1626435102-9ccf6d0a03aed727d9bf8add4160ccd9 (844153), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Îïòèìàëüíàÿ ñèñòåìà îäíîìåðíûõ ïîäàëãåáð Θ1 L òàêîâà:Θ1 L : {X1 }, {X2 }, {hϕi1mod A1 A2 }, {hψi2mod A1 A2 }.(6.27)˙ L∞ . Ïðè÷åì, áåñêîÐàññìàòðèâàåìàÿ àëãåáðà L èìååò ñëåäóþùóþ ñòðóêòóðó: L = L2 ⊕íå÷íîìåðíàÿ ÷àñòü L∞ ÿâëÿåòñÿ èäåàëîì â L, à L2 ïîäàëãåáðîé. Ýòî åñòåñòâåííîå ðàçëîæåíèå â ïîëóïðÿìóþ ñóììóèäåàëà è ïîäàëãåáðû ìîæíî èñïîëüçîâàòü êàê îñíîâó ïðèìåíåíèÿ äâóõøàãîâîãî àëãîðèòìà. Îïòèìàëüíàÿ ñèñòåìàïîäàëãåáð äëÿ ïîäàëãåáðû L2 â ñèëó ïðåäûäóùåãî ïîñòðîåíèÿ ñîñòîèò èç äâóõ îäíîìåðíûõ ïîäàëãåáð {X1 } è {X2 }, àòàêæå ñàìîé äâóìåðíîé àëãåáðû L2 = {X1 , X2 }. Òàêèì îáðàçîì, äâóìåðíûå ïîäàëãåáðû àëãåáðû L ïîëó÷àþòñÿ ëèáîäîïîëíåíèåì äâóìåðíîé ïîäàëãåáðû, ëèáî ðàñøèðåíèåì îäíîìåðíûõ è íóëüìåðíîé ïîäàëãåáð. ïåðâîì ñëó÷àå çàïèøåì îáùèé âèä äâóìåðíîé ïîäàëãåáðû ñëåäóþùèì îáðàçîì:Ïîäàëãåáðû ðàçìåðíîñòè 2.{X1 + hϕ1 i1 + hψ1 i2 ,X2 + hϕ2 i1 + hψ2 i2 }.Çäåñü ôóíêöèè ϕi è ψi , i = 1, 2 ÿâëÿþòñÿ ïîêà íåîïðåäåëåííûìè.
Ïðîâåðèì óñëîâèå ïîäàëãåáðû:[X1 + hϕ1 i1 + hψ1 i2 ,X2 + hϕ2 i1 + hψ2 i2 ] == X1 + hϕ̇2 i1 + hψ̇2 i2 − htϕ̇1 i1 + hϕ2 ϕ̈1 − ϕ1 ϕ̈2 i2 − htψ̇1 i2 == X1 + hϕ̇2 − tϕ̇1 i1 + hψ̇2 − tψ̇1 + ϕ2 ϕ̈1 − ϕ1 ϕ̈2 i2 . (6.28)Ïîëó÷èâøèéñÿ îïåðàòîð äîëæåí ëèíåéíî âûðàæàòüñÿ ÷åðåç áàçèñíûå îïåðàòîð ïîäàëãåáðû. Îòñþäàϕ̇2 − tϕ̇1 = ϕ1 , ψ̇2 − tψ̇1 + ϕ2 ϕ̈1 − ϕ1 ϕ̈2 = ψ1 .Èç ïåðâîãî ñîîòíîøåíèÿ ïîëó÷àåì ϕ2 = α + tϕ1 ñ ïðîèçâîëüíîé êîíñòàíòîé α. Äàëåå ïðèìåíÿåì àâòîìîðôèçì A3 (ϕ1 ).Îí ïðèâîäèò ðàññìàòðèâàåìóþ ïîäàëãåáðó ê ñëåäóþùåìó ýêâèâàëåíòíîìó âèäó{X1 + hψ1 i2 ,X2 + hαi1 + hψ2 i2 }ñ íåêîòîðûìè íîâûìè ôóíêöèÿìè ψi .
Âíîâü ïðîâåðÿåì óñëîâèå ïîäàëãåáðû:[X1 + hψ1 i2 , X2 + hαi1 + hψ2 i2 ] = X1 + hψ̇2 i2 − htψ̇1 i1 .103Óñëîâèå ïîäàëãåáðû âûïîëíåíî òîëüêî åñëèψ̇2 − tψ̇1 = ψ1⇒ψ2 = β + tψ1 .Ïðèìåíÿÿ àâòîìîðôèçì A4 (ψ1 ), ïîëó÷àåì ýêâèâàëåíòíóþ ñåðèþ ïîäàëãåáð, çàâèñÿùóþ îò ïðîèçâîëüíûõ êîíñòàíò:{X1 , X2 + hαi1 + hβi2 }.Îíà è çàíîñèòñÿ â îïòèìàëüíóþ ñèñòåìó ïîäàëãåáð.Ðàñøèðåíèå îäíîìåðíîé ïîäàëãåáðû {X1 } çà ñ÷åò èäåàëà L∞ äàåò{X1 + hϕ1 i1 + hψ1 i2 , hϕ2 i1 + hψ2 i2 }.Äåéñòâèå àâòîìîðôèçìîâ A3 (σ) è A4 (τ ) ñ ïîäõîäÿùèìè ôóíêöèÿìè σ è τ ïîçâîëÿåò çàíóëèòü ôóíêöèè ϕ1 è ψ1 .Ïðîâåðÿåì óñëîâèå ïîäàëãåáðû:[X1 , hϕ2 i1 + hψ2 i2 ] = hϕ̇2 i1 + hψ̇i2 .Èç óñëîâèÿ ïîäàëãåáðû ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿϕ̇2 = αϕ2 , ψ̇ = αψ.Ñëåäîâàòåëüíî, ϕ = a exp(αt) è ψ = b exp(αt).
Èñïîëüçîâàíèå àâòîìîðôèçìà A2 ïîçâîëÿåò ñäåëàòü α = ±1 èëè α = 0.Òàêèì îáðàçîì, â îïòèìàëüíóþ ñèñòåìó äâóìåðíûõ ïîäàëãåáð çàíîñÿòñÿ ñëåäóþùèå ïðåäñòàâèòåëè:{X1 , ahe±t i1 + bhe±t i2 ; a2 + b2 = 1}, {X1 , ah1i1 + bh1i2 ; a2 + b2 = 1}.Ïðè ðàñøèðåíèè îäíîìåðíîé ïîäàëãåáðû {X2 } àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ñåðèþ ïðåäñòàâèòåëåéêëàññîâ ýêâèâàëåíòíûõ ïîäàëãåáð:{X2 , ah|t|k i1 + bh|t|k i2 ; a2 + b2 = 1}.Çäåñü k , a è b ïðîèçâîëüíûå âåùåñòâåííûå êîíñòàíòû.Îñòàëîñü âûïîëíèòü ðàñøèðåíèå íóëüìåðíîé ïîäàëãåáðû L2 , ò.å. ðàññìîòðåòü äâóìåðíûå ïîäàëãåáðû L âèäà{hϕ1 i1 + hψ1 i2 , hϕ2 i1 + hψ2 i2 }.104Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ϕ1 6= 0. Äåéñòâèåì àâòîìîðôèçìà A3 ìîæíî çàíóëèòü ôóíêöèþ ψ1 .
Êðîìå òîãî, îïåðàòîð ϕ1 áóäåìðàññìàòðèâàòü ïî ìîäóëþ àâòîìîðôèçìîâ A1 A2 . Ïðîâåðÿåì óñëîâèå ïîäàëãåáðû:[hϕ1 i1 , hϕ2 i1 + hψ2 i2 ] = hϕ2 ϕ̈1 − ϕ1 ϕ̈2 i2 .Ýòîò îïåðàòîð äîëæåí ëèíåéíî âûðàæàòüñÿ ÷åðåç áàçèñíûå îïåðàòîðû ðàññìàòðèâàåìîé ïîäàëãåáðû. Ðàçëè÷àþòñÿ äâàñëó÷àÿ: ϕ2 6= 0 è ϕ2 = 0.  ïåðâîì ñëó÷àå ïîëó÷èâøèéñÿ â ðåçóëüòàòå êîììóòèðîâàíèÿ îïåðàòîð äîëæåí çàíóëèòüñÿ,ò.å. ϕ2 ϕ̈1 −ϕ1 ϕ̈2 = 0. Âî âòîðîì óñëîâèå ïîäàëãåáðû âûïîëíåíî àâòîìàòè÷åñêè äëÿ ëþáîé ôóíêöèè ψ2 . Òàêèì îáðàçîì,â îïòèìàëüíàÿ ñèñòåìà ïîäàëãåáð ïîïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùèìè ïðåäñòàâèòåëÿìè:{hϕ1 i1 mod A1 A2 , hϕ2 i1 + hψi2 ; ϕ2 ϕ̈1 − ϕ1 ϕ̈2 = 0}, {hϕi1 mod A1 A2 , hψi2 }.Íàêîíåö, â ñëó÷àå ϕi = 0 åäèíñòâåííûì âàðèàíòîì ÿâëÿåòñÿ ïðåäñòàâèòåëü{hψ1 i2mod A1 A2 , hψ2 i2 }.Òàêèì îáðàçîì, îïòèìàëüíàÿ ñèñòåìà äâóìåðíûõ ïîäàëãåáð ñîñòîèò èç ñëåäóþùèõ ïðåäñòàâèòåëåé:{X1 , X2 + ah1i1 + bh1i2 ; a2 + b2 = 1},{X1 , ahe±t i1 + bhe±t i2 ; a2 + b2 = 1},{X1 , ah1i1 + bh1i2 ; a2 + b2 = 1},Θ2 L :{X2 , ah|t|k i1 + bh|t|k i2 ; a2 + b2 = 1}{hϕ1 i1{hϕi1{hψ1 i2mod A1 A2 , hϕ2 i1 + hψi2 ; ϕ2 ϕ̈1 − ϕ1 ϕ̈2 = 0},mod A1 A2 , hψi2 },mod A1 A2 , hψ2 i2 }.Çäåñü k , a, b âåùåñòâåííûå êîíñòàíòû, ïîä÷èíåííûå óêàçàííûì îãðàíè÷åíèÿì; ϕi , ψi ïðîèçâîëüíûå, íî ôèêñèðîâàííûå â êàæäîé äâóìåðíîé ïîäàëãåáðå ôóíêöèè.
Àíàëîãè÷íûì ñïîñîáîì ìîæíî ñòðîèòü îïòèìàëüíûå ñèñòåìûïîäàëãåáð ðàçìåðíîñòè 3 è âûøå.105Êàê è â ñëó÷àå êîíå÷íîìåðíûõ àëãåáð Ëè, áûâàåò ïîëåçíî âû÷èñëèòü íîðìàëèçàòîðû ïîëó÷èâøèõñÿ ïðåäñòàâèòåëåéîïòèìàëüíîé ñèñòåìû. Ïðè ýòîì âîçìîæíû ñïåöèàëèçàöèè âõîäÿùèõ â ïîäàëãåáðû ôóíêöèé è êîíñòàíò. Ïðîäåìîíñòðèðóåì âû÷èñëåíèå íîðìàëèçàòîðà íà ïðèìåðå îäíîìåðíîé ïîäàëãåáðû {hϕi1 mod A1 A2 }. Âû÷èñëÿåì êîììóòàòîðáàçèñíîãî îïåðàòîðà àëãåáðû ñ ïðîèçâîëüíûì îïåðàòîðîì èç L:[hϕi1 , x1 X1 + x2 X2 + hθi1 + hψi2 ] = −x1 hϕ̇i1 − x2 htϕ̇i1 + hθϕ̈ − ϕθ̈i2Ðàçëè÷àþòñÿ ñëåäóþùèå ñëó÷àè.
Ïðè ïðîèçâîëüíîé ôèêñèðîâàííîé ôóíêöèè ϕ íîðìàëèçàòîðîì ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íîìåðíàÿ ïîäàëãåáðà:Nor L {hϕi1 } = {hθi1 , hψi2 ; θϕ̈ = ϕθ̈}ñ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèåé ψ è ôóíêöèåé θ, óäîâëåòâîðÿþùåé óêàçàííîìó ðàâåíñòâó.Äàëåå, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèÿ ϕ óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (x1 + tx2 )ϕ̇ = αϕ. Ðàçëè÷àþòñÿ äâà ñëó÷àÿ: x2 6= 0è x2 = 0.  ïåðâîì ñëó÷àå2ϕ = C|x1 + x2 t|α/x ' |t|k .Ïðè âûâîäå ôîðìóëû èñïîëüçîâàíî òî, ÷òî ôóíêöèÿ ϕ çàäàíà ïî ìîäóëþ àâòîìîðôèçìîâ A1 A2 , äåéñòâèå êîòîðûõïîçâîëèëî óïðîñòèòü âèä ôóíêöèè. Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ θ ϕ̈ = ϕ θ̈ ïðè ϕ = |t|k åñòü θ = a|t|k + b|t|1−k . Òàêèìîáðàçîì,Nor L {h|t|k i1 } = {X2 , h|t|k i1 , h|t|1−k i1 , hψi2 }.Ïðè x2 = 0ϕ = Ceαt 'Èìååì,e±t , α 6= 0,1, α = 0.Nor L {he±t i1 } = {X1 , het i1 , he−t i1 , hψi2 }.Íàêîíåö, ïðè ϕ = const íîðìàëèçàòîð íàèáîëåå øèðîêèé:Nor L {h1i1 } = {X1 , X2 , hθi1 , hψi2 } = L.Òàêèì îáðàçîì, íîðìàëèçàòîð ïîäàëãåáðû {hϕi1 mod A1 A2 } ìåíÿåòñÿ â çàâèñèìîñòè îò âèäà ôóíêöèè ϕ.1066.4Çàäà÷è1.
Ïîñòðîèòü îïòèìàëüíûå ñèñòåìû ïîäàëãåáð äëÿ àëãåáð Ëè L(a) L3 : X1 = ∂x , X2 = ∂y , X3 = x∂x + (x + y)∂y ;(b) L3 : X1 = ∂x + ∂p , X2 = ∂y + ∂q , X3 = y∂x − x∂y + q∂p − p∂q ;(c) L3 : X1 = ∂t , X2 = t2 ∂t + tx∂x + ty∂y , X3 = 2t∂t + x∂x + y∂y ;(d) L4 : X1 = ∂t , X2 = ∂x , X3 = 2t∂t + x∂x , X4 = 4t∂t − u∂u ;(e) L4 : X1 = ∂t , X2 = ∂x , X3 = t∂x + ∂u , X4 = 3t∂t + x∂x − 2u∂u .2.
Ïîñòðîèòü îïòèìàëüíûå ñèñòåìû ïîäàëãåáð äëÿ àëãåáð Ëè L èñïîëüçóÿ äâóõýòàïíûé àëãîðèòì(a) L5 : X1 = ∂t , X2 = ∂x , X3 = 2t∂t + x∂x , X4 = 4t∂t − u∂u , X5 = x2 ∂x + xu∂u ;(b) L6 : X1 = ∂x , X2 = ∂y , X3 = t∂x + ∂u , X4 = t∂y + ∂v , X5 = y∂x − x∂y + v∂u − u∂v , X6 = x∂x + y∂y + u∂u + v∂v ;(c) L6 : X1 = y∂z − z∂y + v∂w − w∂v , X2 = z∂x − x∂z + w∂u − u∂w , X3 = x∂y − y∂x + u∂v − v∂u , X4 = ∂t ,X5 = t∂t + x∂x + y∂y + z∂z , X6 = t∂t − u∂u − v∂v − w∂w .7Ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ ÎÄÓÐàññìàòðèâàåòñÿ îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (ÎÄÓ) k -ãî ïîðÿäêà âèäàF (x, y, y 0 , y 00 , . . .
, y (k) ) = 0.(7.1)Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óðàâíåíèå (7.1) äîïóñêàåò íåïðåðûâíóþ ãðóïïó ïðåîáðàçîâàíèé Gr ïðîñòðàíñòâà R2 (x, y). Íàøåéçàäà÷åé ÿâëÿåòñÿ èñïîëüçîâàíèå äîïóñêàåìîé ãðóïïû ïðåîáðàçîâàíèé ñ öåëüþ èíòåãðèðîâàíèÿ â êâàäðàòóðàõ èëèïîíèæåíèÿ ïîðÿäêà óðàâíåíèÿ (7.1). Íà÷íåì ñî ñëó÷àÿ îäíîïàðàìåòðè÷åñêîé äîïóñêàåìîé ãðóïïû ñèììåòðèé.1077.1Ìåòîä èíòåãðèðóþùåãî ìíîæèòåëÿÝòîò ìåòîä ãîäèòñÿ â òîì ñëó÷àå, åñëè èñõîäíîå óðàâíåíèå (7.1) ïåðâîãî ïîðÿäêà.
Çàïèøåì åãî â ýêâèâàëåíòíîì âèäåäèôôåðåíöèàëüíîé 1-ôîðìû:M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0.(7.2)Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óðàâíåíèå (7.2) äîïóñêàåò îäíîïàðàìåòðè÷åñêóþ ãðóïïó ñèììåòðèé G1 ñ èíôèíèòåçèìàëüíûìîïåðàòîðîìX = ξ(x, y)∂x + η(x, y)∂y .(7.3)Íàïîìíèì, ÷òî èíòåãðèðóþùèì ìíîæèòåëåì äëÿ óðàâíåíèÿ (7.2) ÿâëÿåòñÿ òàêàÿ ôóíêöèÿ µ(x, y), ïðè óìíîæåíèè íàêîòîðóþ 1-ôîðìà, ñòîÿùàÿ â ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (7.2) ñòàíîâèòñÿ çàìêíóòîé, ò.å.
ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì äèôôåðåíöèàëîìíåêîòîðîé ôóíêöèè.Èíòåãðèðóþùèì ìíîæèòåëåì äëÿ óðàâíåíèÿ (7.2), äîïóñêàþùåãî ãðóïïó ñ èíôèíèòåçèìàëüíûì îïåðàòîðîì (7.3) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ1µ=.ξM + ηNÓêàçàííûé ìåòîä íå ðàáîòàåò, êîãäà ξM +ηN = 0. Ýòîò ñëó÷àé ñîîòâåòñòâóåò òðèâèàëüíîé ñèììåòðèè ÎÄÓ ïåðâîãîïîðÿäêà, çàäàâàåìîé ôîðìóëîé (2.13).Òåîðåìà 24.7.2Ìåòîä ¾âûïðÿìëåíèÿ¿ äîïóñêàåìîãî îïåðàòîðàÝòîò ìåòîä ðàáîòàåò äëÿ óðàâíåíèé ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà. Èòàê, ïóñòü óðàâíåíèå (7.1) äîïóñêàåò ãðóïïó ïðåîáðàçîâàíèé ñ èíôèíèòåçèìàëüíûì îïåðàòîðîì (7.3). Ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííûõ (x, y) → (t, u), ïðèâîäÿùóþ îïåðàòîðe = ∂t .
Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî âûáðàòü ôóíêöèè t(x, y) è u(x, y) òàê, ÷òîáûX ê îïåðàòîðó ïåðåíîñà ïî u: XXt(x, y) = 1,Xu(x, y) = 0.(7.4)Ôóíêöèÿ u ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì îïåðàòîðà X . Ðåøåíèå âòîðîãî óðàâíåíèÿ (7.4) äàåò ôóíêöèîíàëüíî íåçàâèñèìóþñ u ôóíêöèþ t.  íîâûõ ïåðåìåííûõ óðàâíåíèå (7.1) èìååò âèäFe(u, u0 , u00 , . . . , u(k) ) = 0.108e = ∂t , à çíà÷èò ÿâëÿåòñÿ àâòîíîìíûì. Ïîðÿäîê ýòîãî óðàâíåíèÿ ïîíèæàåòñÿ ñòàíäàðòíîéÎíî äîïóñêàåò îïåðàòîð Xçàìåíîé u0 = p(u), u00 = pp0 è ò.ä.Îòûñêàíèå íóæíûõ ôóíêöèé t(x, y), u(x, y) òðåáóåò èíòåãðèðîâàíèå ÎÄÓ. Ýòî ìîæåò áûòü ñëîæíîé çàäà÷åé.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
