1626435102-9ccf6d0a03aed727d9bf8add4160ccd9 (844153), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Â÷àñòíîñòè, ïîïûòêà ïðèìåíåíèÿ äàííîãî ìåòîäà äëÿ óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà è òðèâèàëüíîé ñèììåòðèè (2.13) ïðèâîäèò ê óðàâíåíèþ äëÿ íàõîæäåíèÿ èíâàðèàíòà t, â òî÷íîñòè ñîâïàäàþùåãî ñ èñõîäíûì óðàâíåíèåì. Òàêèì îáðàçîì,òðèâèàëüíàÿ ñèììåòðèÿ íèêàêîé ïîëåçíîé èíôîðìàöèè îá èíòåãðèðîâàíèè óðàâíåíèÿ íå äàåò. Îäíàêî, äëÿ ñèììåòðèéóðàâíåíèé ñòàðøèõ ïîðÿäêîâ èëè íåòðèâèàëüíûõ ñèììåòðèé óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà äàííûå ìåòîäû ÿâëÿþòñÿî÷åíü äåéñòâåííûìè.Ïðèìåð 37. Óðàâíåíèåy01y = 2−yxyäîïóñêàåò äâóìåðíóþ ãðóïïó ïðåîáðàçîâàíèé, ïîðîæäàåìóþ îïåðàòîðàìè00X1 = x∂x + (1/2)y∂y ,(7.5)X2 = x2 ∂x + xy∂y .Äëÿ ïîíèæåíèÿ ïîðÿäêà óðàâíåíèÿ âîñïîëüçóåìñÿ îïåðàòîðîì X1 .
 êà÷åñòâå íîâîé íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé ìîæ√íî âûáðàòü ôóíêöèþ t = ln x. Èíâàðèàíòîì X1 ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ u = y/ x.  òåðìèíàõ çàâèñèìîñòè u = u(t)ïðîèçâîäíûå ïåðåïèñûâàþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.y=√xu(t)⇒1y =√x0du u+,dt200y =1x3/2d2 u u−.dt24Óðàâíåíèå â íîâûõ ïåðåìåííûõ ñòàíîâèòñÿ àâòîíîìíûì:d2 udu4u−4− u3 + 2u = 0.2dtdt2Çàìåíà ïåðåìåííûõ u0 = p(u) ïðèâîäèò ê óðàâíåíèþ ïåðâîãî ïîðÿäêà4u2 p p0 − 4p − u3 + 2u = 0.109(7.6)Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî ïîíèçèòü ïîðÿäîê óðàâíåíèÿ, âîñïîëüçîâàâøèñü îïåðàòîðîì X2 .
Äëÿ åãî ¾âûïðÿìëåíèÿ¿ ââîäÿòñÿ ïåðåìåííûå t = 1/x, u = y/x. Ïåðåñ÷åò ïðîèçâîäíûõ äàåòy = xuÓðàâíåíèå ïåðåïèñûâàåòñÿ â âèäå⇒y 0 = −tdu+ u,dty 00 = t3d2 u.dt2d2 u duu+= 0.dt2dt2(7.7)Åãî ïîðÿäîê ïîíèæàåòñÿ òåì æå ñïîñîáîì.Îòìåòèì, ÷òî äàííûé ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèé îáëàäàåò òåì íåäîñòàòêîì, ÷òî ïîíèæåíèå ïîðÿäêà ïðîèñõîäèò â äâà ýòàïà: âíà÷àëå óðàâíåíèå ïðèâîäèòñÿ ê àâòîíîìíîìó, à çàòåì ñòàíäàðòíîé çàìåíîé ñâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþìåíüøåãî ïîðÿäêà.
Ñëåäóþùèé ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ, îñíîâàííûé íà äèôôåðåíöèàëüíûõ èíâàðèàíòàõ äîïóñêàåìîéãðóïïû, ïîçâîëÿåò ïðîäåëàòü òî æå ïîíèæåíèå ïîðÿäêà çà îäèí øàã.7.3Ìåòîä äèôôåðåíöèàëüíûõ èíâàðèàíòîâÐàññìîòðèì äåéñòâèå ãðóïïû G1 â ïðîäîëæåííîì ïðîñòðàíñòâå Z = Rk+2 (x, y, y 0 , . . . , y (k) ). Ïðîäîëæåíèå îïåðàòîðàkX èìååò âèä X = ξ∂x + η∂y + ζ1 ∂y0 + . . .
+ ζk ∂y(k) , ãäå êîýôôèöèåíòû ζi âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì (2.2), (2.3):kζ1 = D η − y 0 D ξ,ζi = D ζi−1 − y (i) D ξ.(7.8)Çäåñü D îïåðàòîð ïîëíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïî x:D = ∂x + y 0 ∂y + y 00 ∂y0 + . . . . + y (i+1) ∂y(i) + . . .Ïðîäîëæåííûé îïåðàòîð X èìååò k + 1 ôóíêöèîíàëüíî íåçàâèñèìûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ èíâàðèàíòîâ.
Òàêèì îáðàkçîì, èìååòñÿ îäèí êîíå÷íûé èíâàðèàíò (çàâèñÿùèé òîëüêî îò x è y ), îäèí èíâàðèàíò ïåðâîãî ïîðÿäêà, è ò.ä. Ñâÿçüìåæäó èíâàðèàíòàìè ðàçíûõ ïîðÿäêîâ ïîêàçûâàåò ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.110Òåîðåìà 25.ïðîèçâîäíàÿÄëÿ ëþáûõ äâóõ äèôôåðåíöèàëüíûõ èíâàðèàíòîâ ãðóïïû G1 u(x, y, y 0 , . . . , y (l) ) è v(x, y, y 0 , . . . , y (k) )Dvdv≡du Duòàêæå ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûì èíâàðèàíòîì ãðóïïû G1 .Äàííàÿ òåîðåìà äàåò âîçìîæíîñòü åäèíîîáðàçíî îïèñàòü äèôôåðåíöèàëüíûå èíâàðèàíòû ãðóïïû G1 ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà â òåðìèíàõ åå èíâàðèàíòîâ íóëåâîãî è ïåðâîãî ïîðÿäêîâ.Åñëè t(x, y) è u(x, y, y 0 ) äèôôåðåíöèàëüíûå èíâàðèàíòíû ãðóïïû G1 , òî åå äèôôåðåíöèàëüíûìèíâàðèàíòîì ïîðÿäêà k + 1 ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ dk u/dtk .Ñëåäñòâèå 1.Îòñþäà è èç òåîðåìû î ïðåäñòàâëåíèè íåîñîáîãî èíâàðèàíòíîãî ìíîãîîáðàçèÿ ïîëó÷àåòñÿ àëãîðèòì ïîíèæåíèÿïîðÿäêà.Ïóñòü G1 ëîêàëüíàÿ ãðóïïà ïðåîáðàçîâàíèé, äåéñòâóþùàÿ â Z = R2 (x, y).
Ïóñòü t = t(x, y) èu = u(x, y, y 0 ) äèôôåðåíöèàëüíûå èíâàðèàíòû ãðóïïû G1 . Òîãäà ëþáîå óðàâíåíèåÒåîðåìà 26.F (x, y, y 0 , . . . , y (k) ) = 0ýêâèâàëåíòíî óðàâíåíèþ k − 1-ãî ïîðÿäêàdudk−1 ueF t, u, , . . . , k−1dtdt= 0.Ïðèìåð 38.  êà÷åñòâå ïðèìåðà âíîâü ðàññìîòðèì óðàâíåíèå (7.5). Íà÷íåì åãî èíòåãðèðîâàíèå ñ îïåðàòîðà X1 . Ïðîäîëæåíèå îïåðàòîðà èìååò âèä11X1 = x∂x + y∂y − y 0 ∂y0 .221√√0Ïðîäîëæåííûé îïåðàòîð èìååò èíâàðèàíòû t = y/ x è u = y x. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïåðåéòè â óðàâíåíèè ê ïåðåìåííûì(t, u) íåîáõîäèìî ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ ïðîèçâîäíîé y 00 . Îíî íàõîäèòñÿ äèôôåðåíöèðîâàíèåì√√du Duy 00 x + y 0 /(2 x)u0 (u − 0.5t) − 0.5u00√== 0⇒ y =.dtDty / x − y/(2x3/2 )x3/2111Ïîäñòàíîâêà ïîëó÷åííûõ âûðàæåíèé äëÿ ïðîèçâîäíûõ â óðàâíåíèå (7.5) ïðèâîäèò ê óðàâíåíèþ ïåðâîãî ïîðÿäêà äëÿôóíêöèè u(x):u u−1+.(7.9)2tÇàìåòèì, ÷òî ìû ïî ñóòè äåëà ñâåëè èñõîäíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà (7.5) ê ñèñòåìå äâóõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà.
Äåéñòâèòåëüíî, ïîñëå íàõîæäåíèÿ çàâèñèìîñòè u = u(t) èç ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (7.5) åå íåîáõîäèìî ïîäñòàâèòüâ óðàâíåíèå√√y 0 x = u(y/ x).(7.10)u0 (u − t/2) =Åãî ðåøåíèå îïðåäåëèò èñêîìóþ çàâèñèìîñòü y = y(x). Ñìûñë ýòèõ äåéñòâèé ñîñòîèò â òîì, ÷òî óðàâíåíèå (7.10) ïîïîñòðîåíèþ äîïóñêàåò îïåðàòîð X1 , à çíà÷èò ìîæåò áûòü ðåøåíî ìåòîäîì èíòåãðèðóþùåãî ìíîæèòåëÿ.Îïåðàòîð X2 òàêæå ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí äëÿ ïîíèæåíèÿ ïîðÿäêà óðàâíåíèÿ (7.5). Ïðîäîëæåíèå îïåðàòîðàèìååò âèäX = x2 ∂x + xy∂y + (y − xy 0 )∂y01Èíâàðèàíòíû âûáèðàþòñÿ â âèäå t = y/x, u = xy 0 − y . Âû÷èñëåíèå ïðîèçâîäíîé y 00 è ïîäñòàíîâêà â óðàâíåíèå (7.5)ïðèâîäÿò ê óðàâíåíèþ ïåðâîãî ïîðÿäêàt2 u u0 = u.(7.11)Åãî ðåøåíèÿ ïîçâîëÿþò îïðåäåëèòü çàâèñèìîñòü y = y(x) èç óðàâíåíèÿ xy 0 − y = u(y/x), äëÿ êîòîðîãî îïåðàòîð X2äàåò èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü.Âîçíèêàåò âîïðîñ, ñ êàêîé èç äîïóñêàåìûõ ñèììåòðèé óðàâíåíèÿ ëó÷øå íà÷èíàòü ïîíèæåíèå ïîðÿäêà?  ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå îòâåò ïî÷òè î÷åâèäåí: àâòîíîìíîå óðàâíåíèå (7.7) âûãëÿäèò çíà÷èòåëüíî ïðîùå óðàâíåíèÿ (7.6).Îáùåå ïðàâèëî ôîðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: íóæíî âûáèðàòü îïåðàòîðû â òàêîì ïîðÿäêå, ÷òîáû ïîëó÷àþùååñÿ ðåäóöèðîâàííîå óðàâíåíèå íàñëåäîâàëî ñèììåòðèè èñõîäíîãî.
Àëãîðèòì òàêîãî âûáîðà íàïðÿìóþ ñâÿçàí ñîñòðóêòóðíûìè ñâîéñòâàìè äîïóñêàåìîé àëãåáðû Ëè îïåðàòîðîâ.1127.4Èíòåãðèðîâàíèå ÎÄÓ, äîïóñêàþùåãî ìíîãîïàðàìåòðè÷åñêóþ ãðóïïó ñèììåòðèéÏóñòü óðàâíåíèåF (x, y, y 0 , . . . , y (k) ) = 0(7.12)äîïóñêàåò r-ïàðàìåòðè÷åñêóþ ãðóïïó ïðåîáðàçîâàíèé Gr , êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò àëãåáðà Ëè îïåðàòîðîâ Lr . Âûáåðåìíåêîòîðóþ ïîäãðóïïó Gs ⊂ Gr , s < r. Ïóñòü t(x, y, y 0 , . . . , y (s−1) ) è u(x, y, y 0 , . .
. , y (s) ) ÿâëÿþòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûåèíâàðèàíòíû ãðóïïû Gs â ïðîñòðàíñòâå Rs+2 (x, y, y 0 , . . . , y (s) ). Ïî òåîðåìå 25 ôóíêöèèdu d2 udk−s u,, ..., k−sdt dt2dtòàêæå áóäóò ÿâëÿòüñÿ äèôôåðåíöèàëüíûìè èíâàðèàíòàìè ãðóïïû Gs . Ïî òåîðåìå î ïðåäñòàâëåíèè íåîñîáîãî èíâàðèàíòíîãî ìíîãîîáðàçèÿ èñõîäíîå óðàâíåíèå (7.12) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ýêâèâàëåíòíîì âèäåk−sduduFe t, u, , . . . , k−s = 0.dtdt(7.13)Ýòî óðàâíåíèå ïîðÿäêà k − s, ò.å. â òåðìèíàõ íîâûõ ïåðåìåííûõ (t, u) íàì óäàëîñü ïîíèçèòü ïîðÿäîê óðàâíåíèÿ íà sïðîèçâîäíûõ.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (7.13) çàäàíî â âèäå u = U (t). Òîãäà ðåøåíèå èñõîäíîãîóðàâíåíèÿ íàõîäèòñÿ èíòåãðèðîâàíèåì ÎÄÓu(x, y, y 0 , . . . , y (s) ) = U t(x, y, y 0 , . . . , y (s−1) ) .(7.14)Óðàâíåíèå (7.14) ïî ïîñòðîåíèþ äîïóñêàåò ãðóïïó Gs , à çíà÷èò ê íåìó ìîæíî ïðèìåíèòü òó æå ïðîöåäóðó ïîíèæåíèÿïîðÿäêà. Âîçíèêàåò âîïðîñ, êàêóþ ÷àñòü èñõîäíîé ãðóïïû íàñëåäóåò óðàâíåíèå (7.13)? Îòâåò íà íåãî óäîáíî äàòü âòåðìèíàõ ñîîòâåòñòâóþùåé àëãåáðû Ëè Ls .Òåîðåìà 27.Ðåäóöèðîâàííîå óðàâíåíèå (7.13) äîïóñêàåò ïðåîáðàçîâàíèÿ, îïðåäåëÿåìûå ôàêòîðàëãåáðîé ( Nor Lr Ls )/Ls . òîì ñëó÷àå, êîãäà Ls ÿâëÿåòñÿ èäåàëîì â Lr ðåäóöèðîâàííîå óðàâíåíèå ïîëíîñòüþ íàñëåäóåò âñþ îñòàâøóþñÿ÷àñòü ãðóïïû Gr .
Òàêèì îáðàçîì, ðåäóêöèþ óðàâíåíèÿ ñëåäóåò îñóùåñòâëÿòü ïî èäåàëàì äîïóñêàåìîé àëãåáðû Ëè. Âñèëó òåîðåìû Ëè äëÿ ðàçðåøèìîé äîïóñêàåìîé àëãåáðû Ëè Lr ïîðÿäîê óðàâíåíèÿ ìîæíî ïîíèçèòü íà r ïðîèçâîäíûõ,113ò.å. ñâåñòè ÎÄÓ k -ãî ïîðÿäêà ê ÎÄÓ k − r-ãî ïîðÿäêà è r óðàâíåíèÿì ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ èçâåñòíûìè èíòåãðèðóþùèìèìíîæèòåëÿìè.Èòàê, ïóñòü óðàâíåíèå (7.12) äîïóñêàåò ðàçðåøèìóþ àëãåáðó Ëè Lr . Àëãîðèòì ïîíèæåíèÿ ïîðÿäêà ýòîãî óðàâíåíèÿñîñòîèò â ñëåäóþùåì.1. Ïîñòðîèòü êîìïîçèöèîííûé ðÿä èäåàëîâ â Lr :Lr ⊃ Mr−1 ⊃ Mr−2 ⊃ . . .
⊃ M1 ⊃ {0}.Çäåñü Mi èäåàëû â L; dim Mi = i. Ñóùåñòâåííûì ôàêòîì çäåñü ÿâëÿåòñÿ ðàçðåøèìîñòü àëãåáðû Lr .2. Ïåðåîáîçíà÷èòü áàçèñíûå ýëåìåíòû â Lr òàê, ÷òîáûMi = {X1 , . . . , Xi }.3. Ðåäóöèðîâàòü óðàâíåíèå ïðè ïîìîùè îäíîìåðíîãî èäåàëà M1 = {X1 }. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü èíâàðèàíòû t(x, y) è u(x, y, y 0 ) ïðîäîëæåííîãî îïåðàòîðà X1 è ïåðåïèñàòü èñõîäíîå óðàâíåíèå â âèäå óðàâíåíèÿ1k − 1-ãî ïîðÿäêà âèäå (7.13) ñ s = 1 äëÿ çàâèñèìîñòè u = u(t).
Ñ ëþáûì ðåøåíèåì u = U (t) óðàâíåíèÿ (7.13)ðåøåíèå èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ íàõîäèòñÿ èíòåãðèðîâàíèåì ÎÄÓ u(x, y, y 0 ) = U t(x, y) , äëÿ êîòîðîãî èçâåñòåíèíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü.4. Âû÷èñëèòü èíôèíèòåçèìàëüíûå îïåðàòîðû ãðóïïû Ëè, èíäóöèðîâàííîé îïåðàòîðàìè {X2 , . . .
, Xr } ïðîñòðàíñòâåR2 (t, u). Ïî òåîðåìå 27 ðåäóöèðîâàííîå óðàâíåíèå (7.13) äîïóñêàåò r − 1-þ àëãåáðó ýòèõ îïåðàòîðîâ.5. Ñ ïîëó÷åííûì óðàâíåíèåì k − 1-ãî ïîðÿäêà, äîïóñêàþùåãî r − 1-ìåðíóþ ðàçðåøèìóþ àëãåáðó Ëè âåðíóòüñÿ êøàãó 1.Äàííûé àëãîðèòì îáåñïå÷èâàåò íàèáîëåå ïîëíîå èñïîëüçîâàíèå ñâîéñòâ ñèììåòðèè ÎÄÓ äëÿ åãî èíòåãðèðîâàíèÿ.Ïðèìåð 39.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì óðàâíåíèå1y 00 + y 0 + ey = 0.x114(7.15)Îíî äîïóñêàåò äâóõïàðàìåòðè÷åñêóþ (ñëåäîâàòåëüíî, ðàçðåøèìóþ) àëãåáðó Ëè, ïîðîæäåííóþ îïåðàòîðàìèX1 = x ln x ∂x − 2(1 + ln x)∂y ,X2 = x∂x − 2∂y .Ïðèñòóïàåì ê ðåàëèçàöèè àëãîðèòìà. Âíà÷àëå âû÷èñëèì êîììóòàòîð[X1 , X2 ] = −X2 .Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî îäíîìåðíàÿ ïîäàëãåáðà {X2 } ÿâëÿåòñÿ èäåàëîì, çíà÷èò íà÷èíàòü èíòåãðèðîâàíèå íóæíî ñ îïåðàòîðà X2 . Åãî èíâàðèàíòàìè ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèè t = y + 2 ln x è u = xy 0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
