1626435102-9ccf6d0a03aed727d9bf8add4160ccd9 (Учебное пособие (Головин, Чесноков)), страница 5

Ïðîèëëþñòðèðóåì ýòî óòâåðæäåíèå íà ïðèìåðåóðàâíåíèÿ (2.17) â ñëó÷àå ν = −1, êîãäà óðàâíåíèå äîïóñêàåò äâóìåðíóþ àëãåáðó Ëè îïåðàòîðîâ (2.23) (ëåãêî âèäåòü,÷òî [X1 , X2 ] = X1 ).Çàìåíà ïåðåìåííûõt = y/x, u = −1/x(2.25)ïðèâîäèò îïåðàòîðû (2.23) ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó.

Äåéñòâèòåëüíî, ïåðåïèøåì îïåðàòîðû â íîâûõ ïåðåìåííûõ. Ñîãëàñíî (1.3) èìååìX10 = X1 (y/x)∂t + X1 (−1/x)∂u = ∂u ,X20 = X2 (y/x)∂t + X2 (−1/x)∂u = (2/3)t∂t + u∂u .Âûïîëíèì çàìåíó ïåðåìåííûõ â óðàâíåíèè (2.17) ïðè ν = −1yt + yu u0 (t)uy == t − 0,0xt + xu u (t)u!!d dy1duy 00 ==t−=dx dxxt + xu u0 (t) dtu00Ëåãêî âèäåòü, ÷òî â ïåðåìåííûõ (t, u) ðàññìàòðèâàåìîå óðàâíåíèå èìååò âèäu00 = −t−2 (u0 )3 .25uu0!3u00 .Ïîäñòàíîâêîé v = u0 îíî ñâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè: v 0 = −t−2 v 3 . Âðåçóëüòàòå èíòåãðèðîâàíèÿ ïîëó÷àåìrt(C = const).Ct − 2Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ u0 = v äàåòñÿ òàêæå â êâàäðàòóðàõ. Âîçâðàùàÿñü ê ïåðåìåííûì (x, y) ïîëó÷èì ðåøåíèå èñõîäíîãîóðàâíåíèÿy 00 = x−1 y −2 .v(t) = ±Â ñëó÷àå C = 0 ðåøåíèå â íåÿâíîì âèäå çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:√±23−yx!3/2−1= const.xÏðè C 6= 0 èìååì"r!r rxyCyCy±C −3/2−2 +y Cy − 2xxx!#rrr1CyCyCy− 2 × ln 2+2−2+ = const.+2xxxxÁîëåå ïîäðîáíî ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ ÎÄÓ ðàññìàòðèâàþòñÿ â ðàçäåëå 7.Ïðèâåäåì åùå îäèí ïðèìåð âû÷èñëåíèÿ ãðóïïû äîïóñêàåìûõ ïðåîáðàçîâàíèé äëÿ óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ.

Ïðèíöèïèàëüíûõ îòëè÷èé îò ðàçîáðàííîãî âûøå ïðèìåðà íåò, íî îáúåì âû÷èñëåíèé çàìåòíî âîçðàñòàåò ñóâåëè÷åíèåì ÷èñëà íåçàâèñèìûõ è çàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ.Ïðèìåð 12. Íàéäåì ãðóïïó ïðåîáðàçîâàíèé äîïóñêàåìûõ óðàâíåíèåì ÁþðãåðñàE:ut + uux − uxx = 0. äàííîì ñëó÷àå áàçîâîå ïðîñòðàíñòâî Z = R2 (t, x) × R(u) è îïåðàòîð ãðóïïû èìååò âèäX = ξ t (t, x, u)∂t + ξ x (t, x, u)∂x + η(t, x, u)∂u26(2.26)Òàê êàê óðàâíåíèå (2.26) âòîðîãî ïîðÿäêà, íåîáõîäèìî âûïèñàòü âòîðîå ïðîäîëæåíèå îïåðàòîðà XX = X + ζ ut ∂ut + ζ ux ∂ux + ζ utt ∂utt + ζ utx ∂utx + ζ uxx ∂uxx .2Ñîãëàñíî (2.10) ïîäåéñòâóåì ýòèì îïåðàòîðîì íà óðàâíåíèå (2.26) è ïåðåéäåì íà ìíîæåñòâî ðåøåíèé óðàâíåíèÿ:ζ ut + uζ ux + ux η − ζ uxx = 0,uxx = ut + uux .(2.27)Îïðåäåëèì äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðûDt = ∂t + ut ∂u + utt ∂ut + utx ∂ux ,Dx = ∂x + ux ∂u + utx ∂ut + uxx ∂uxè â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëàìè (2.3) âûïèøåì íóæíûå íàì êîîðäèíàòû ïðîäîëæåííîãî îïåðàòîðàζ ut = Dt η − ut Dt ξ t − ux Dt ξ x =ηt + ut (ηu − ξtt ) − ux ξtx − u2t ξut − ut ux ξux ,ζ ux = Dx η − ut Dx ξ t − ux Dx ξ x =ηx − ut ξxt + ux (ηu − ξxx ) − ut ux ξut − u2x ξux ,ζ uxx = Dx ζ ux − utx Dx ξ t − uxx Dx ξ x =tx= ηxx + ut (ηu − 2ξxx − ξxx) + ux (2ηxu − ξxx+ uηu − 2uξxx )−x− 2utx ξxt − u2t ξut + u2x (ηuu − 2ξxu− 3uξux )−ttx− ut ux (2ξxu+ 3ξux + uξut ) − 2ux utx ξut − ut u2x ξuu− u3x ξuu.Ïðè âû÷èñëåíèè ζ uxx èñïîëüçîâàíî âòîðîå óðàâíåíèå (2.27).

Ïîäñòàâèì âûðàæåíèÿ äëÿ ζ ut , ζ ux , ζ uxx â ïåðâîå óðàâíåíèå(2.27) è ó÷èòûâàÿ, ÷òî èñêîìûå ôóíêöèè ξ t , ξ x , η çàâèñÿò ëèøü îò t, x è u, ïðîâåäåì åãî ðàñùåïëåíèå ïî ïåðåìåííûì27ut , ux , utx è äð.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó îïðåäåëÿþùèõ óðàâíåíèé:1:ut :ux :u2x :utx :ut ux :ux utx :ut u2x :u3x :ηt + uηx − ηxx = 0,t2ξxx + ξxx− ξtt − uξxt = 0,xη − 2ηxu + ξxx+ uξxx − ξtx = 0,x2uξux + 2ξxu− ηuu = 0,t2ξx = 0,t2(ξxu+ ξux ) = 0,2ξut = 0,tξuu= 0,xξuu = 0.(2.28)(2.29)(2.30)(2.31)(2.32)(2.33)(2.34)(2.35)(2.36)Èç óðàâíåíèé (2.32)(2.36) ñëåäóåò ξ t = ξ t (t), ξ x = ξ x (t, x).

Òîãäà óðàâíåíèå (2.31) óïðîùàåòñÿ è ïðèíèìàåò âèäηuu = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ η ëèíåéíà ïî ïåðåìåííîé u: η = b1 (t, x)u + b2 (t, x).  ðåçóëüòàòå ïîäñòàíîâêèâûðàæåíèÿ äëÿ η â (2.28) è ðàñùåïëåíèÿ ïî ïåðåìåííîé u ïîëó÷àåì b2 (t, x) = C1 x+C2 , b1 (t, x) = C3 −C1 t. Ïîäñòàíîâêàôóíêöèè η = C1 x + C2 + (C3 − C1 t)u â (2.30) ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü ξ x = (C1 t − C3 )x + C2 t + C4 . Èç óðàâíåíèÿ (2.29),ïðèíèìàþùåãî âèä 2ξxx − ξtt = 0, íàõîäèì ξ t .

Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå ñèñòåìû îïðåäåëÿþùèõ óðàâíåíèé èìååò âèäξ t = C1 t2 − 2C3 t + C5 ,ξ x = (C1 t − C3 )x + C2 t + C4 ,(2.37)η = C1 x + C2 + (C3 − C1 t)u,ãäå Ci ïîñòîÿííûå. Ôîðìóëû (2.37) çàäàþò íàáîð áàçèñíûõ äîïóñêàåìûõ îïåðàòîðîâX1 = ∂t ,X2 = ∂x ,X3 = t∂x + ∂u ,X4 = 2t∂t + x∂x − u∂u ,X5 = t2 ∂t + tx∂x + (x − tu)∂uîáðàçóþùèõ àëãåáðó Ëè L5 . Êîíå÷íûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì îïåðàòîðàì, îïðåäåëÿþò 5-ïàðàìåòðè÷åñêóþãðóïïó ïðåîáðàçîâàíèé G5 , äîïóñêàåìóþ óðàâíåíèÿìè (2.26).282.5¾Ðàçìíîæåíèå¿ ðåøåíèé äèôôåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé òåîðåìå 7 ðàçäåëà 2.2 îòìå÷åí ñëåäóþùèé âàæíûé ôàêò: äîïóñêàåìàÿ ãðóïïà äåéñòâóåò íà ìíîæåñòâå ðåøåíèé äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ.

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîä äåéñòâèåì ëþáîãî äîïóñêàåìîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ðåøåíèåäèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ñíîâà ïåðåõîäèò â ðåøåíèå ýòîãî æå óðàâíåíèÿ. Äàííîå ñâîéñòâî ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü ïðåîáðàçîâàíèÿ äîïóñêàåìîé ãðóïïû äëÿ ïðîèçâîäñòâà íîâûõ ðåøåíèé èç óæå èçâåñòíûõ. Ïðîäåìîíñòðèðóåìïðèìåíåíèå ýòîãî ïîäõîäà íà ñëåäóþùèõ ïðèìåðàõ.Ïðèìåð 13. Óðàâíåíèÿ Íàâüå-Ñòîêñà äèíàìèêè âÿçêîé æèäêîñòèut + (u · ∇)u + ∇p = ν4u, div u = 0(2.38)äîïóñêàþò áåñêîíå÷íîìåðíóþ ãðóïïó ïðåîáðàçîâàíèé. Åå êîíå÷íîìåðíàÿ ÷àñòü ïîðîæäàåòñÿ ïåðåíîñîì ïî âðåìåíè,òðåìÿ âðàùåíèÿìè è ðàñòÿæåíèåì. Áåñêîíå÷íîìåðíîé ÷àñòè äîïóñêàåìîé ãðóïïû ñîîòâåòñòâóåò àëãåáðà Ëè îïåðàòîðîâhϕi (t)ii = ϕi ∂xi + ϕ̇i ∂ui − xi ϕ̈i ∂p , (i = 1, 2, 3); hσip = σ(t)∂p(2.39)(ïî èíäåêñó i ñóììèðîâàíèÿ íåò!). Ôóíêöèè ϕi (t) è σ(t) ïðîèçâîëüíû.

Îïåðàòîðû hϕi ii ïîðîæäàþò îáîáùåííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ãàëèëåÿ1t = t, xi = xi + ϕi (t), ui = ui + ϕ̇i , p = p − xi ϕi (t) − ϕi ϕ̈i .(2.40)2Îíè îçíà÷àþò, ÷òî óðàâíåíèÿ Íàâüå-Ñòîêñà ñîõðàíÿþòñÿ ïðè ïåðåõîäå â íåèíåðöèàëüíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò, äâèæóùóþñÿ ïðÿìîëèíåéíî ñ íåíóëåâûì óñêîðåíèåì. Âîçíèêàþùèå ïðè ýòîì ñèëû èíåðöèè êîìïåíñèðóþòñÿ çà ñ÷åòñîîòâåòñòâóþùåé íîðìèðîâêè äàâëåíèÿ. Äàííîå èíòåðåñíîå ñâîéñòâî, ãîâîðèò, â ÷àñòíîñòè, î íååäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèé Íàâüå-Ñòîêñà. Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì ðåøåíèå óðàâíåíèé (2.38) u = u(t, x),p = p(t, x), îòâå÷àþùåå íåêîòîðûì íà÷àëüíûì äàííûìt=0:u(0, x) = v(x),p(0, x) = p0 (x).Ïîäåéñòâóåì íà ýòî ðåøåíèå ïðåîáðàçîâàíèåì (2.40) ñ íåêîòîðîé ôóíêöèåé ϕi (t), óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèÿìϕi (0) = 0, ϕ̇i (0) = 0.29(2.41)Ïîëó÷åííîå íîâîå ðåøåíèå óðàâíåíèé Íàâüå-Ñòîêñà u = u(t, x), p = p(t, x) óäîâëåòâîðÿåò òåì æå íà÷àëüíûì äàííûì (2.41), íî, î÷åâèäíî, îòëè÷àåòñÿ îò èñõîäíîãî. Îòìå÷åííàÿ íååäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ ñíèìàåòñÿ åñëè ïîìèìîíà÷àëüíûõ äàííûõ çàäàâàòü òàêæå è ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ.Ïðèìåð 14.

Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ èäåàëüíîãî îäíîàòîìíîãî ãàçà (ïîêàçàòåëü ïîëèòðîïû γ = 5/3) èìåþò âèädu 1dρdp+ ∇p = 0,+ ρ divu = 0,= 0.dtρdtdt ρ5/3(2.42)Çäåñü u = (u, v, w) âåêòîð ñêîðîñòè, ρ ïëîòíîñòü, p äàâëåíèå, d/dt = ∂t + u · ∇ îïåðàòîð ïîëíîé ïðîèçâîäíîé,îïåðàòîðû ∇ è div âû÷èñëÿþòñÿ ïî ïåðåìåííûì x = (x, y, z) äåêàðòîâûì êîîðäèíàòàì.Óðàâíåíèÿ (2.42), êðîìå î÷åâèäíûõ ïðåîáðàçîâàíèé (ïåðåíîñû, ãàëèëååâû ïåðåíîñû, ðàñòÿæåíèÿ, âðàùåíèÿ), äîïóñêàþò íåòðèâèàëüíîå ïðîåêòèâíîå ïðåîáðàçîâàíèå:t=t1−at ,x=x1−at ,u = (1 − at)u + ax,ρ = (1 − at)3 ρ,p = (1 − at)5 p.(2.43)Çäåñü a ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ ñ ðàçìåðíîñòüþ îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíîé âðåìåíè (ïàðàìåòð ãðóïïû ïðåîáðàçîâàíèé). Ñîîòâåòñòâóþùèé äîïóñêàåìûé óðàâíåíèÿìè (2.42) îïåðàòîð èìååò âèäX = t2 ∂t + tx∂x + ty∂y + tz∂z + (x − tu)∂u +(y − tv)∂v + (z − tw)∂w − 3tρ∂ρ − 5tp∂p .Îáðàòíàÿ ê (2.43) çàìåíà ïåðåìåííûõ äàåòñÿ ôîðìóëàìèt=t,1+atx=x,1+atu = (1 + at)u − ax,Óòâåðæäåíèå.ρ = (1 + at)3 ρ,p = (1 + at)5 p.Åñëè ñîâîêóïíîñòü ôóíêöèéu = u(t, x),ρ = ρ(t, x),30p = p(t, x)(2.44)óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå óðàâíåíèé (2.42), òî òîé æå ñèñòåìå óðàâíåíèé óäîâëåòâîðÿåò ñîâîêóïíîñòü ôóíêöèéu(t, x) = (1 + at)u(t, x) − ax,ρ(t, x) = (1 + at)3 ρ(t, x),p(t, x) = (1 + at)5 p(t, x),(2.45)ãäåtx, x=.1 − at1 − atÓáåäèòüñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè äàííîãî óòâåðæäåíèÿ ìîæíî è íåïîñðåäñòâåííûìè âû÷èñëåíèÿìè ñ èñïîëüçîâàíèåìâûòåêàþùèõ èç (2.43) è (2.44) ñîîòíîøåíèé:∂∂∂1∂∂= (1 + at),= (1 + at) ,1 − at =,+ ax ·∂t∂x∂x∂x1 + at∂tt=d∂∂∂∂d=+u·= (1 + at)2 + u ·= (1 + at)2 .dt ∂t∂x∂x∂tdtÈñïîëüçóåì ðàññìàòðèâàåìîå ïðåîáðàçîâàíèå, îòíîñèòåëüíî êîòîðîãî óðàâíåíèÿ (2.42) èíâàðèàíòíû, äëÿ ¾ðàçìíîæåíèÿ¿ ðåøåíèé.

Î÷åâèäíî, ÷òî ôóíêöèèu = 0,ρ = ρ0 (x) > 0,p = p0 = const > 0,îòâå÷àþùèå ñîñòîÿíèþ ïîêîÿ, ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû óðàâíåíèé (2.42). Òîãäà, ñîãëàñíî (2.45), ôóíêöèèaxu=−,1 − at1ρ=ρ0(1 − at)3x,1 − atp=p0(1 − at)5(2.46)òàêæå ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèé (2.42). ýòîì ðåøåíèè âåêòîð ñêîðîñòè ïðîïîðöèîíàëåí ðàäèóñó-âåêòîðó; äàâëåíèå p çàâèñèò òîëüêî îò âðåìåíè. Ðåøåíèå(2.46) îïðåäåëåíî äëÿ âñåõ t ≥ 0, åñëè a < 0 è äëÿ 0 ≤ t < 1/a, åñëè a > 0.

Ïðè÷åì â ïåðâîì ñëó÷àå îíî îïèñûâàåòîäíîðîäíîå ðàñøèðåíèå ãàçà, à âî âòîðîì ñæàòèå. Òðàåêòîðèè äâèæåíèÿ ÷àñòèö, îïðåäåëÿåìûå èç ñèñòåìû ÎÄÓẋ = u,x|t=0 = x031èìåþò âèä(2.47)x = (1 − at)x0 .Ïóñòü â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t = 0 ÷àñòèöû ãàçà îáðàçîâûâàëè îêðóæíîñòü ðàäèóñà |x0 |, òîãäà îíè îáðàçóþòîêðóæíîñòü ðàäèóñà |(1−at)x0 | è â ïîñëåäóþùèå ìîìåíòû âðåìåíè t > 0. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè îòðèöàòåëüíîì ïàðàìåòðåa ïðîèñõîäèò ðàñøèðåíèå, à ïðè ïîëîæèòåëüíîì ñæàòèå.

Èç óðàâíåíèé (2.47) òàêæå ñëåäóåò, ÷òî êàæäàÿ ÷àñòèöàäâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ, ïðîïîðöèîíàëüíîé âåêòîðó x0 , çàäàþùåìó íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå ÷àñòèöû.Ðàññìàòðèâàåìîå ðåøåíèå îáëàäàåò ñâîéñòâîì îäíîðîäíîñòè: ïîëÿ ñêîðîñòåé ÷àñòèö îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû êîîðäèíàò, ñâÿçàííîé ñ ëþáîé äâèæóùåéñÿ ìàòåðèàëüíîé ÷àñòèöåé, îäèíàêîâû.

Äåéñòâèòåëüíî, ïåðåéäåì â ñèñòåìóêîîðäèíàò ñâÿçàííóþ ñ ÷àñòèöåé x∗ . Ïðè ýòîì êîîðäèíàòû è ñêîðîñòè ïðåîáðàçóþòñÿ ïî ôîðìóëàìx 1 = x − x∗ ,u1 = u − u∗ax∗.u∗ = −1 − atÒîãäà, êàê è óòâåðæäàëîñü, ïîëå ñêîðîñòåé â ðåøåíèè (2.46) èìååò âèäu1 = −ax1.1 − atÏðèìåð 15. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèÿ ìåëêîé âîäû ñ âðàùåíèåì (óïðàæíåíèå 8 â ðàçäåëå 2.6). Äàëåå óäîáíî èñïîëüçîâàòü ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû (r, θ), ðàäèàëüíóþ U è îêðóæíóþ V êîìïîíåíòû âåêòîðà ñêîðîñòè, êîòîðûå ñâÿçàíû ñêîîðäèíàòàìè (x, y) è ñêîðîñòÿìè (u, v) ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìèx = r cos θ,y = r sin θ,u = U cos θ − V sin θ,v = U sin θ + V cos θ. ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ ñèñòåìà óðàâíåíèé âðàùàþùåéñÿ ìåëêîé âîäû èìååò âèäUt + U Ur + 1r V Uθ −Vt + U Vr + 1r V Vθ +V2rUVr− f V + ghr = 0,+ f U + gr hθ = 0,ht + 1r (rU h)r + 1r (V h)θ = 0;32(2.48)ïðè ýòîì äîïóñêàåìûé îïåðàòîð X9 çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì−f2fr2cos(f t)∂r − f2 sin(f t)∂θ −U cos(f t) + f r sin(f t) ∂U − f2 (V + f r) cos(f t)∂V − f h cos(f t)∂h .X̂9 = sin(f t)∂t +Èíòåãðèðîâàíèå óðàâíåíèé Ëè∂r∂afr2= sin(f t),∂V∂a= f2 (V + f r) cos(f t), ∂h∂a = −f h cos(f t)=∂θ∂a= − f2 sin(f t),∂t∂a∂U∂acos(f t),(2.49)= − f2 (U cos(f t) + f r sin(f t)),ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìèt|a=0 = t, r|a=0 = r, θ|a=0 = θ, U |a=0 = U, V |a=0 = V, h|a=0 = h(2.50)äàåò ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò (t 6= (2n + 1)π/f , n öåëîå ÷èñëî):t=2farctan(ατ ) + χ(t),r=rqα(1+τ 2 )1+α2 τ 2 ,θ = θ + arctan(τ ) − arctan(ατ ),qf r (α2 −1)τ1+α2 τ 2U = U − 2 1+α2 τ 2α(1+τ 2 ) ,qf r (α−1)(ατ 2 −1)1+α2 τ 2V = V + 2 1+α2 τ 2α(1+τ 2 ) ,(2.51)2 21+α τh = h α(1+τ2) .Çäåñü τ = tan( f2t ), α = exp(af ) > 0, χ(t) = 2πk/f , ãäå k öåëîå ÷èñëî, òàêîå ÷òî çàäàííîå íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè(2.50) çíà÷åíèå t ïðèíàäëåæèò èíòåðâàëó ((2k − 1)π/f, (2k + 1)π/f ). ñëó÷àå t = (2n + 1)π/f , ðåøåíèå óðàâíåíèé (2.49), (2.50) èìååò âèät = t, r = √rα , θ = θ,√U = U α, V = V +33f r(α−1)2α√α, h = αh.(2.52)Ôóíêöèè, îïðåäåëåííûå ôîðìóëàìè (2.51) è (2.52) ÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûìè ïî ïåðåìåííîé α.Ïîêàæåì, ÷òî çàäàííûå ôîðìóëàìè (2.51) ôóíêöèè â òî÷êàõ t∗ = (2n + 1)π/f ìîæíî ïî íåïðåðûâíîñòè äîîïðåäåëèòü ñîãëàñíî (2.52), ïðè ýòîì ïîëó÷åííîå îòîáðàæåíèå áóäåò íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûì ïî âñåì àðãóìåíòàì.