1626435102-9ccf6d0a03aed727d9bf8add4160ccd9 (Учебное пособие (Головин, Чесноков)), страница 10

 ðàçðåøèìîñòè èäåàëà R ìû óæå óáåäèëèñü. Îñòàëîñü ïðîâåðèòü ïðîñòîòóïîäàëãåáðû N . Äåéñòâèòåëüíî, òàáëèöà êîììóòàòîðîâ ïîäàëãåáðû N èìååò âèäX2X3X5X2X3X502X2 X3−2X202X5−X3 −2X5 0Èç òàáëèöû êîììóòàòîðîâ ñëåäóåò, ÷òî àëãåáðà N íå ðàçðåøèìà.  òî æå âðåìÿ åå ðàçëîæåíèå Ëåâè èìååò âèä˙ N1 , ãäå ôàêòîð Ëåâè N1 èìååò ðàçìåðíîñòü 1, 2 èëè 3. Íî âñå îäíîìåðíûå è äâóìåðíûå àëãåáðû ËèN = R1 ⊕ðàçðåøèìû (ñì. óïð. 3). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ôàêòîð Ëåâè àëãåáðû N èìååò ðàçìåðíîñòü 3, à çíà÷èò ñîâïàäàåò ñ N .Òàêèì îáðàçîì, ïîäàëãåáðà N ïðîñòà, ÷òî è òðåáîâàëîñü.594.3Êîìïîçèöèîííûé ðÿä àëãåáðå Ëè L âûáåðåì ìàêñèìàëüíûé èäåàë M1 .

Çàòåì â M1 âûáåðåì åãî ìàêñèìàëüíûé èäåàë M2 è ò.ä. ÂîçíèêàåòðÿäL = M0 ⊇ M1 ⊇ M2 ⊇ . . . ⊃ Mk ⊇ {0}.(4.5)Îïðåäåëåíèå 41.Ðÿä (4.5), â êîòîðîì Ms+1 ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíûì èäåàëîì â Ms íàçûâàåòñÿ êîìïîçèöèîííûìðÿäîì àëãåáðû L.Åñëè èìååòñÿ êàêîé-íèáóäü ðÿäL = N0 ⊇ N1 ⊇ N2 ⊇ . . . ⊇ Nq ⊇ {0},ãäå Ns+1 èäåàë â Ns (íå îáÿçàòåëüíî ìàêñèìàëüíûé), òî åãî ìîæíî äîïîëíèòü äî êîìïîçèöèîííîãî ðÿäà, ¾âñòàâëÿÿ¿íåäîñòàþùèå ÷ëåíû ðÿäà.Òåîðåìà 18.îäíîìåðíû.Äëÿ ðàçðåøèìîé àëãåáðû Ëè L ñóùåñòâóåò êîìïîçèöèîííûé ðÿä, âñå ôàêòîðû êîòîðîãî Ms /Ms+1(Ñ.

Ëè). Äëÿ ðàçðåøèìîé àëãåáðû Ëè L íàä àëãåáðàè÷åñêè çàìêíóòûì ïîëåì (íàä ïîëåì C) ñóùåñòâóåòêîìïîçèöèîííûé ðÿä èäåàëîâL = M0 ⊇ M1 ⊇ M2 ⊇ . . . ⊇ Mk ⊇ {0},(4.6)Òåîðåìà 19â êîòîðîì dim Ms /Ms+1 = 1 è âñå Ms , s = 1, . . . , k ÿâëÿþòñÿ èäåàëàìè â L. Äëÿ ðàçðåøèìîé àëãåáðû Ëè íàä ïîëåìR â ðÿäå èäåàëîâ (4.6) dim Ms /Ms+1 = 1 èëè dim Ms /Ms+1 = 2.Ïðèìåð 25.

Êîìïîçèöèîííûé ðÿä èäåàëîâ àëãåáðû Ëè L6 èç ïðèìåðà 23 ñëåäóþùèéL6 ⊇ {X1 , X4 , X6 } ⊇ {0}.Îòìåòèì, ÷òî ðàññìàòðèâàåìàÿ àëãåáðà Ëè L6 íå ÿâëÿåòñÿ ðàçðåøèìîé è ïðåäûäóùàÿ òåîðåìà â äàííîì ñëó÷àå íåïðèìåíèìà (dim Ms /Ms+1 = 3).604.4Çàäà÷è1. Ïðîâåðèòü, ÷òî ìíîæåñòâî âåðõíåòðåóãîëüíûõ ìàòðèö ðàçìåðíîñòè n × n îáðàçóåò àëãåáðó Ëè ñ êîììóòàòîðîì[A, B] = AB − BA.2. Ïðîâåðèòü, ÷òî ìíîæåñòâî âåêòîðîâ a ∈ R3 îáðàçóåò àëãåáðó Ëè îòíîñèòåëüíî êîììóòàòîðà [a, b] = a × b.Ïîñòðîèòü òàáëèöó êîììóòàòîðîâ ýòîé àëãåáðû Ëè.

ßâëÿåòñÿ ëè îíà ïðîñòîé, ðàçðåøèìîé?3. Ïîêàçàòü, ÷òî ëèíåéíîé çàìåíîé áàçèñà êàæäàÿ äâóìåðíàÿ àëãåáðà Ëè ïðèâîäèòñÿ ê àëãåáðå Ëè ñî ñëåäóþùèìèêîììóòàöèîííûìè ñîîòíîøåíèÿìè ìåæäó áàçèñíûìè ýëåìåíòàìè X1 è X2 :• [X1 , X2 ] = 0 àáåëåâà,• [X1 , X2 ] = X1 íå àáåëåâà.4. Ïóñòü M , N èäåàëû â L.

Ïîêàçàòü, ÷òî M ∩ N èäåàë â L.5. Ïóñòü M , N èäåàëû â L. Ïîêàçàòü, ÷òî M + N = {X + Y |X ∈ M, Y ∈ N } òàêæå èäåàë â L.6. ßâëÿåòñÿ ëè òðåõìåðíàÿ àëãåáðà Ëè èç ïðèìåðà 16 ïðîñòîé, ðàçðåøèìîé?7. Ïîêàçàòü ïðîñòîòó àëãåáðû Ëè SO(3), ñîîòâåòñòâóþùåé ãðóïïå âðàùåíèé òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà èç ïðèìåðà17.8. Ìîæåò ëè àëãåáðà Ëè îäíîâðåìåííî áûòü ïðîñòîé è ðàçðåøèìîé?9. Äîêàçàòü, ÷òî ëþáàÿ ïîäàëãåáðà ðàçðåøèìîé àëãåáðû Ëè òàêæå ðàçðåøèìà.10.

Äîêàçàòü, ÷òî ëþáàÿ ðàçðåøèìàÿ àëãåáðà ñîäåðæèò íåòðèâèàëüíûé àáåëåâ èäåàë.11. Íàéòè ôàêòîðàëãåáðó àëãåáðû L6 èç ïðèìåðà 23 ïî òðåõìåðíîìó èäåàëó N = {X1 , X4 , X6 }.12. ßâëÿþòñÿ ëè ñëåäóþùèå àëãåáðû Ëè ðàçðåøèìûìè?(a) X1 = ∂t , X2 = ∂x , X3 = t∂x + ∂u , X4 = t∂t + x∂x , X5 = x∂x + u∂u + 2h∂h ;61(b) X1 = ∂t , X2 = ∂x , X3 = 2t∂t + x∂x , X4 = 4t∂t − u∂u , X5 = x2 ∂x + xu∂u ;(c) X1 = ∂x , Xy = ∂y , X3 = y∂x − x∂y + v∂u − u∂v , X4 = x∂x + y∂y + u∂u + v∂v ;(d) X1 = ∂t , X2 = ∂x , X3 = t∂x + ∂u , X4 = 2t∂t + x∂x − u∂u ,X5 = t2 ∂t + tx∂x + (x − tu)∂u .13.

ßâëÿþòñÿ ëè àëãåáðû Ëè L(X1 , X2 , X3 ) è L0 (Y1 , Y2 , Y3 ) èçîìîðôíûìè?X1 = ∂t , X2 = 2t∂t + x∂x + y∂y − u∂u − v∂vX3 = t2 ∂t + tx∂x + ty∂y + (x − tu)∂u + (y − tv)∂v ;Y1 = ∂t − f2 ∂θ , Y2 = cos(f t)∂t − f2 r sin(f t)∂r − f2 cos(f t)∂θ ++ f2 (U sin(f t) − f r cos(f t))∂U + f2 (V + f r) sin(f t)∂V ,Y3 = sin(f t)∂t + f2 r cos(f t)∂r − f2 sin(f t)∂θ −− f2 (U cos(f t) + f r sin(f t))∂U − f2 (V + f r) cos(f t)∂V .5Èíâàðèàíòíî-ãðóïïîâûå ðåøåíèÿÐàññìàòðèâàåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ëèáî ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âèäàE : F σ (x, u, u, . .

. , u) = 0,1kσ = 1, . . . , s.(5.1)Ñèñòåìà (5.1) äîïóñêàåò ãðóïïó Gr = {Ta }, Ta : Z × Rr → Z . ÏóñòüΦ : ui = ϕi (x),i = 1, . . . , m.åñòü ðåøåíèå óðàâíåíèé (5.1). Ãðóïïå Gr ñîîòâåòñòâóåò àëãåáðà Ëè Lr , ïîðîæäåííàÿ îïåðàòîðàìèLr = {Xα = ξαi (x, u)∂xi + ηαk (x, u)∂uk , α = 1, . . . , r}.62(5.2)Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ìàòðèöóξ11 (x, u) . . . ξ1n (x, u)...M (ξ) = ......,ξr1 (x, u) . . . ξrn (x, u)è ðàñøèðåííóþ ìàòðèöóξ11 (x, u) .

. . ξ1n (x, u) η11 (x, u) . . . η1m (x, u)...M (ξ, η) = ................ξr1 (x, u) . . . ξrn (x, u) ηr1 (x, u) . . . ηrm (x, u)Îáîçíà÷èìr∗ (ξ) = î.ð. M (ξ),r∗ = r∗ (ξ, η) = î.ð. M (ξ, η).(5.3)Óíèâåðñàëüíûé èíâàðèàíò ãðóïïû H ïðåäñòàâèì â âèäåI = (I 1 (x, u), . . . , I t (x, u)),5.1t = n + m − r∗ .Èíâàðèàíòíûå ðåøåíèÿÐåøåíèå Φ íàçûâàåòñÿ èíâàðèàíòíûì H -ðåøåíèåì óðàâíåíèé E , åñëè Φ ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíûììíîãîîáðàçèåì äëÿ ïîäãðóïïû H ⊂ Gr .Îïðåäåëåíèå 42.Ñëåäóþùèå äâà óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû.• Äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ íåîñîáîãî H -ðåøåíèÿ íåîáõîäèìî s ∂I î.ð. j = m.∂u(5.4)• Äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ íåîñîáîãî èíâàðèàíòíîãî H -ðåøåíèÿ íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå ðàâåíñòâàr∗ (ξ) = r∗ (ξ, η).63(5.5)Ðàâåíñòâî (5.5) ïðîùå äëÿ ïðîâåðêè, ïîñêîëüêó íå òðåáóåò âû÷èñëåíèÿ èíâàðèàíòîâ ãðóïïû H .Ïóñòü ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé E äîïóñêàåò ãðóïïó H , äëÿ êîòîðîé âûïîëíåíî îäíî èçóñëîâèé (5.4) èëè (5.5). Òîãäà ñóùåñòâóåò ôàêòîðñèñòåìà E/H , ñâÿçûâàþùàÿ òîëüêî èíâàðèàíòû I τ , τ = 1, .

. . , t,ôóíêöèè Φk (I), k = 1, . . . , m è ïðîèçâîäíûå ∂Φk /∂I τ . Ïðè ýòîì ñèñòåìà E/H îáëàäàåò ñâîéñòâàìè:Òåîðåìà 20.1. Äëÿ âñÿêîãî H èíâàðèàíòíîãî ðåøåíèÿ, çàïèñàííîãî â âèäåΦk (I) = 0, k = 1, . . . , m ôóíêöèè Φk óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå E/H .2. Êàæäîå ðåøåíèå ñèñòåìû E/H , äëÿ êîòîðîãî î.ð. ||∂Φk /∂I τ || = m äàåò èíâàðèàíòíîå H ðåøåíèå ñèñòåìûE , çàïèñàííîå â íåÿâíîé ôîðìå Φk (I(x, u)) = 0.Îïðåäåëåíèå 43.×èñëî ρ = n − r∗ íàçûâàåòñÿ ðàíãîì H èíâàðèàíòíîãî ðåøåíèÿ.Íà ïðàêòèêå èíâàðèàíòû ãðóïïû H óäîáíî ïðåäñòàâëÿòü â ðàçäåëåííîì âèäå:(I:I 1 (x, u), . .

. , I m (x, u),λ1 = I m+1 (x), . . . , λρ = I t (x).Òîãäà ïðåäñòàâëåíèå èíâàðèàíòíîãî ìíîãîîáðàçèÿ èìååò ñëåäóþùèé âèäI k (x, u) = U k (λ1 (x), . . . , λρ (x)),k = 1, . . . , m.(5.6) ñèëó óñëîâèé (5.4), (5.5) ðàâåíñòâà (5.6) ìîæíî ðàçðåøèòü îòíîñèòåëüíî âñåõ èñêîìûõ ôóíêöèé u1 , . . . , um .Ïîäñòàíîâêà ïîëó÷åííûõ ïðåäñòàâëåíèé â èñõîäíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé E ïîñëå ïðèâåäåíèÿ ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ èñîêðàùåíèÿ íåíóëåâûõ ìíîæèòåëåé ïðèâîäèò ê ôàêòîð-ñèñòåìå E/H , ñâÿçûâàþùåé òîëüêî èíâàðèàíòíûå ôóíêöèè U kè èíâàðèàíòíûå íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå λi .

Ïðè ýòîì, ôàêòîð-ñèñòåìà E/H ïðîùå èñõîäíîé ñèñòåìû E , ïîñêîëüêóñâÿçûâàåò ôóíêöèè îò ìåíüøåãî ÷èñëà íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ!  ÷àñòíîñòè, äëÿ ðåøåíèé ðàíãà ρ = 1 ôàêòîðñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìîé îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, à äëÿ ðåøåíèé ðàíãà ρ = 0 ñèñòåìîéàëãåáðàè÷åñêèõ ñîîòíîøåíèé.

Êîíå÷íî æå, ïðè ýòîì îíà äàåò îïèñàíèÿ òîëüêî íåêîòîðîãî ÷àñòíîãî êëàññà ðåøåíèéèñõîäíîé ñèñòåìû E , à èìåííî, ðåøåíèé, èíâàðèàíòíûõ îòíîñèòåëüíî ïîäãðóïïû H .Ïðèâåäåì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ ïîñòðîåíèÿ èíâàðèàíòíûõ ðåøåíèé.64Ïðèìåð 26. Óðàâíåíèå Êîðòåâåãà-äå-Ôðèçàut + uux + uxxx = 0(5.7)äîïóñêàåò àëãåáðó Ëè îïåðàòîðîâ L4 :X1 = ∂t , X2 = ∂x , X3 = t∂x + ∂u , X4 = 3t∂t + x∂x − 2u∂u .Âûïèøåì ôàêòîðóðàâíåíèå, îïðåäåëÿþùåå èíâàðèàíòíîå ðåøåíèå îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ X = αX1 + X3 ,(α = const, α 6= 0). Íàáîð áàçèñíûõ èíâàðèàíòîâ èìååò âèä I = (x − βt2 /2, u − βt), β = α−1 .

Ñîãëàñíî (5.6) ââåäåìîáîçíà÷åíèÿ λ = x − βt2 /2, U (λ) = u − βt. Âûðàæàÿ îòñþäà ÿâíûì îáðàçîì ôóíêöèþ u, ïîëó÷àåì ïðåäñòàâëåíèåðåøåíèÿu(t, x) = U (λ) + βt,λ = x − βt2 /2.Åãî ïîäñòàíîâêà â (5.7) ïîñëå óïðîùåíèÿ äàåò ôàêòîðóðàâíåíèå E/H :U 000 + U U 0 + β = 0.(5.8)Îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (5.8) ñóùåñòâåííî ïðîùå, ÷åì (5.7). Ïðè ýòîì, îíî îïèñûâàåò òîëüêî÷àñòíûå ðåøåíèÿ èñõîäíîãî óðàâíåíèé (5.7), à èìåííî, ðåøåíèÿ èíâàðèàíòíûå îòíîñèòåëüíî âûáðàííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ X .

Ïîñëå îäíîêðàòíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ (5.8) ïðèíèìàåò âèä U 00 + U 2 /2 + βλ + C1 = 0. Ðåøåíèå ïîñëåäíåãîóðàâíåíèÿ äàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ýëëèïòè÷åñêèõ ôóíêöèé.Ïðèìåð 27. Óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ èíâàðèàíòíîãî ðåøåíèÿ (5.5) ÿâëÿþòñÿ íåîáõîäèìûìè â òîì ñìûñëå, ÷òî îíè òîëüêî ãàðàíòèðóþò âîçìîæíîñòü çàïèñè ïðåäñòàâëåíèÿ H -èíâàðèàíòíîãî ðåøåíèÿ è ïîëó÷åíèÿ ôàêòîð-ñèñòåìû E/H .Îäíàêî, ïîëó÷åííàÿ ôàêòîð-ñèñòåìà ìîæåò îêàçàòüñÿ ïðîòèâîðå÷èâîé, ò.å. ðåøåíèå íå áóäåò ñóùåñòâîâàòü.

Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå ïðèìåðà óðàâíåíèåtut + xux = 1.Î÷åâèäíî, ÷òî îíî äîïóñêàåò ðàâíîìåðíîå ðàñòÿæåíèå ïåðåìåííûõ t è x, êîòîðîìó îòâå÷àåò èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð X = t∂t + x∂x . Íàáîð áàçèñíûõ èíâàðèàíòîâ I = (x/t, u), ïîýòîìó ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèå èìååò âèä: u = U (λ),λ = x/t. Ïîäñòàíîâêà u = U (λ) â èñõîäíîå óðàâíåíèå ïîñëå ýëåìåíòàðíîãî óïðîùåíèÿ ïðèâîäèò ê ïðîòèâîðå÷èâîìóôàêòîðóðàâíåíèþ E/H : 0 = 1. Òàêèì îáðàçîì, ðàññìàòðèâàåìîå óðàâíåíèå íå èìååò ðåøåíèÿ, èíâàðèàíòíîãîîòíîñèòåëüíî ðàâíîìåðíûõ ðàñòÿæåíèé t è x, õîòÿ íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ (5.5) âûïîëíåíû.65Ïðèìåð 28.  ïðèëîæåíèÿõ ÷àñòî âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü èññëåäîâàòü ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè. Ïðèâåäåì ïðèìåð ïîñòðîåíèÿ èíâàðèàíòíîãî ðåøåíèÿ, íà îñíîâå îïèñàííîãî âûøå àëãîðèòìà, äëÿ ñèñòåìûäèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ êðàåâûìè óñëîâèÿìè.Ñèñòåìà óðàâíåíèéut + uux + vuy + ghx = 0, ux + vy = 0,(5.9)ht + u(t, x, h)hx = v(t, x, h), v(t, x, 0) = 0îïèñûâàåò ðàñïðîñòðàíåíèå äëèííûõ âîëí â ñëîå èäåàëüíîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè æèäêîñòè ñî ñâîáîäíîé ãðàíèöåéy = h(t, x) íàä ðîâíûì äíîì y = 0 â ïîëå ñèëû òÿæåñòè (g = 1).

Áåçðàçìåðíûå ïåðåìåííûå t, x, y , u(t, x, y),v(t, x, y) ñîîòâåòñòâóþò âðåìåíè, äåêàðòîâûì êîîðäèíàòàì è êîìïîíåíòàì âåêòîðà ñêîðîñòè. Ðàññìàòðèâàåìàÿ ìîäåëüîïèñûâàåò ñäâèãîâûå äâèæåíèÿ æèäêîñòè (ãîðèçîíòàëüíàÿ êîìïîíåíòà âåêòîðà ñêîðîñòè çàâèñèò îò âåðòèêàëüíîéêîîðäèíàòû).  ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà uy ≡ 0, ñèñòåìà (5.9) ñâîäèòñÿ ê êëàññè÷åñêîé ìîäåëè ìåëêîé âîäûut + uux + ghx = 0,ht + (uh)x = 0. ïðèáëèæåíèè äëèííûõ âîëí çàâèõðåííîñòü ïîòîêà ω ïðîïîðöèîíàëüíà uy , ïîýòîìó ìîäåëü (5.9) áóäåì íàçûâàòüóðàâíåíèÿìè âèõðåâîé ìåëêîé âîäû.Çàìåòèì, ÷òî êèíåìàòè÷åñêîå óñëîâèå íà ñâîáîäíîé ãðàíèöå (òðåòüå óðàâíåíèå ñèñòåìû (5.9)) ìîæíî óïðîñòèòüñ ïîìîùüþ çàìåíû ïåðåìåííûõ.

Ââåäåì íîâóþ íåçàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ z è íîâóþ èñêîìóþ ôóíêöèþ w(t, x, z) ïîïðàâèëóyz=,h(t, x)dzvyw== − 2 ht + uhx .dth h íîâûõ ïåðåìåííûõ ñèñòåìà (5.9) èìååò âèäut + uux + wuz + hx = 0,ht + uhx + h(ux + wz ) = 0,w(t, x, 0) = w(t, x, 1) = 0.66(5.10)Óðàâíåíèÿ (5.10) äîïóñêàþò àëãåáðó Ëè îïåðàòîðîâ L5 :X1 = ∂t , X2 = ∂x , X3 = t∂x + ∂u ,X4 = t∂t + x∂x − w∂w , X5 = x∂x + u∂u + 2h∂h .Ïîñòðîèì èíâàðèàíòíîå ðåøåíèå ïî ïîäàëãåáðå H = {X4 , X5 }. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ èíâàðèàíòíîãî ðåøåíèÿ (5.5) âûïîëíåíî. Íàáîð áàçèñíûõ èíâàðèàíòîâ, ñîîòâåòñòâóþùèéïîäàëãåáðå H èìååò âèä (z, tu/x, tw, t2 h/x2 ). Ïîýòîìó ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèÿ:xx21A(z), w = B(z), h = h0 2tttÏîäñòàíîâêà (5.11) â óðàâíåíèÿ (5.10) äàåò ôàêòîðñèñòåìó E/H :u=A2 − A + BA0 + 2h0 = 0,3A − 2 + B 0 = 0,(h0 = const).B(0) = B(1) = 0.(5.11)(5.12)Îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè (5.12) ìîæíî ïðîèíòåãðèðîâàòü.