1626435102-9ccf6d0a03aed727d9bf8add4160ccd9 (844153), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

 òåðìèíàõ ôóíêöèè u(t) ïðîèçâîäíàÿ y 00ïåðåñ÷èòûâàåòñÿ â âèäåy 00 =1x2du(u + 2) − u .dtÈñõîäíîå óðàâíåíèå (7.15) ïîñëå óïðîùåíèÿ çàïèñûâàåòñÿ â íîâûõ ïåðåìåííûõ ñëåäóþùèì îáðàçîì:du(u + 2) + et = 0.dt(7.16)Ýòî óðàâíåíèå íåñëîæíî ïðîèíòåãðèðîâàòü è áåç ïðèâëå÷åíèÿ ìåòîäîâ ãðóïïîâîãî àíàëèçà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, îäíàêî äëÿ äåìîíñòðàöèè èçëîæåííîãî âûøå àëãîðèòìà ìû ïðîäîëæèì äåéñòâîâàòü ïðåäïèñàííûì ñïîñîáîì.Äàëåå íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü äåéñòâèå îïåðàòîðà X1 â ïðîñòðàíñòâå R2 (t, u). Åãî ïðîäîëæåíèå èìååò âèäX1 = x ln x ∂x − 2(1 + ln x)∂y −12+ y 0 (1 + ln x) ∂y0xÄåëàåì çàìåíó ïåðåìåííûõ (x, y, y 0 ) → (x, t, u) ïî ôîðìóëå (1.3):e1 = x ln x∂x − 2∂t − (2 + u)∂u .X1Òàêèì îáðàçîì, èíäóöèðîâàííûé îïåðàòîð, äîïóñêàåìûé óðàâíåíèåì (7.16) è óíàñëåäîâàííûé èç èñõîäíîé ãðóïïûñèììåòðèé óðàâíåíèÿ (7.15) åñòüY = 2∂t + (2 + u)∂u .115Ìû èñïîëüçóåì îïåðàòîð Y äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèÿ (7.16). Ïåðåïèøåì åãî â âèäå 1-ôîðìû:et dt + (u + 2)du = 0. ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 24 èíòåãðèðóþùèì ìíîæèòåëåì äëÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ µ = (2 et + (u +2)2 )−1 .

Ïðÿìîé ïðîâåðêîé íåñëîæíî óáåäèòñÿ, ÷òî 1-ôîðìà (2 et + (u + 2)2 )−1 (et dt + (u + 2)du) äåéñòâèòåëüíî çàìêíóòàè ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëîì ôóíêöèè 0.5 ln 2 et + (u + 2)2 . Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (7.16) èìååò âèä2 et + (u + 2)2 = C12 .ñ ïðîèçâîëüíîé êîíñòàíòîé C1 . Âîçâðàùàåìñÿ ê èñõîäíûì ïåðåìåííûì ïîäñòàâëÿÿ â ýòî óðàâíåíèå âûðàæåíèÿ äëÿ uè t â òåðìèíàõ x è y :2x2 ey + (xy 0 + 2)2 = C12 .Ýòî óðàâíåíèå ïî ïîñòðîåíèþ äîïóñêàåò îïåðàòîð X2 . Ìîæíî, îïÿòü æå, âûïèñàòü èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü ýòîãîóðàâíåíèÿ, îäíàêî âìåñòî ýòîãî ìû ñâåäåì åãî ê óðàâíåíèþ ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè, ââåäÿ íîâóþ èñêîìóþôóíêöèþ, ÿâëÿþùóþñÿ èíâàðèàíòîì X2 : z = y + 2 ln x.

Îòñþäà y 0 = z 0 − 2/x. Ïîäñòàíîâêà â ïðåäûäóùåå óðàâíåíèåäàåò(xz 0 )2 = C12 − 2ez .Ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ ñâîäèò ðåøåíèå ÎÄÓ ê âû÷èñëåíèþ èíòåãðàëîâZZdzpC12 − 2ez=±dx.xÏîäñòàíîâêà âûðàæåíèÿ äëÿ z è ðàçðåøåíèå ïîëó÷åííîé çàâèñèìîñòè îòíîñèòåëüíî y ïðèâîäèò ê îáùåìó ðåøåíèþóðàâíåíèÿ (7.15) â âèäåy = − ln C1−2 x2 (1 + ch(C1 ln(C2 x))) .7.5Çàäà÷è1. Ïðîèíòåãðèðîâàòü ÎÄÓ ìåòîäîì èíòåãðèðóþùåãî ìíîæèòåëÿ116(a) y 0 + y 2 − 2x−2 = 0(X = x∂x − y∂y );(b) y 0 − sin(x−1 y) = 0(X = x∂x + y∂y );(c) y 0 − (x + y)2 = 0(X = ∂x − ∂y );(d) y 0 − (x + exp(y))−1 y = 0(e) xy 0 −yln(x)+exp(y)−1−1(f) y 0 − x y + x(X = y∂x );(X = xy∂x );=0(X = x2 ∂x + xy∂y ).ln(x−1 y) = 02. Ïðèìåíèòü ìåòîä ¾âûïðÿìëåíèÿ¿ äîïóñêàåìîãî îïåðàòîðà äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ÎÄÓ(a) (y 0 )2 − y − x2 = 0(X = x∂x + 2y∂y );(b) xy 0 − y + exp(y/x) = 0(X = x2 ∂x + xy∂y );(c) y 0 − x−1 y + x exp(x−1 y) = 0(X = ∂x + x−1 y∂y );(d) xy 0 − y ln(y) + y exp(x) = 0(X = xy∂y );√y+x x2 +y 20√ 2 2 =0(e) y −x−y(X = y∂x − x∂y );x +y(f) y 0 + x2 sin(x−3 y) = 0(X = x∂x + 3y∂y ).3.

Ïîêàçàòü, ÷òî ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà äîïóñêàåò îïåðàòîð X è ñ åãî ïîìîùüþ ïîíèçèòü ïîðÿäîê óðàâíåíèÿ (F ïðîèçâîëüíàÿ ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ)(a) xy 00 = F (x−1 y, y 0 )(X = x∂x + y∂y );p0(b) y 00 = (1 + y 02 )3/2 F ( x2 + y 2 , y−xy(X = y∂x − x∂y );x+yy 0 )(c) x2 y 00 = F (y, yy 0 ),(X = x∂x );(d) xy 00 + y 0 = x2 (y 0 )3 F (y, xyy 0 − ln(x)),0(e) yy 00 = y 2 + y 2 F (x, xyy − ln(y)),(X = xy∂x );(X = xy∂y );117(f) x3 y 00 = F (x−1 y, xy 0 − y),(X = x2 ∂x + xy∂y ).4. Ïðîèíòåãðèðîâàòü (ïîíèçèòü ïîðÿäîê) ÎÄÓ âòîðîãî ïîðÿäêà èç çàäà÷è 4 ïàðàãðàôà 2.5 èñïîëüçóÿ ìåòîä äèôôåðåíöèàëüíûõ èíâàðèàíòîâ.118Ñïèñîê ëèòåðàòóðû[1] Îâñÿííèêîâ Ë.Â.

Ãðóïïîâîé àíàëèç äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé Ì.: Íàóêà, 1978.[2] Îâñÿííèêîâ Ë.Â. Ëåêöèè ïî îñíîâàì ãàçîâîé äèíàìèêè Ìîñêâà-Èæåâñê, 2003.[3] Îâñÿííèêîâ Ë.Â. Ãðóïïîâûå ñâîéñòâà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Íîâîñèáèðñê: Èçä. ÑÎ ÀÍ ÑÑÑÐ, 1962.[4] Îâñÿííèêîâ Ë.Â. Îá îïòèìàëüíûõ ñèñòåìàõ ïîäàëãåáð // ÄÀÍ ÐÀÍ. 1993. Ò. 333, 6. C. 702704.[5] Îâñÿííèêîâ Ë.Â. Ïðîãðàììà ÏÎÄÌÎÄÅËÈ.

Ãàçîâàÿ äèíàìèêà // ÏÌÌ. 1994. Ò. 58,  4. Ñ. 3055.[6] Èáðàãèìîâ Í.Õ. Ãðóïïû ïðåîáðàçîâàíèé â ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå Ì.: Íàóêà, 1983.[7] Èáðàãèìîâ Í.Õ. Àçáóêà ãðóïïîâîãî àíàëèçà Ì.: Çíàíèå, 1989.[8] Èáðàãèìîâ Í.Õ. Îïûò ãðóïïîâîãî àíàëèçà Ì.: Çíàíèå, 1991.[9] Ibragimov N.H. (ed.) CRC Handbook of Lie Group Analysis of Dierential Equations, Vol. 13. CRC Press, Boca Raton,1994.[10] Îëâåð Ï. Ïðèëîæåíèÿ ãðóïï Ëè ê äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì.

Ì.: Ìèð, 1989.119.

Характеристики

Список файлов книги