1626435102-9ccf6d0a03aed727d9bf8add4160ccd9 (Учебное пособие (Головин, Чесноков)), страница 4

Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî ðàññìîòðåòü áàçîâîå ïðîñòðàíñòâî Z = R(x) × R(y). Çäåñü n = m = 1; k = 1 èëè2. Îäíîðîäíîñòü óðàâíåíèÿ îçíà÷àåò, ÷òî îíî äîïóñêàåò íåêîòîðîå ïðåîáðàçîâàíèå ðàñòÿæåíèÿ, ò.å. îïåðàòîð âèäàX = x∂x + κy∂y , κ = const. Âòîðîå ïðîäîëæåíèå îïåðàòîðà X èìååò âèä (ââåäåíû îáîçíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíûõ p = y 0 ,q = y 00 )X = x∂x + κy∂y + (κ − 1)p∂p + (κ − 2)q∂q .2Áàçèñ äèôôåðåíöèàëüíûõ èíâàðèàíòîâ îïåðàòîðà X â ïðîñòðàíñòâå Z âûáèðàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðåçîì22pqy,,.(2.9)xκ xκ−1 xκ−2Òàêèì îáðàçîì, ëþáîå îäíîðîäíîå îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà ëîêàëüíî ìîæåò áûòüïðåäñòàâëåíî â âèäå p x1−κ = f (y x−κ ) èëèy 0 = xκ−1 f (y x−κ )ñ íåêîòîðîé ôóíêöèåé f è êîíñòàíòîé κ.

Àíàëîãè÷íî îïèñûâàþòñÿ îäíîðîäíûå óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà:00y =x2.4κ−2gyy0,xκ xκ−1.Ãðóïïû, äîïóñêàåìûå çàäàííûì óðàâíåíèåì ïðîñòðàíñòâå Z = Rn (x) × Rm (u) çàäàíà ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé E (2.7). Òðåáóåòñÿ îïèñàòü âñåîäíîïàðàìåòðè÷åñêèå ãðóïïû G1 , äîïóñêàåìûå ñèñòåìîé E . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äîïóñêàåìàÿ ãðóïïà G1 ïîðîæäàåòñÿîïåðàòîðîì X âèäàX = ξ i (x, u)∂xi + η α (x, u)∂uα ,i = 1, .

. . , n, α = 1, . . . , m.Êðèòåðèé èíâàðèàíòíîñòè äèôôåðåíöèàëüíîãî ìíîãîîáðàçèÿ, îïðåäåëÿåìîãî óðàâíåíèÿìè E èìååò âèäX F σ |E = 0,σ = 1, . . . , s.k(2.10)Ðàâåíñòâà (2.10) ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü êàê óðàâíåíèÿ íà êîîðäèíàòû ξ i (x, u), η α (x, u) ïðè çàäàííûõ ôóíêöèÿõ F σ .Àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ äîïóñêàåìîé ãðóïïû:19• Ïðîäîëæåíèå îïåðàòîðà X íà ïðîèçâîäíûå äî k -ãî ïîðÿäêà ïî ôîðìóëàì (2.3)X = ξ i ∂xi + η α ∂uα + ζiα ∂uαi + . . . + ζiα1 ... ik ∂uαi1 ... i .kk• Äåéñòâèå îïåðàòîðà X íà óðàâíåíèÿ ñèñòåìû E .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåòñÿ ñèñòåìà èç s óðàâíåíèé, ñîäåðæàùàÿkôóíêöèè ξ i (x, u), η α (x, u), èõ ïðîèçâîäíûå äî k -ãî ïîðÿäêà âêëþ÷èòåëüíî, à òàêæå ïåðåìåííûå x, u, u, .

. . , u.1k• Ïåðåõîä íà ìíîãîîáðàçèå, îïðåäåëÿåìîå ñèñòåìîé E . Äëÿ ýòîãî ñèñòåìà E ðàçðåøàåòñÿ îòíîñèòåëüíî íåêîòîðûõs ïðîèçâîäíûõ èç íàáîðà {u, . . . , u}. Âñå îñòàëüíûå ïðîèçâîäíûå äàëåå áóäåì íàçûâàòü ñâîáîäíûìè. Íàéäåííûå1kâûðàæåíèÿ ïîäñòàâëÿþòñÿ â óðàâíåíèÿ, ïîëó÷åííûå íà ïðåäûäóùåì øàãå. Ïîñòðîåííàÿ òàêèì îáðàçîì ñèñòåìàóðàâíåíèé íà êîîðäèíàòû èíôèíèòåçèìàëüíîãî îïåðàòîðà X äîëæíà áûòü âûïîëíåíà òîæäåñòâåííî ïî îñòàâøèìñÿ νk − s ïåðåìåííûì ïðîñòðàíñòâà Z .k• Ðàñùåïëåíèå óðàâíåíèé, íàéäåííûé â ðåçóëüòàòå âûïîëíåíèÿ ïðåäûäóùåãî øàãà, îòíîñèòåëüíî ñâîáîäíûõ ïðîèçâîäíûõ. Ïðè ýòîì ó÷èòûâàåòñÿ, ÷òî êîîðäèíàòû ξ i (x, u), η α (x, u) çàâèñÿò òîëüêî îò x è u è íå çàâèñÿò îòïðîèçâîäíûõ u.

Ðàñùåïëåíèå îáû÷íî îñóùåñòâëÿåòñÿ ðàçëîæåíèåì ëåâûõ ÷àñòåé óðàâíåíèé â ðÿä Òåéëîðà ïîjñâîáîäíûì ïðîèçâîäíûì â îêðåñòíîñòè êàêîé-íèáóäü òî÷êè è ïðèðàâíèâàíèåì íóëþ êîýôôèöèåíòîâ ïðè ðàçëè÷íûõ ìîíîìàõ, ñîñòàâëåííûõ èç ïðîèçâîäíûõ. Ðåçóëüòàòîì ðàñùåïëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïåðåîïðåäåëåííàÿ ñèñòåìàäèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ êîîðäèíàò îïåðàòîðà X .Ïîëó÷åííàÿ â ðåçóëüòàòå âûïîëíåíèÿ îïèñàííîãî àëãîðèòìà ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ êîîðäèíàò èíôèíèòåçèìàëüíîãî îïåðàòîðà X íîñèò íàçâàíèå ñèñòåìû îïðåäåëÿþùèõ óðàâíåíèé.Îïðåäåëåíèå 13.Îñíîâíûìè ñâîéñòâàìè ñèñòåìû îïðåäåëÿþùèõ óðàâíåíèé ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíîñòü è îäíîðîäíîñòü.

Áëàãîäàðÿ ýòîìóìíîæåñòâî åå ðåøåíèé îáðàçóåò ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî L. Îáîçíà÷èì r = dim L. ×èñëî r ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ0 (äîïóñêàåìàÿ ãðóïïà ñîñòîèò òîëüêî èç òîæäåñòâåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ), 0 < κ < ∞ (äîïóñêàåòñÿ κ îäíîïàðàìåòðè÷åñêèõ ãðóïï ïðåîáðàçîâàíèé), ∞ (äîïóñêàåòñÿ áåñêîíå÷íî ìíîãî ïðåîáðàçîâàíèé).Ïðèìåð 9. Îòûñêàòü âñå îäíîïàðàìåòðè÷åñêèå íåïðåðûâíûå ãðóïïû ïðåîáðàçîâàíèé, äîïóñêàåìûå óðàâíåíèåìE:y 0 = f (x, y)20(2.11)Äîïóñêàåìûé îïåðàòîð èùåòñÿ â âèäå X = ξ(x, y)∂x + η(x, y)∂y . Ïðîäîëæåíèå îïåðàòîðà âû÷èñëÿåòñÿ â ñîîòâåòñòâèèñ ôîðìóëàìè (2.4), (2.5).

Äåéñòâèå ïðîäîëæåííîãî îïåðàòîðà íà óðàâíåíèå è ïåðåõîä íà ìíîãîîáðàçèå, çàäàâàåìîåóðàâíåíèåì (2.11), äàåòX (y 0 − f (x, y)) |E = 01⇒ηx + (ηy − ξx )f − ξy f 2 − ξfx − ηfy = 0.(2.12)Ñëåäóþùèé ýòàï àëãîðèòìà íàõîæäåíèÿ äîïóñêàåìîé ãðóïïû ðàñùåïëåíèå óðàâíåíèÿ (2.12) â äàííîì ñëó÷àåîòñóòñòâóåò òàê êàê óðàâíåíèå (2.12) íå ñîäåðæèò ñâîáîäíûõ ïðîèçâîäíûõ. Ïîýòîìó óñëîâèåì èíâàðèàíòíîñòè óðàâíåíèÿ (2.11) îòíîñèòåëüíî îïåðàòîðà X ÿâëÿåòñÿ ñàìî óðàâíåíèå (2.12).Äîïóñêàåìàÿ óðàâíåíèåì ãðóïïà ïðåîáðàçîâàíèé áåñêîíå÷íîìåðíà. Ïðÿìîé ïðîâåðêîé ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî óðàâíåíèå (2.11) äîïóñêàåò îïåðàòîð âèäàY = ϕ(x, y)(∂x + f (x, y)∂y )(2.13)ñ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèåé ϕ(x, y). Îäíàêî, íàõîæäåíèå äðóãèõ, íåòðèâèàëüíûõ äîïóñêàåìûõ îïåðàòîðîâ, îêàçûâàåòñÿýêâèâàëåíòíî ðåøåíèþ ñàìîãî óðàâíåíèÿ (2.11).

Äåéñòâèòåëüíî, âû÷èòàíèåì ïîäõîäÿùåãî îïåðàòîðà âèäà (2.13), âëþáîì îïåðàòîðå X ìîæíî ñäåëàòü ξ = 0. Óðàâíåíèå (2.12) ñòàíîâèòñÿ òàêèì: ηx + f ηy = ηfy . Åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîåóðàâíåíèå ñîäåðæèò óðàâíåíèå (2.11). Íàîáîðîò, çíàíèå íåòðèâèàëüíîãî äîïóñêàåìîãî îïåðàòîðà âèäà Y = β(x, y)∂yïîçâîëÿåò ïðîèíòåãðèðîâàòü óðàâíåíèå (2.11) ïóòåì ïîñòðîåíèÿ èíòåãðèðóåùåãî ìíîæèòåëÿ: ôóíêöèè µ(x, y), óäîâëåòâîðÿþùåé óðàâíåíèþµx + (f µ)y = 0.(2.14)Äåéñòâèòåëüíî, åñëè âçÿòü µ = 1/β , òî óñëîâèå èíâàðèàíòíîñòè óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî îïåðàòîðà Y = β(x, y)∂yñîâïàäåò ñ (2.14). Äëÿ îïåðàòîðà X = ξ∂x + η∂y , äîïóñêàåìîãî óðàâíåíèåì (2.11), èíòåãðèðóþùèì ìíîæèòåëåì áóäåòôóíêöèÿ1η − ξfÏðèìåð 10.

 ðÿäå ñëó÷àåâ ¾óâèäåòü¿ ïðåîáðàçîâàíèå äîïóñêàåìîå äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì äîñòàòî÷íî ëåãêî.Ðàññìîòðèì ñåìåéñòâî óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèåé f :µ(x, y) =y 00 + f (x)y = 0.21(2.15)Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî óðàâíåíèå èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ðàñòÿæåíèÿ ïåðåìåííîãî y , à çíà÷èò äîïóñêàåò îïåðàòîðX = y∂y .

Ñ èñïîëüçîâàíèåì ýòîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ìîæíî ïîíèçèòü ïîðÿäîê óðàâíåíèÿ. Îïåðàòîð X ¾âûïðÿìëÿåòñÿ¿çàìåíîé ïåðåìåííîé t = ln y è ïðèíèìàåò âèä X 0 = ∂t . Âûïîëíèì çàìåíó ïåðåìåííûõ â óðàâíåíèè (2.15), ñ÷èòàÿt = ln y íîâîé íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé, à u = x èñêîìîé ôóíêöèåé.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì óðàâíåíèå âòîðîãîïîðÿäêà, â êîòîðîå íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ íå âõîäèò â ÿâíîì âèäå:u00 − u0 − (u0 )3 f (u) = 0.Äàëåå èçâåñòíûì ïðèåìîì äîñòèãàåòñÿ ïîíèæåíèå ïîðÿäêà óðàâíåíèÿ.

Äåéñòâèòåëüíî, ïîëàãàÿ u0 = p(u) ïðèõîäèì êóðàâíåíèþ ïåðâîãî ïîðÿäêàdp− f (u)p2 − 1 = 0.duÏðèìåð 11. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó î íàõîæäåíèè ñèììåòðèé îáûêíîâåííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà y 00 = f (x, y, y 0 ). Ðåàëèçóÿ ïðèâåäåííûé âûøå àëãîðèòì, âû÷èñëèì âòîðîå ïðîäîëæåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãîîïåðàòîðà X = ξ(x, y)∂x + η(x, y)∂y .

Ñîãëàñíî (2.3) îíî èìååò âèäX = X + ζ1 ∂y1 + ζ2 ∂y2 ,2ãäåζ1 = Dη − y1 Dξ,ζ2 = Dζ1 − y2 Dξ,D = ∂x + y1 ∂y + y2 ∂y1 , y1 = y 0 , y2 = y 00 . ðåçóëüòàòå íåïîñðåäñòâåííûå âû÷èñëåíèÿ íàõîäèì âåëè÷èíû ζ1 è ζ2 :ζ1 = ηx + y1 ((ηy − ξx ) − y12 ξy ,ζ2 = ηxx + (2ηxy − ξxx )y1 + (ηy − 2ξx )y2 ++ (ηyy − 2ξxy )y12 − 3y1 y2 ξy − y13 ξyy .Äàëåå âîñïîëüçóåìñÿ êðèòåðèåì èíâàðèàíòíîñòè (2.10), êîòîðûé â äàííîì ñëó÷àå ìîæíî çàïèñàòü òàê: ∂f∂f ∂f−ξ−ηζ2 − ζ1 = 0.∂y1∂x∂y E22Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå y2 = f (x, y, y1 ) è èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííûå âûøå âûðàæåíèÿ äëÿ ζ1 è ζ1 , èìååìηxx + (2ηxy − ξxx )y1 + (ηyy − 2ξxy )y12 − ξyy y13 + (ηy − 2ξx − 3ξy y1 )f −−(ηx + (ηy − ξx )y1 − ξy y12 )fy1 − ξfx − ηfy = 0.(2.16)Äëÿ ðàñùåïëåíèÿ óðàâíåíèÿ (2.16) ïî ñòåïåíÿì y1 íåîáõîäèìî çàäàòü ôóíêöèþ f ïåðåìåííûõ x, y è y1 .

 äàííîìïðèìåðå ïîëîæèìf (x, y, y1 ) = xν y −2 ,ãäå ν ïðîèçâîëüíûé âåùåñòâåííûé ïàðàìåòð. Òàêèì îáðàçîì, íàøà çàäà÷à ñîñòîèò â íàõîæäåíèè âñåõ îäíîïàðàìåòðè÷åñêèõ íåïðåðûâíûõ ãðóïï ïðåîáðàçîâàíèé, äîïóñêàåìûõ óðàâíåíèåìy 00 − xν y −2 = 0.(2.17)Ïîäñòàâèì â âûðàæåíèå (2.16) çíà÷åíèÿ f = xν y −2 , fx = νxν−1 y −2 , fy = −2xν y −3 , fy1 = 0 è ïîëüçóÿñü íåçàâèñèìîñòüþ ôóíêöèé ξ , η îò ïåðåìåííîãî y1 ïðîâåäåì ðàñùåïëåíèå óðàâíåíèÿ (2.16):y13y12y11y10::::ξyy = 0,ηyy − 2ξxy = 0,2ηxy − ξxx − 3xν y −2 ξy = 0,ηxx + (ηy − 2ξx )xν y −2 − νxν−1 y −2 ξ + 2xν y −3 η = 0.(2.18)(2.19)(2.20)(2.21) ðåçóëüòàòå èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèé (2.18), (2.19) íàõîäèìξ(x, y) = A(x)y + B(x),η(x, y) = A0 (x)y 2 + M (x)y + N (x),ãäå A(x), B(x), M (x) è N (x) ïðîèçâîëüíûå ôóíêöèè.

Âîñïîëüçóåìñÿ ïðèâåäåííûìè âûøå âûðàæåíèÿìè ξ , η èóðàâíåíèåì (2.20). Ïðîâîäÿ ðàñùåïëåíèå â (2.20) ïî ïåðåìåííîé y âûÿñíÿåì, ÷òî A(x) ≡ 0, M (x) = 2−1 B 0 (x) + b,b = const. Èñïîëüçîâàíèå ïîñëåäíåãî ñîîòíîøåíèÿ (2.21) ñèñòåìû îïðåäåëÿþùèõ óðàâíåíèé äàåò B 000 (x) = 0, N (x) ≡ 0,B 0 (x) = 6b − 2νx−1 B(x).

Òåïåðü íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî â ñëó÷àå ν 6= 0B(x) = ax2 + cx,a(1 + ν) = 0,23b = c(1 + 2ν)/6,a, c ïîñòîÿííûå.Ïðè ν 6= −1 ðåøåíèå îïðåäåëÿþùèõ óðàâíåíèé èìååò âèäξ = cx,η = 3−1 (2 + ν)cy.Ýòîìó ïðåîáðàçîâàíèþ ðàñòÿæåíèÿ ñîîòâåòñòâóåò îïåðàòîðν 6= 0, ν 6= −1 :X1 = x∂x +2+νy∂y .3(2.22) ñëó÷àå ν = −1 ðåøåíèå îïðåäåëÿþùèõ óðàâíåíèé çàâèñèò îò äâóõ ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ:ξ = ax2 + cx,η = (ax + c/2)y.Ñîîòâåòñòâóþùèå ýòîìó ïðåîáðàçîâàíèþ áàçèñíûå èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû èìåþò âèäν = −1 :X1 = x2 ∂x + xy∂y ,yX2 = x∂x + ∂y2(2.23)(X1 ïðîåêòèâíûé îïåðàòîð, X2 ðàñòÿæåíèå).Ïðè ν = 0 ôóíêöèÿ B(x) = 6bx + d (b, d ïîñòîÿííûå).

Ïîýòîìó ðåøåíèå îïðåäåëÿþùèõ óðàâíåíèé (2.18)(2.21)äàåòñÿ ôîðìóëàìè ξ = 6bx + d, η = 4by èν=0:X1 = ∂ x ,3X2 = x∂x + y∂y2(2.24)(X1 ïåðåíîñ, X2 ðàñòÿæåíèå).Òàêèì îáðàçîì, â ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå ïðîâåäåíà ãðóïïîâàÿ êëàññèôèêàöèÿ îáûêíîâåííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãîóðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà (2.17) ïî ïàðàìåòðó ν .  ñëó÷àå ν = 0 è ν = −1 óðàâíåíèå äîïóñêàåò äâóìåðíûå àëãåáðûËè L2 îïåðàòîðîâ (2.24) è (2.23), â îáùåì ñëó÷àå èìååòñÿ ëèøü îäíà ñèììåòðèÿ (2.22).

Îïðåäåëåíèå àëãåáðû Ëèîïåðàòîðîâ áóäåò äàíî â ñëåäóþùåì ðàçäåëå.Äëÿ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (ÎÄÓ) âòîðîãî ïîðÿäêà, äîïóñêàþùèõ àëãåáðó Ëè L2 , ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.24Òåîðåìà 8. Áàçèñ àëãåáðû Ëè L2 ïîäõîäÿùåé çàìåíîé ïåðåìåííûõ ìîæåò áûòü ïðèâåäåí ê îäíîìó èç ñëåäóþùèõâèäîâ:1) X1 = ∂x , X2 = ∂y ;2) X1 = ∂y , X2 = x∂y ;3) X1 = ∂y , X2 = x∂x + y∂y ;4) X1 = ∂y , X2 = y∂y .Ñîîòâåòñòâóþùèå ïåðåìåííûå x, y íàçûâàþòñÿ êàíîíè÷åñêèìè ïåðåìåííûìè.Äëÿ óðàâíåíèé âèäà y 00 = f (x, y, y 0 ) äîïóñêàþùèõ àëãåáðó Ëè Lr èçâåñòíî, ÷òî ïðè r = 1 ïîðÿäîê óðàâíåíèÿìîæíî ïîíèçèòü, à ïðè r ≥ 2 óðàâíåíèå ìîæíî ïðîèíòåãðèðîâàòü.