 x2 X1 + x3 X2 , xi |t1 =0 = xi ,dt1i = 1, . . . , 4.(6.10)Ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ áàçèñíûõ ýëåìåíòàõ Xi â îáåèõ ÷àñòÿõ ðàâåíñòâà (6.10), ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé íà êîîðäèíàòû ïðåîáðàçîâàííîãî îïåðàòîðà X :dx1= 3x1 ,dt1dx2= x3 ,dt1dx3= 0,dt1dx4= 0, xi |t=0 = xi ,dt1i = 1, . . . , 4.Îòñþäà, ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò îïåðàòîðà X ïîä äåéñòâèåì âíóòðåííåãî àâòîìîðôèçìà, ñîîòâåòñòâóþùåãî ýëåìåíòó X1 èìååò âèäA1 (t1 ) :x1 = x1 + 3t1 x2 +3t21 3x , x2 = x2 + t1 x3 , x3 = x3 , x4 = x4 .2(6.11)Ê ïðèìåðó, îïåðàòîð X2 ïîä äåéñòâèåì àâòîìîðôèçìà exp(tad X1 ) ïåðåõîäèò â −3tX1 + X2 .

Àíàëîãè÷íûì îáðàçîìâû÷èñëÿþòñÿ âíóòðåííèå àâòîìîðôèçìû, ïîðîæäàåìûå îñòàëüíûìè áàçèñíûìè ýëåìåíòàìè L4 . Ðåçóëüòàò âû÷èñëåíèé83òàêîâA2 (t2 ) :A3 (t3 ) :A4 (t4 ) :x1 = e−3t2 x1 , x2 = x2 , x3 = e3t2 x3 , x4 = x4 ,3t23 1112123x = x , x = −t3 x + x , x =x − 3t3 x2 + x3 , x4 = x4 ,2xi = xi , i = 1, . . . , 4.(6.12)Îòìåòèì, ÷òî îïåðàòîð X4 ïîðîæäàåò öåíòð â àëãåáðå L4 . Èç ôîðìóë (6.12) âèäíî, ÷òî ýëåìåíòû èç öåíòðà àëãåáðû Ëèïîðîæäàþò òîëüêî òðèâèàëüíûé âíóòðåííèé àâòîìîðôèçì. Ïðîèçâîëüíûé àâòîìîðôèçì ãðóïïû Int L4 ïîëó÷àåòñÿ ââèäå êîìïîçèöèè â ïðîèçâîëüíîì ïîðÿäêå áàçèñíûõ àâòîìîðôèçìîâ (6.11)(6.12).Ïðèìåð 32.

×àñòî îêàçûâàåòñÿ, ÷òî äîïóñêàåìàÿ äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè ãðóïïà áåñêîíå÷íîìåðíà. Ýòîîçíà÷àåò, ÷òî ãðóïïîâûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñîäåðæàò íå òîëüêî ãðóïïîâûå ïàðàìåòðû êîíñòàíòû, íî òàêæå è ïðîèçâîëüíûå ôóíêöèè. Íàïðèìåð, óðàâíåíèÿ Ýéëåðà èëè Íàâüå-Ñòîêñà äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè äîïóñêàþòïðåîáðàçîâàíèå ïåðåõîäà â ñèñòåìó êîîðäèíàò, äâèæóùóþñÿ ïðÿìîëèíåéíî ñ ïðîèçâîëüíûì óñêîðåíèåì (îáîáùåííîåïðåîáðàçîâàíèå Ãàëèëåÿ). Âîçíèêàþùèå ïðè ýòîì ñèëû èíåðöèè êîìïåíñèðóþòñÿ çà ñ÷åò ìîäèôèêàöèè äàâëåíèÿ.Äîïóñêàåìàÿ ãðóïïà ñîäåðæèò ÷åòûðå ïðîèçâîëüíûå ôóíêöèè âðåìåíè (îáîáùåííûå ãàëèëååâû ïåðåíîñû âäîëü ïðîñòðàíñòâåííûõ îñåé è äîáàâëåíèå ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè âðåìåíè ê äàâëåíèþ).Àíàëîãè÷íî áåñêîíå÷íîìåðíûì ãðóïïàì, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü áåñêîíå÷íîìåðíûå àëãåáðû Ëè îïåðàòîðîâ.  íèõêîîðäèíàòû îïåðàòîðîâ çàâèñÿò îò ïðîèçâîëüíûõ ôóíêöèé íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ. Ïðè ýòîì, êîíå÷íî æå, äàííûåáåñêîíå÷íîìåðíûå âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà äîëæíû áûòü çàìêíóòû îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè êîììóòèðîâàíèÿ.˙ L∞ , ïîðîæäàåìóþ îïåðàòîðàìèÄëÿ ïðèìåðà ðàññìîòðèì áåñêîíå÷íîìåðíóþ àëãåáðó Ëè L = L2 ⊕X1 = ∂t ,X2 = t∂t − w∂w − 2p∂p ,hϕi1 = ϕ(t)∂z + ϕ̇(t)∂w − z ϕ̈(t)∂p , hψi2 = ψ(t)∂p .Îïåðàòîðû àëãåáðû ñîäåðæàò äâå ïðîèçâîëüíûå ãëàäêèå ôóíêöèè ϕ(t) è ψ(t).

Êîììóòàòîðû â àëãåáðå Ëè L âû÷èñ-84ëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:X1X10X2X1hϕ2 i1hϕ̇2 i1hψ2 i2hψ̇2 i2X2−X10htϕ̇2 i1htψ̇2 i2hϕ1 i1 −hϕ̇1 i1 −htϕ̇1 i1 hϕ2 ϕ̈1 − ϕ1 ϕ̈2 i20hψ1 i2 −hψ̇1 i2 −htψ̇1 i200Òî÷êà íàä ϕ èëè ψ îáîçíà÷àåò äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî t. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ãðóïïû âíóòðåííèõ àâòîìîðôèçìîâ àëãåáðûL âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëàìè (6.7). Çàïèøåì îïåðàòîð X ∈ L â âèäåX = x1 X1 + x2 X2 + hϕi1 + hψi2 .Ïðåîáðàçîâàííûå çíà÷åíèÿ êîîðäèíàò è ôóíêöèé áóäåì îáîçíà÷àòü òåìè æå áóêâàìè ñ âåðõíåé ÷åðòîé.

Ïîñòðîèìàâòîìîðôèçìû, ïîðîæäàåìûå áàçèñíûìè îïåðàòîðàìè àëãåáðû L. Äëÿ îïåðàòîðà X1 èìååìdX˙ ,= [X1 , X] = x2 X1 + hϕ̇i1 + hψi2dt1xi |t1 =0 = xi , i = 1, 2; ϕ|t1 =0 = ϕ(t), ψ|t1 =0 = ψ(t).(6.13)Ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè áàçèñíûõ îïåðàòîðàõ X1 è X2 , à òàêæå ôóíêöèè âðåìåíè â îïåðàòîðàõ h · i1 è h · i2â îáåèõ ÷àñòÿõ óðàâíåíèÿ (6.13), ïîëó÷èì äëÿ ïðåîáðàçîâàííûõ êîîðäèíàò x1 è x2 âûðàæåíèÿx1 = x1 + t1 x2 , x2 = x2 .(6.14)Äëÿ ôóíêöèé ϕ è φ èìååì çàäà÷è Êîøè äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ:∂ϕ∂ϕ=,∂t1∂t∂ψ∂ψ=, ϕ|t1 =0 = ϕ(t), ψ|t1 =0 = ψ(t)∂t1∂tÈç èõ ðåøåíèÿ ïîëó÷àåìϕ = ϕ(t + t1 ), ψ = ψ(t + t1 ).85(6.15)Àíàëîãè÷íî íàõîäèòñÿ àâòîìîðôèçì, ïîðîæäàåìûé îïåðàòîðîì X2 :x1 = e−t2 x1 , x2 = x2 , ϕ = ϕ(et2 t), ψ = ψ(et2 t).(6.16)Äàëåå, íàõîäèì àâòîìîðôèçì, ïîðîæäàåìûé îïåðàòîðîì hσi1 ñ íåêîòîðîé ôèêñèðîâàííîé ôóíêöèåé σ(t):dX= −x1 hσ̇i1 − x2 htσ̇i1 + hϕσ̈ − σ ϕ̈i2 ,dt3xi |t3 =0 = xi , i = 1, 2; ϕ|t3 =0 = ϕ(t), ψ|t3 =0 = ψ(t).Èìååì,x1 = x1 , x2 = x2 .(6.17)Äàëåå â ñèëó ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè îïåðàòîðîâ hϕi1 è hψi2 îò ôóíêöèé ϕ è ψ ïîëó÷àåìdϕ= −x1 σ̇ − x2 t σ̇,dt3dψ= ϕσ̈ − σ ϕ̈.dt3Èíòåãðèðîâàíèåì íàõîäèìϕ = ϕ − t3 (x1 + x2 t)σ̇,...ψ = ψ + t3 (σ̈ϕ − σ ϕ̈) − 12 t23 (x1 + tx2 ) σ̇σ̈ − σ σ + t23 x2 σσ̈. ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè ôóíêöèè σ ìîæíî ñäåëàòü ôîðìàëüíóþ çàìåíó t3 σ → σ äëÿ óïðîùåíèÿ ôîðìóë ïðåîáðàçîâàíèÿ ôóíêöèé ϕ è ψ :ϕ = ϕ − (x1 + x2 t)σ̇,...ψ = ψ + (σ̈ϕ − σ ϕ̈) − 21 (x1 + tx2 ) σ̇σ̈ − σ σ + x2 σσ̈.(6.18)Íàêîíåö, äëÿ àâòîìîðôèçìà, ïîðîæäàåìîãî îïåðàòîðîì hτ i2 ñ íåêîòîðîé ôèêñèðîâàííîé ôóíêöèåé τ ïîëó÷àåìdX= −x1 hτ̇ i2 − x2 htτ̇ i2 .dt486Îòñþäà äëÿ ïðåîáðàçîâàííûõ çíà÷åíèå êîîðäèíàò íàõîäèìx1 = x1 , x2 = x2 , ϕ = ϕ, ψ = ψ − (x1 + tx2 )τ̇ .(6.19)Äëÿ ïðîñòîòû êîìáèíàöèÿ t4 τ çàìåíåíà íà τ .

Îêîí÷àòåëüíî, òàáëèöà âíóòðåííèõ àâòîìîðôèçìîâ àëãåáðû L èìååòâèäA1 (t1 )A2 (t2 )A3 (σ(t))A4 (τ (t))Çäåñü Ψ = ψ + (σ̈ϕ − σ ϕ̈) − 21 (x1 + tx2 )x1x2ϕ(t)ψ(t)122x + t1 x xϕ(t + t1 )ψ(t + t1 )−t2 12t2e xxϕ(e t)ψ(et2 t)x1x2 ϕ − (x1 + x2 t)σ̇Ψ121xxϕ(t)ψ − (x + tx2 )τ̇...σ̇σ̈ − σ σ + x2 σσ̈ .Äëÿ êîíå÷íîìåðíûõ àëãåáð Lr òàêæå óäîáíî èñïîëüçîâàòü êîîðäèíàòíîå ïðåäñòàâëåíèå.

Âûáèðàåòñÿ ôèêñèðîâàííûé áàçèñLr = {X1 , . . . , Xr }.Êàæäîìó ýëåìåíòó àëãåáðû Ëè X = xi Xi ñîïîñòàâëÿåòñÿ âåêòîð-ñòîëáåö x = (x1 , . . . , xr )T èç åãî êîîðäèíàò. Íà r-êàõêîîðäèíàò àëãåáðà Ëè Lr åñòåñòâåííûì îáðàçîì ïîðîæäàåò ñòðóêòóðó àëãåáðû Ëè ñ êîììóòàòîðîì[x, y]k = Cijk xi y j .Çäåñü Cijk ñòðóêòóðíûé òåíçîð àëãåáðû Lr . Êàæäîìó ëèíåéíîìó îòîáðàæåíèþ A : L → L â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè ñîîòâåòñòâóåò äåéñòâèå íåêîòîðîé r × r ìàòðèöû ||aki || íà âåêòîð èç êîîðäèíàò:xk = xi aki ,aki = (AXi )k .Çäåñü âåðõíèé èíäåêñ åñòü íîìåð ñòðîêè, à íèæíèé íîìåð ñòîëáöà ìàòðèöû.  ÷àñòíîñòè, âíóòðåííèì äèôôåðåíöèðîâàíèÿì ad X àëãåáðû Ëè Lr ñîîòâåòñòâóåò ìàòðèöà(ad x)kj = Cijk xi .87(6.20)Áàçèñíûå àâòîìîðôèçìû ãðóïïû Int Lr ìîæíî ïîëó÷èòü ïóòåì âû÷èñëåíèÿ ìàòðè÷íûõ ýêñïîíåíò A(ti ) = exp(ti ad ei ),ãäå ei âåêòîð ñîñòîÿùèé èç íóëåé è åäèíèöû íà i-ì ìåñòå.

Òàêæå èõ ìîæíî íàéòè èç ðåøåíèÿ ñëåäóþùåé ñèñòåìûóðàâíåíèé ËèAj (tj ) :dxk= Cijk xi , xk |tj =0 = xk .dtj(6.21)Ïðîèçâîëüíûé âíóòðåííèé àâòîìîðôèçì èìååò âèä êîìïîçèöèè êîíå÷íîãî ÷èñëà áàçèñíûõ àâòîìîðôèçìîâ.Ïðèìåð 33. Ïîñòðîèì ìàòðèöó âíóòðåííåãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ad x äëÿ àëãåáðû Ëè L4 èç ïðèìåðà 31. Îñíîâíûìèíñòðóìåíòîì äëÿ ýòîãî ÿâëÿåòñÿ òàáëèöà êîììóòàòîðîâ àëãåáðû L4 .  ñîîòâåòñòâèè ñ íåé íåíóëåâûìè êîìïîíåíòàìè112233ñòðóêòóðíîãî òåíçîðà ÿâëÿþòñÿ C12= −C21= 3, C13= −C31= 1, C23= −C32= 3. Ìàòðèöà ad x äëÿ âåêòîðà14 Têîîðäèíàò x = (x , . .