1626435102-9ccf6d0a03aed727d9bf8add4160ccd9 (844153)
Текст из файла
ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß È ÍÀÓÊÈ ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÒÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞÍÎÂÎÑÈÁÈÐÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÑ.Â. Ãîëîâèí, À.À. ×åñíîêîâÃÐÓÏÏÎÂÎÉ ÀÍÀËÈÇ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉÝëåêòðîííîå ó÷åáíîå ïîñîáèåÍîâîñèáèðñê, 2009ÓÄÊ 517ÁÁÊ 22.161.6à 61Ãîëîâèí Ñ. Â., ×åñíîêîâ À. À.Ãðóïïîâîé àíàëèç äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé / Íîâîñèá. ãîñ.
óí-ò. Íîâîñè-áèðñê, 2009. 119 ñ.Ó÷åáíîå ïîñîáèå ñîîòâåòñòâóåò ïðîãðàììå êóðñà ëåêöèé è ñåìèíàðîâ ¾Ãðóïïîâîé àíàëèç äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé¿, ÷èòàåìîãî ñòóäåíòàì 4-ãî êóðñà ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÍÃÓ. Ñîäåðæèò òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë, ïðèìåðû ðåøåíèÿ òèïîâûõ çàäà÷ è ñàìè çàäà÷è. Áîëüøàÿ ÷àñòü çàäà÷ àïðîáèðîâàíà àâòîðàìè è äàâíî èñïîëüçóåòñÿ â ó÷åáíîì ïðîöåññå. Äëÿ óãëóáëåííîãî èçó÷åíèÿ ïðåäìåòà ñòóäåíòàìè, ñïåöèàëèçèðóþùèìèñÿ â îáëàñòèãðóïïîâîãî àíàëèçà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, âêëþ÷åí äîïîëíèòåëüíûé òåîðåòè÷åñêèé ìàòåðèàë è ðÿä çàäà÷ïîâûøåííîé òðóäíîñòè.Ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñòóäåíòîâ ñòàðøèõ êóðñîâ ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ ôàêóëüòåòîâ óíèâåðñèòåòîâ, àñïèðàíòîâ,ïðåïîäàâàòåëåé è íàó÷íûõ ðàáîòíèêîâ â îáëàñòè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.Ðàçðàáîòêà ïîäãîòîâëåíà â ðàìêàõ ðåàëèçàöèè Ïðîãðàììû ðàçâèòèÿ ÍÈÓ-ÍÃÓ.c Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûéóíèâåðñèòåò, 2009c Ñ.
Â. Ãîëîâèí, À. À. ×åñíîêîâ, 2009Ñîäåðæàíèå1Îäíîïàðàìåòðè÷åñêèå ãðóïïû Ëè,îïåðàòîðû è èíâàðèàíòû1.11.21.31.424Ëîêàëüíàÿ ãðóïïà Ëè . . . . . . . . . . . . . .Èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð . . . . . . . . .Èíâàðèàíòû è èíâàðèàíòíûå ìíîãîîáðàçèÿîäíîïàðàìåòðè÷åñêîé ãðóïïû ïðåîáðàçîâàíèéÇàäà÷è . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .811Ãðóïïû ïðåîáðàçîâàíèé èäèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ2.12.22.32.42.52.63Òåîðèÿ ïðîäîëæåíèÿ . . . . . . . . . . . . . .Äèôôåðåíöèàëüíûå èíâàðèàíòû ãðóïïûïðåîáðàçîâàíèé . . . . . . . . . . . . . . . . .Óðàâíåíèÿ, äîïóñêàþùèå çàäàííóþ ãðóïïó .Ãðóïïû, äîïóñêàåìûå çàäàííûì óðàâíåíèåì¾Ðàçìíîæåíèå¿ ðåøåíèé äèôôåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171819. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2936Èíâàðèàíòû è èíâàðèàíòíûå ìíîãîîáðàçèÿ3.13.23.33.43.53.639Àëãåáðû Ëè îïåðàòîðîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .Èíâàðèàíòíû ìíîãîïàðàìåòðè÷åñêèõ ãðóïï Ëè è ïîëíûõ ñèñòåì îïåðàòîðîâÁàçèñ èíâàðèàíòîâ ãðóïïû Ëè ïðåîáðàçîâàíèé . . . . . . . . . . . . . . . . .Èíâàðèàíòíûå ìíîãîîáðàçèÿ. Èíäóöèðîâàííûå ãðóïïà è àëãåáðà Ëè . . . .×àñòè÷íî èíâàðèàíòíûå ìíîãîîáðàçèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Çàäà÷è . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1................................................................................................4042474850544Àáñòðàêòíûå àëãåáðû Ëè4.14.24.34.45................................................................................................................................................................Èíâàðèàíòíûå ðåøåíèÿ . . . . .
.Ñâîéñòâà ôàêòîðñèñòåìû E/H . .×àñòè÷íî èíâàðèàíòíûå ðåøåíèÿ .Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................................6368697880Àâòîìîðôèçìû è äèôôåðåíöèðîâàíèÿ àëãåáð Ëè . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ. Ïîñòðîåíèå îïòèìàëüíûõ ñèñòåì ïîäàëãåáð äëÿ àëãåáð Ëè ìàëîé ðàçìåðíîñòèÄâóõøàãîâûé àëãîðèòì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 80. 89. 93. 107Ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ ÎÄÓ7.17.27.37.47.55659606162Îïòèìàëüíûå ñèñòåìû ïîäàëãåáð6.16.26.36.47. . .Ëè .. . .. . .Èíâàðèàíòíî-ãðóïïîâûå ðåøåíèÿ5.15.25.35.46Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ . .
. .Ñòðóêòóðíûå ñâîéñòâà àëãåáðÊîìïîçèöèîííûé ðÿä . . . .Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . .56107Ìåòîä èíòåãðèðóþùåãî ìíîæèòåëÿ . . . . . . . . . . . . . .Ìåòîä ¾âûïðÿìëåíèÿ¿ äîïóñêàåìîãî îïåðàòîðà . . . . . . .Ìåòîä äèôôåðåíöèàëüíûõ èíâàðèàíòîâ . . . . . . . . . . . .Èíòåãðèðîâàíèå ÎÄÓ, äîïóñêàþùåãî ìíîãîïàðàìåòðè÷åñêóþÇàäà÷è . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .ãðóïïó ñèììåòðèé. . . . . . . . . . .......................................................................108108110113116ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅÏðåäìåòîì íàñòîÿùåãî ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ ÿâëÿåòñÿ ãðóïïîâîé àíàëèç äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé íàóêà îá èçó÷åíèè è èñïîëüçîâàíèè ñâîéñòâ ñèììåòðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.
Çàëîæåííàÿ â êîíöå 19-ãî âåêà â òðóäàõâåëèêîãî íîðâåæñêîãî ìàòåìàòèêà Ñîôóñà Ëè èäåÿ îá èñïîëüçîâàíèè ãðóïï íåïðåðûâíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, äîïóñêàåìûõ äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè, â íàñòîÿùåå âðåìÿ ïðîíèêëà â î÷åíü ìíîãèå îáëàñòè íàó÷íîãî çíàíèÿ îò÷èñòîé àëãåáðû äî ïðèêëàäíîé ìåõàíèêè è òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè.
 ïîñîáèè èçëàãàþòñÿ ïðèëîæåíèÿ òåîðèè ãðóïïîâîãî àíàëèçà äëÿ ïîñòðîåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ïîëó÷èâøåé áîëüøîå ðàçâèòèåâ òðóäàõ àêàäåìèêà Ë.Â. Îâñÿííèêîâà è åãî ïîñëåäîâàòåëåé.Îñíîâíîé ñèëîé òåîðèè ÿâëÿåòñÿ åå óíèâåðñàëüíîñòü è àëãîðèòìè÷íîñòü. Îíà óñïåøíî ïðèìåíÿåòñÿ ê äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì ñàìîé ðàçëè÷íîé ïðèðîäû, íå çàâèñèìî îò ñâîéñòâ ëèíåéíîñòè, ãèïåðáîëè÷íîñòè, äëÿ ñèñòåìïðîèçâîëüíî âûñîêîãî ïîðÿäêà.
Ãëàâíûì òðåáîâàíèåì ÿâëÿåòñÿ íåòðèâèàëüíîñòü äîïóñêàåìîé óðàâíåíèÿìè ãðóïïûñèììåòðèé. Ýòî òðåáîâàíèå íå ÿâëÿåòñÿ èñêóññòâåííûì â áîëüøèíñòâå ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé îêðóæàþùåãîìèðà ñèììåòðèÿ çàëîæåíà â èçíà÷àëüíóþ ôîðìóëèðîâêó ïóòåì èñïîëüçîâàíèÿ ñâîéñòâ îäíîðîäíîñòè è èçîòðîïíîñòè ïðîñòðàíñòâà, ïðåäïîëîæåíèé î ãàëèëååâîé èëè ëîðåíöîâîé èíâàðèàíòíîñòè ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ è ò.ä. ×åòêèåàëãîðèòìû ïî âû÷èñëåíèþ ãðóïïû ñèììåòðèè ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è ïî åå èñïîëüçîâàíèþ äëÿïîñòðîåíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé è àíàëèçà ñâîéñòâ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ïîçâîëÿþò èñïîëüçîâàòü òåîðèþ êàê óäîáíûéèíñòðóìåíò èññëåäîâàíèÿ äàæå áåç çíàíèÿ ãëóáîêèõ òåîðåòè÷åñêèõ îñíîâ ãðóïïîâîãî àíàëèçà.Ó÷åáíîå ïîñîáèå èìååò öåëüþ ïðîäåìîíñòðèðîâàòü è ïîìî÷ü â îñâîåíèè îñíîâíûõ àëãîðèòìîâ ãðóïïîâîãî àíàëèçà.
Çäåñü íåò äîêàçàòåëüñòâ ïðèâîäèìûõ òåîðåì, îäíàêî âñå àëãîðèòìû è îïðåäåëåíèÿ èëëþñòðèðóþòñÿ ïîäðîáíîðàçîáðàííûìè ïðèìåðàìè. Äëÿ óãëóáëåííîãî èçó÷åíèÿ, ÷èòàòåëþ ïðåäëàãàþòñÿ óïðàæíåíèÿ, ïîçâîëÿþùèå îòðàáîòàòü ¾òåõíèêó¿ ãðóïïîâîãî àíàëèçà. Ñòðóêòóðà ïîñîáèÿ ñîîòâåòñòâóåò êóðñó ¾Ãðóïïîâîé àíàëèç äèôôåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé¿, ðàçðàáîòàííîìó Ë.Â. Îâñÿííèêîâûì è íà ïðîòÿæåíèè ìíîãèõ ëåò ÷èòàåìîãî â Íîâîñèáèðñêîì ãîñóíèâåðñèòåòå.Ïðè ïîäãîòîâêå ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ àâòîðû îïèðàëèñü íà ôóíäàìåíòàëüíûå ðàáîòû Ë.Â. Îâñÿííèêîâà [1][5], Í.Õ.Èáðàãèìîâà [6][9] è Ï. Îëâåðà [10].31Îäíîïàðàìåòðè÷åñêèå ãðóïïû Ëè,îïåðàòîðû è èíâàðèàíòû1.1Ëîêàëüíàÿ ãðóïïà ËèÐàññìàòðèâàþòñÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ T : Rn → Rn , îïðåäåëÿåìûå ôîðìóëîé x = f (x); x, x ∈ Rn . Ïðåäïîëàãàåòñÿ,÷òî ïðåîáðàçîâàíèÿ T îáðàòèìû, ò.å.
ñóùåñòâóåò T −1 òàêîå, ÷òî x = T −1 x. Ïðîèçâåäåíèåì ïðåîáðàçîâàíèé T1 è T2ÿâëÿåòñÿ èõ êîìïîçèöèÿ, ò.å. ïîñëåäîâàòåëüíîå ïðèìåíåíèå (T1 T2 )x = T1 (T2 x). Çàäàííîå òàêèì ïðàâèëîì óìíîæåíèåîáëàäàåò ñâîéñòâîì àññîöèàòèâíîñòè: T1 (T2 T3 ) = (T1 T2 )T3 . Ðàññìîòðèì ñåìåéñòâî ïðåîáðàçîâàíèé {Ta }, çàâèñÿùåå îòâåùåñòâåííîãî ïàðàìåòðà a ∈ ∆ ⊂ R è îïðåäåëÿåìîå ôîðìóëàìè x = f (x, a); x, x ∈ Rn .Ñåìåéñòâî ïðåîáðàçîâàíèé {Ta } íàçûâàåòñÿ ëîêàëüíîé îäíîïàðàìåòðè÷åñêîé íåïðåðûâíîé ãðóïïîéËè, åñëè ñóùåñòâóåò èíòåðâàë ∆0 ⊂ ∆ òàêîé, ÷òî âûïîëíåíû ñëåäóþùèå àêñèîìû:10 {T } çàìêíóòî â ∆0 îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè óìíîæåíèÿ, ò.å. äëÿ âñåõ a, b ∈ ∆0 âûïîëíåíî Ta Tb = Tc ∈ {T }, ãäåc = ϕ(a, b) ∈ ∆0 çàêîí óìíîæåíèÿ â ãðóïïå;20 Çàêîí óìíîæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ãëàäêèì, ò.å.
ϕ(a, b) ∈ C 2 (∆0 × ∆0 );30 Ñåìåéñòâî {T } ëîêàëüíî óïîðÿäî÷åíî â ∆0 , ò.å. äëÿ ëþáûõ a, b ∈ ∆0 èç Ta = Tb ñëåäóåò a = b.40 Ñåìåéñòâî {T } ñîäåðæèò åäèíèöó â ∆0 , ò.å. ñóùåñòâóåò a0 ∈ ∆0 òàêîå, ÷òî Ta0 = I òîæäåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå.Îïðåäåëåíèå 1.Èç òåîðåìû î íåÿâíîé ôóíêöèè è óêàçàííîé ñèñòåìû àêñèîì ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå îáðàòíîãî ýëåìåíò, ò.å. äëÿëþáîãî a ∈ ∆0 ñóùåñòâóåò a−1 ∈ ∆0 òàêîé, ÷òî ϕ(a, a−1 ) = ϕ(a−1 , a) = a0 . Èíòåðâàë ∆0 ìîæåò áûòü âûáðàí äîñòàòî÷íîìàëûì òàê, ÷òîáû â íåì âûïîëíÿëèñü àêñèîìû, ïîýòîìó â îïðåäåëåíèè ãðóïïû èñïîëüçóåòñÿ òåðìèí ¾ëîêàëüíàÿ¿. Âäàëüíåéøåì îäíîïàðàìåòðè÷åñêàÿ íåïðåðûâíàÿ ãðóïïà Ëè ëîêàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì G1 .Îïðåäåëåíèå 2.Ïàðàìåòð a íàçûâàåòñÿ êàíîíè÷åñêèì , åñëè çàêîí óìíîæåíèÿ â ãðóïïå G1 îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîéϕ(a, b) = a + b.4Òåîðåìà 1. ëþáîé ãðóïïå G1 ìîæíî ââåñòè êàíîíè÷åñêèé ïàðàìåòð ā ñîãëàñíî ôîðìóëåZ a∂ϕ(a, b) ds., A(a) =ā =∂b a0 A(s)b=a0Òàê êàê ϕ(a0 , b) = b, òî A(a0 ) = 1.
Ñëåäîâàòåëüíî, â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè a0 èíòåãðàë îò ôóíêöèè A−1 ,îïðåäåëÿþùèé êàíîíè÷åñêèé ïàðàìåòð ā, ñóùåñòâóåò.Ïðèìåð 1. Ñåìåéñòâî ïðåîáðàçîâàíèé â R2 (x, y) çàäàåòñÿ ôîðìóëàìè(√x = 1 − a2 x + a y,Ta :a ∈ ∆ = [−1, 1].√y = −a x + 1 − a2 y,Ïîêàæåì, ÷òî ðàññìàòðèâàåìîå ïðåîáðàçîâàíèå ÿâëÿåòñÿ îäíîïàðàìåòðè÷åñêîé ëîêàëüíîé ãðóïïîé Ëè G1 , íàéäåìçàêîí óìíîæåíèÿ è ââåäåì êàíîíè÷åñêèé ïàðàìåòð.Ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèìåíèì ïðåîáðàçîâàíèÿ Ta è Tb :pp1 − b2 x + b y = (1 − a2 )(1 − b2 ) − ab x+pp2+ a 1 − b + b 1 − a2 ypppy = −b x + 1 − b2 y = − a 1 − b2 + b 1 − a2 x+p+(1 − a2 )(1 − b2 ) − ab y√√√2 + b 1 − a2 .
Íåïîñðåäñòâåííûì âû÷èñëåíèåì ìîæíî óáåäèòñÿ â òîì, ÷òîÎáîçíà÷èìc=ϕ(a,b)=a1−b1 − c2 =p(1 − a2 )(1 − b2 ) − ab. Ñëåäîâàòåëüíî,(√x = 1 − c2 x + c y√y = −c x + 1 − c2 yx=Ïîëó÷åíî ïðåîáðàçîâàíèå òîãî æå âèäà Tc = Tb Ta ñ çàêîíîì óìíîæåíèÿ c = ϕ(a, b). Îòìåòèì ñóùåñòâîâàíèå åäèíè÷íîãî ýëåìåíòà a0 = 0 è îáðàòíîãî a−1 = −a. Äëÿ îáåñïå÷åíèÿ ãëàäêîñòè çàêîíà óìíîæåíèÿ íà÷àëüíûé îòðåçîê ∆5íóæíî óìåíüøèòü äî èíòåðâàëà ∆0 = (−1, 1).
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
