1626435102-9ccf6d0a03aed727d9bf8add4160ccd9 (Учебное пособие (Головин, Чесноков))

ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß È ÍÀÓÊÈ ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÒÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞÍÎÂÎÑÈÁÈÐÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÑ.Â. Ãîëîâèí, À.À. ×åñíîêîâÃÐÓÏÏÎÂÎÉ ÀÍÀËÈÇ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉÝëåêòðîííîå ó÷åáíîå ïîñîáèåÍîâîñèáèðñê, 2009ÓÄÊ 517ÁÁÊ 22.161.6à 61Ãîëîâèí Ñ. Â., ×åñíîêîâ À. À.Ãðóïïîâîé àíàëèç äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé / Íîâîñèá. ãîñ.

óí-ò. Íîâîñè-áèðñê, 2009. 119 ñ.Ó÷åáíîå ïîñîáèå ñîîòâåòñòâóåò ïðîãðàììå êóðñà ëåêöèé è ñåìèíàðîâ ¾Ãðóïïîâîé àíàëèç äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé¿, ÷èòàåìîãî ñòóäåíòàì 4-ãî êóðñà ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÍÃÓ. Ñîäåðæèò òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë, ïðèìåðû ðåøåíèÿ òèïîâûõ çàäà÷ è ñàìè çàäà÷è. Áîëüøàÿ ÷àñòü çàäà÷ àïðîáèðîâàíà àâòîðàìè è äàâíî èñïîëüçóåòñÿ â ó÷åáíîì ïðîöåññå. Äëÿ óãëóáëåííîãî èçó÷åíèÿ ïðåäìåòà ñòóäåíòàìè, ñïåöèàëèçèðóþùèìèñÿ â îáëàñòèãðóïïîâîãî àíàëèçà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, âêëþ÷åí äîïîëíèòåëüíûé òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë è ðÿä çàäà÷ïîâûøåííîé òðóäíîñòè.Ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñòóäåíòîâ ñòàðøèõ êóðñîâ ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ ôàêóëüòåòîâ óíèâåðñèòåòîâ, àñïèðàíòîâ,ïðåïîäàâàòåëåé è íàó÷íûõ ðàáîòíèêîâ â îáëàñòè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.Ðàçðàáîòêà ïîäãîòîâëåíà â ðàìêàõ ðåàëèçàöèè Ïðîãðàììû ðàçâèòèÿ ÍÈÓ-ÍÃÓ.c Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûéóíèâåðñèòåò, 2009c Ñ.

Â. Ãîëîâèí, À. À. ×åñíîêîâ, 2009Ñîäåðæàíèå1Îäíîïàðàìåòðè÷åñêèå ãðóïïû Ëè,îïåðàòîðû è èíâàðèàíòû1.11.21.31.424Ëîêàëüíàÿ ãðóïïà Ëè . . . . . . . . . . . . . .Èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð . . . . . . . . .Èíâàðèàíòû è èíâàðèàíòíûå ìíîãîîáðàçèÿîäíîïàðàìåòðè÷åñêîé ãðóïïû ïðåîáðàçîâàíèéÇàäà÷è . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .811Ãðóïïû ïðåîáðàçîâàíèé èäèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ2.12.22.32.42.52.63Òåîðèÿ ïðîäîëæåíèÿ . . . . . . . . . . . . . .Äèôôåðåíöèàëüíûå èíâàðèàíòû ãðóïïûïðåîáðàçîâàíèé . . . . . . . . . . . . . . . . .Óðàâíåíèÿ, äîïóñêàþùèå çàäàííóþ ãðóïïó .Ãðóïïû, äîïóñêàåìûå çàäàííûì óðàâíåíèåì¾Ðàçìíîæåíèå¿ ðåøåíèé äèôôåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171819. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2936Èíâàðèàíòû è èíâàðèàíòíûå ìíîãîîáðàçèÿ3.13.23.33.43.53.639Àëãåáðû Ëè îïåðàòîðîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .Èíâàðèàíòíû ìíîãîïàðàìåòðè÷åñêèõ ãðóïï Ëè è ïîëíûõ ñèñòåì îïåðàòîðîâÁàçèñ èíâàðèàíòîâ ãðóïïû Ëè ïðåîáðàçîâàíèé . . . . . . . . . . . . . . . . .Èíâàðèàíòíûå ìíîãîîáðàçèÿ. Èíäóöèðîâàííûå ãðóïïà è àëãåáðà Ëè . . . .×àñòè÷íî èíâàðèàíòíûå ìíîãîîáðàçèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Çàäà÷è . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1................................................................................................4042474850544Àáñòðàêòíûå àëãåáðû Ëè4.14.24.34.45................................................................................................................................................................Èíâàðèàíòíûå ðåøåíèÿ . . . . .

.Ñâîéñòâà ôàêòîðñèñòåìû E/H . .×àñòè÷íî èíâàðèàíòíûå ðåøåíèÿ .Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................................6368697880Àâòîìîðôèçìû è äèôôåðåíöèðîâàíèÿ àëãåáð Ëè . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ. Ïîñòðîåíèå îïòèìàëüíûõ ñèñòåì ïîäàëãåáð äëÿ àëãåáð Ëè ìàëîé ðàçìåðíîñòèÄâóõøàãîâûé àëãîðèòì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 80. 89. 93. 107Ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ ÎÄÓ7.17.27.37.47.55659606162Îïòèìàëüíûå ñèñòåìû ïîäàëãåáð6.16.26.36.47. . .Ëè .. . .. . .Èíâàðèàíòíî-ãðóïïîâûå ðåøåíèÿ5.15.25.35.46Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ . .

. .Ñòðóêòóðíûå ñâîéñòâà àëãåáðÊîìïîçèöèîííûé ðÿä . . . .Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . .56107Ìåòîä èíòåãðèðóþùåãî ìíîæèòåëÿ . . . . . . . . . . . . . .Ìåòîä ¾âûïðÿìëåíèÿ¿ äîïóñêàåìîãî îïåðàòîðà . . . . . . .Ìåòîä äèôôåðåíöèàëüíûõ èíâàðèàíòîâ . . . . . . . . . . . .Èíòåãðèðîâàíèå ÎÄÓ, äîïóñêàþùåãî ìíîãîïàðàìåòðè÷åñêóþÇàäà÷è . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .ãðóïïó ñèììåòðèé. . . . . . . . . . .......................................................................108108110113116ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅÏðåäìåòîì íàñòîÿùåãî ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ ÿâëÿåòñÿ ãðóïïîâîé àíàëèç äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé íàóêà îá èçó÷åíèè è èñïîëüçîâàíèè ñâîéñòâ ñèììåòðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.

Çàëîæåííàÿ â êîíöå 19-ãî âåêà â òðóäàõâåëèêîãî íîðâåæñêîãî ìàòåìàòèêà Ñîôóñà Ëè èäåÿ îá èñïîëüçîâàíèè ãðóïï íåïðåðûâíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, äîïóñêàåìûõ äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè, â íàñòîÿùåå âðåìÿ ïðîíèêëà â î÷åíü ìíîãèå îáëàñòè íàó÷íîãî çíàíèÿ îò÷èñòîé àëãåáðû äî ïðèêëàäíîé ìåõàíèêè è òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè.

 ïîñîáèè èçëàãàþòñÿ ïðèëîæåíèÿ òåîðèè ãðóïïîâîãî àíàëèçà äëÿ ïîñòðîåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ïîëó÷èâøåé áîëüøîå ðàçâèòèåâ òðóäàõ àêàäåìèêà Ë.Â. Îâñÿííèêîâà è åãî ïîñëåäîâàòåëåé.Îñíîâíîé ñèëîé òåîðèè ÿâëÿåòñÿ åå óíèâåðñàëüíîñòü è àëãîðèòìè÷íîñòü. Îíà óñïåøíî ïðèìåíÿåòñÿ ê äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì ñàìîé ðàçëè÷íîé ïðèðîäû, íå çàâèñèìî îò ñâîéñòâ ëèíåéíîñòè, ãèïåðáîëè÷íîñòè, äëÿ ñèñòåìïðîèçâîëüíî âûñîêîãî ïîðÿäêà.

Ãëàâíûì òðåáîâàíèåì ÿâëÿåòñÿ íåòðèâèàëüíîñòü äîïóñêàåìîé óðàâíåíèÿìè ãðóïïûñèììåòðèé. Ýòî òðåáîâàíèå íå ÿâëÿåòñÿ èñêóññòâåííûì â áîëüøèíñòâå ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé îêðóæàþùåãîìèðà ñèììåòðèÿ çàëîæåíà â èçíà÷àëüíóþ ôîðìóëèðîâêó ïóòåì èñïîëüçîâàíèÿ ñâîéñòâ îäíîðîäíîñòè è èçîòðîïíîñòè ïðîñòðàíñòâà, ïðåäïîëîæåíèé î ãàëèëååâîé èëè ëîðåíöîâîé èíâàðèàíòíîñòè ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ è ò.ä. ×åòêèåàëãîðèòìû ïî âû÷èñëåíèþ ãðóïïû ñèììåòðèè ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è ïî åå èñïîëüçîâàíèþ äëÿïîñòðîåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé è àíàëèçà ñâîéñòâ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ïîçâîëÿþò èñïîëüçîâàòü òåîðèþ êàê óäîáíûéèíñòðóìåíò èññëåäîâàíèÿ äàæå áåç çíàíèÿ ãëóáîêèõ òåîðåòè÷åñêèõ îñíîâ ãðóïïîâîãî àíàëèçà.Ó÷åáíîå ïîñîáèå èìååò öåëüþ ïðîäåìîíñòðèðîâàòü è ïîìî÷ü â îñâîåíèè îñíîâíûõ àëãîðèòìîâ ãðóïïîâîãî àíàëèçà.

Çäåñü íåò äîêàçàòåëüñòâ ïðèâîäèìûõ òåîðåì, îäíàêî âñå àëãîðèòìû è îïðåäåëåíèÿ èëëþñòðèðóþòñÿ ïîäðîáíîðàçîáðàííûìè ïðèìåðàìè. Äëÿ óãëóáëåííîãî èçó÷åíèÿ, ÷èòàòåëþ ïðåäëàãàþòñÿ óïðàæíåíèÿ, ïîçâîëÿþùèå îòðàáîòàòü ¾òåõíèêó¿ ãðóïïîâîãî àíàëèçà. Ñòðóêòóðà ïîñîáèÿ ñîîòâåòñòâóåò êóðñó ¾Ãðóïïîâîé àíàëèç äèôôåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé¿, ðàçðàáîòàííîìó Ë.Â. Îâñÿííèêîâûì è íà ïðîòÿæåíèè ìíîãèõ ëåò ÷èòàåìîãî â Íîâîñèáèðñêîì ãîñóíèâåðñèòåòå.Ïðè ïîäãîòîâêå ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ àâòîðû îïèðàëèñü íà ôóíäàìåíòàëüíûå ðàáîòû Ë.Â. Îâñÿííèêîâà [1][5], Í.Õ.Èáðàãèìîâà [6][9] è Ï. Îëâåðà [10].31Îäíîïàðàìåòðè÷åñêèå ãðóïïû Ëè,îïåðàòîðû è èíâàðèàíòû1.1Ëîêàëüíàÿ ãðóïïà ËèÐàññìàòðèâàþòñÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ T : Rn → Rn , îïðåäåëÿåìûå ôîðìóëîé x = f (x); x, x ∈ Rn . Ïðåäïîëàãàåòñÿ,÷òî ïðåîáðàçîâàíèÿ T îáðàòèìû, ò.å.

ñóùåñòâóåò T −1 òàêîå, ÷òî x = T −1 x. Ïðîèçâåäåíèåì ïðåîáðàçîâàíèé T1 è T2ÿâëÿåòñÿ èõ êîìïîçèöèÿ, ò.å. ïîñëåäîâàòåëüíîå ïðèìåíåíèå (T1 T2 )x = T1 (T2 x). Çàäàííîå òàêèì ïðàâèëîì óìíîæåíèåîáëàäàåò ñâîéñòâîì àññîöèàòèâíîñòè: T1 (T2 T3 ) = (T1 T2 )T3 . Ðàññìîòðèì ñåìåéñòâî ïðåîáðàçîâàíèé {Ta }, çàâèñÿùåå îòâåùåñòâåííîãî ïàðàìåòðà a ∈ ∆ ⊂ R è îïðåäåëÿåìîå ôîðìóëàìè x = f (x, a); x, x ∈ Rn .Ñåìåéñòâî ïðåîáðàçîâàíèé {Ta } íàçûâàåòñÿ ëîêàëüíîé îäíîïàðàìåòðè÷åñêîé íåïðåðûâíîé ãðóïïîéËè, åñëè ñóùåñòâóåò èíòåðâàë ∆0 ⊂ ∆ òàêîé, ÷òî âûïîëíåíû ñëåäóþùèå àêñèîìû:10 {T } çàìêíóòî â ∆0 îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè óìíîæåíèÿ, ò.å. äëÿ âñåõ a, b ∈ ∆0 âûïîëíåíî Ta Tb = Tc ∈ {T }, ãäåc = ϕ(a, b) ∈ ∆0 çàêîí óìíîæåíèÿ â ãðóïïå;20 Çàêîí óìíîæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèì, ò.å.

ϕ(a, b) ∈ C 2 (∆0 × ∆0 );30 Ñåìåéñòâî {T } ëîêàëüíî óïîðÿäî÷åíî â ∆0 , ò.å. äëÿ ëþáûõ a, b ∈ ∆0 èç Ta = Tb ñëåäóåò a = b.40 Ñåìåéñòâî {T } ñîäåðæèò åäèíèöó â ∆0 , ò.å. ñóùåñòâóåò a0 ∈ ∆0 òàêîå, ÷òî Ta0 = I òîæäåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå.Îïðåäåëåíèå 1.Èç òåîðåìû î íåÿâíîé ôóíêöèè è óêàçàííîé ñèñòåìû àêñèîì ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå îáðàòíîãî ýëåìåíò, ò.å. äëÿëþáîãî a ∈ ∆0 ñóùåñòâóåò a−1 ∈ ∆0 òàêîé, ÷òî ϕ(a, a−1 ) = ϕ(a−1 , a) = a0 . Èíòåðâàë ∆0 ìîæåò áûòü âûáðàí äîñòàòî÷íîìàëûì òàê, ÷òîáû â íåì âûïîëíÿëèñü àêñèîìû, ïîýòîìó â îïðåäåëåíèè ãðóïïû èñïîëüçóåòñÿ òåðìèí ¾ëîêàëüíàÿ¿. Âäàëüíåéøåì îäíîïàðàìåòðè÷åñêàÿ íåïðåðûâíàÿ ãðóïïà Ëè ëîêàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì G1 .Îïðåäåëåíèå 2.Ïàðàìåòð a íàçûâàåòñÿ êàíîíè÷åñêèì , åñëè çàêîí óìíîæåíèÿ â ãðóïïå G1 îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîéϕ(a, b) = a + b.4Òåîðåìà 1. ëþáîé ãðóïïå G1 ìîæíî ââåñòè êàíîíè÷åñêèé ïàðàìåòð ā ñîãëàñíî ôîðìóëåZ a∂ϕ(a, b) ds., A(a) =ā =∂b a0 A(s)b=a0Òàê êàê ϕ(a0 , b) = b, òî A(a0 ) = 1.

Ñëåäîâàòåëüíî, â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè a0 èíòåãðàë îò ôóíêöèè A−1 ,îïðåäåëÿþùèé êàíîíè÷åñêèé ïàðàìåòð ā, ñóùåñòâóåò.Ïðèìåð 1. Ñåìåéñòâî ïðåîáðàçîâàíèé â R2 (x, y) çàäàåòñÿ ôîðìóëàìè(√x = 1 − a2 x + a y,Ta :a ∈ ∆ = [−1, 1].√y = −a x + 1 − a2 y,Ïîêàæåì, ÷òî ðàññìàòðèâàåìîå ïðåîáðàçîâàíèå ÿâëÿåòñÿ îäíîïàðàìåòðè÷åñêîé ëîêàëüíîé ãðóïïîé Ëè G1 , íàéäåìçàêîí óìíîæåíèÿ è ââåäåì êàíîíè÷åñêèé ïàðàìåòð.Ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèìåíèì ïðåîáðàçîâàíèÿ Ta è Tb :pp1 − b2 x + b y = (1 − a2 )(1 − b2 ) − ab x+pp2+ a 1 − b + b 1 − a2 ypppy = −b x + 1 − b2 y = − a 1 − b2 + b 1 − a2 x+p+(1 − a2 )(1 − b2 ) − ab y√√√2 + b 1 − a2 .

Íåïîñðåäñòâåííûì âû÷èñëåíèåì ìîæíî óáåäèòñÿ â òîì, ÷òîÎáîçíà÷èìc=ϕ(a,b)=a1−b1 − c2 =p(1 − a2 )(1 − b2 ) − ab. Ñëåäîâàòåëüíî,(√x = 1 − c2 x + c y√y = −c x + 1 − c2 yx=Ïîëó÷åíî ïðåîáðàçîâàíèå òîãî æå âèäà Tc = Tb Ta ñ çàêîíîì óìíîæåíèÿ c = ϕ(a, b). Îòìåòèì ñóùåñòâîâàíèå åäèíè÷íîãî ýëåìåíòà a0 = 0 è îáðàòíîãî a−1 = −a. Äëÿ îáåñïå÷åíèÿ ãëàäêîñòè çàêîíà óìíîæåíèÿ íà÷àëüíûé îòðåçîê ∆5íóæíî óìåíüøèòü äî èíòåðâàëà ∆0 = (−1, 1).