1626435102-9ccf6d0a03aed727d9bf8add4160ccd9 (844153), страница 15
Текст из файла (страница 15)
ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò xi íå çàâèñÿò îò âåëè÷èíêîîðäèíàò xj ïðè j < i. Èíâàðèàíòàìè ãðóïïû A = Int L5 ÿâëÿþòñÿ x4 , x5 . Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèÿ (6.24) íå ìåíÿþòñÿïðè çàìåíå ïåðåìåííûõ1) t → −t, u → −u;2) x → −x, u → −u;3) t → −t, x → −x.Òàêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ íàçûâàþòñÿ äèñêðåòíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè è ÿâëÿþòñÿ èíâîëþöèÿìè (ïîâòîðíîå ïðèìåíåíèåäàåò òîæäåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå). Ïðè ýòîì îïåðàòîðû ïðåîáðàçóþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîìε1 : (X2 , X3 ) → (−X2 , −X3 );ε2 : (X1 , X3 ) → (−X1 , −X3 );ε3 : (X1 , X2 ) → (−X1 , −X2 ).˙ N . Îáùåãî ïðàâèëàÄàëåå âûáåðåì ðàçëîæåíèå àëãåáðû Ëè L5 â ïîëóïðÿìóþ ñóììó èäåàëà è ïîäàëãåáðû: L5 = J ⊕âûáîðà òàêîãî ðàçëîæåíèÿ íåò, íî îáû÷íî óäîáíî âûáèðàòü èäåàë è ïîäàëãåáðó òàê, ÷òîáû èõ ðàçìåðíîñòè áûëèáëèçêè.
Âûáåðåì ðàçëîæåíèå J = {X1 , X2 } èäåàë, N = {X3 , X4 , X5 } ïîäàëãåáðà.Ïåðâûé ýòàï àëãîðèòìà ñîñòîèò â ïîñòðîåíèè îïòèìàëüíîé ñèñòåìû ïîäàëãåáð ΘN ïîäàëãåáðû N . Ïðåäñòàâèòåëåìðàçìåðíîñòè 3 ÿâëÿåòñÿ ñàìà ïîäàëãåáðà N = N1 . Ðàññìîòðèì ïðåäñòàâèòåëè ðàçìåðíîñòè 2:ξ=x3 1 0y3 0 1Àâòîìîðôèçì A3 ïîçâîëÿåò îáðàòèòü â íóëü y 3 . Ïðîâåðêà óñëîâèÿ ïîäàëãåáðû [x3 X3 +X4 , X5 ] = x3 X3 âëå÷åò ðàâåíñòâîíóëþ x3 . Ïîýòîìó N2 = {X4 , X5 } ∈ ΘN .Äàëåå,ξ=1 0 00 y4 1.Äåéñòâèå àâòîìîðôèçìîâ òðèâèàëüíî, òàê êàê y 4 èíâàðèàíò ãðóïïû âíóòðåííèõ àâòîìîðôèçìîâ.
Óñëîâèå ïîäàëãåáðû â äàííîì ñëó÷àå âûïîëíåíî [X3 , y 4 X4 + X5 ] = X3 .  îïòèìàëüíóþ ñèñòåìó ΘN çàïèñûâàåì ïðåäñòàâèòåëÿN3 = {X3 , αX4 + X5 }, ãäå α ïðîèçâîëüíûé âåùåñòâåííûé ïàðàìåòð (ýòî áåñêîíå÷íàÿ ñåðèÿ íå ïîäîáíûõ ïîäàëãåáð!).96Ïîñëåäíèé âàðèàíò:ξ=1 0 00 1 0Óñëîâèå ïîäàëãåáðû âûïîëíåíî, ïîýòîìó N4 = {X3 , X4 } ∈ ΘN .Ðàññìîòðèì îäíîìåðíûå ïîäàëãåáðû. Ïóñòü ξ = (x3 , x4 , 1). Äåéñòâèåì àâòîìîðôèçìà A3 îáðàùàåì â íóëü x3 .Ïîäàëãåáðà N5 = {αX4 + X5 } ∈ ΘN . Ñëåäóþùèé ñëó÷àé ξ = (x3 , 1, 0).
Àâòîìîðôèçìîì A5 è èíâîëþöèåé ε1 ýëåìåíòx3 ìîæíî îáðàòèòü â íóëü èëè åäèíèöó. Òàêèì îáðàçîì, ïîäàëãåáðû N6 = {X3 + X4 } è N7 = {X4 } ïðèíàäëåæàò ΘN .Çàêëþ÷èòåëüíûé âàðèàíò ξ = (1, 0, 0) äàåò ïîäàëãåáðó N8 ∈ ΘN .Ðåçóëüòàòû ïîñòðîåíèÿ ΘN ïðèâåäåíû â òàáëèöå. Îòìåòèì, ÷òî îïòèìàëüíàÿ ñèñòåìà ïîäàëãåáð ΘN ñðàçó ïîëó÷èëàñü íîðìàëèçîâàííîé.ÏîäàëãåáðàÁàçèñN1N2N3N4N5N6N7N8N9X3 , X4 , X5X4 , X5X3 , αX4 + X5X3 , X4αX4 + X5X 3 + X4X4X30NorN NjN1N2N1N1N2N4N1N1N1Îïòèìàëüíàÿ ñèñòåìà ïîäàëãåáð ΘJ ñòðîèòñÿ ýëåìåíòàðíî.
Âíóòðåííèå àâòîìîðôèçìû àëãåáðû J äåéñòâóþò òðèâèàëüíî â ñèëó àáåëåâîñòè J . Îïòèìàëüíàÿ ñèñòåìà ñîñòîèò èç îäíîãî äâóìåðíîãî ïðåäñòàâèòåëÿ J1 = J , äâóõ îäíîìåðíûõ: J2 = {αX1 + X2 } è J3 = {X1 }, è íóëåâîé ïîäàëãåáðû J4 = {0}. Ýòà îïòèìàëüíàÿ ñèñòåìà òàêæå ÿâëÿåòñÿíîðìàëèçîâàííîé â J , ïîñêîëüêó íîðìàëèçàòîð ëþáîãî åãî ïðåäñòàâèòåëÿ åñòü J1 .˙ k (k = 1, ..., 9).Íà âòîðîì ýòàïå ñòðîÿòñÿ îïòèìàëüíûå ñèñòåìû J ⊕NÏðåäñòàâèòåëåì ðàçìåðíîñòè 5 ÿâëÿåòñÿ ñàìà ðàññìàòðèâàåìàÿ àëãåáðà Ëè L5 = J ⊕ N1 .97ïîëó÷àþòñÿ â ðåçóëüòàòå îáúåäèíåíèÿ ëèáî òðåõìåðíîãî ïðåäñòàâèòåëÿ ΘN ñ îäíîìåðíûì ïðåäñòàâèòåëåì ΘJ , ëèáî äâóõ äâóìåðíûõ ïðåäñòàâèòåëåé ýòèõ îïòèìàëüíûõ ñèñòåì.Ñëó÷àé 1 (èñïîëüçóþòñÿ ïðåäñòàâèòåëè N1 è J2 ):Ïðåäñòàâèòåëè ðàçìåðíîñòè 4x1 y1ξ= z1u10001100001000010 ýòîé ìàòðèöå èñïîëüçîâàíû B -ïðåîáðàçîâàíèÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû çàíóëèòü âòîðîé ñòîëáåö áëîêà T .
Äåéñòâèÿìèàâòîìîðôèçìîâ A1 , A2 îáðàòèì â íóëü x1 è y 1 . Ñ ïîìîùüþ A4 è èíâîëþöèè ε3 äîáèâàåìñÿ òîãî, ÷òî ëèáî z 1 = 1, ëèáîz 1 = 0. Ïðîâåðèì âûïîëíåíèå óñëîâèÿ ïîäàëãåáðû. Î÷åâèäíî, ÷òî êîììóòàòîð [X3 , u1 X1 + X2 ] = −X1 íå âûðàæàåòñÿ÷åðåç îïåðàòîðû ïîäàëãåáðû. Ñëåäîâàòåëüíî, óñëîâèå ïîäàëãåáðû íå âûïîëíåíî.Âûáåðåì ïðåäñòàâèòåëè N1 ∈ ΘN è J3 ∈ ΘJ . Îíè äàþò00ξ=01x2y2z20100001000010Äåéñòâèåì àâòîìîðôèçìà A2 îáðàùàåì â íóëü y 2 . Óñëîâèå ïîäàëãåáðû âûïîëíåíî, åñëè x2 = 0, z 2 = 0.
Òàêèì îáðàçîì,â ΘL5 âêëþ÷àåì ïðåäñòàâèòåëü {X1 , X3 , X4 , X5 }.Ñëó÷àé 2 (èñïîëüçóþòñÿ ïðåäñòàâèòåëè N2 è J1 ):00ξ=100001000010000100Óñëîâèå ïîäàëãåáðû âûïîëíåíî, ïîýòîìó â ΘL5 âêëþ÷àåì ïðåäñòàâèòåëü {X1 , X2 , X4 , X5 }.98Ñëó÷àé 3 (èñïîëüçóþòñÿ ïðåäñòàâèòåëè N3 è J1 ):00ξ=10000110000α000100Óñëîâèå ïîäàëãåáðû âûïîëíåíî ïðè ëþáîì α ∈ R. Ïîýòîìó â ΘL5 âêëþ÷àåòñÿ ïðåäñòàâèòåëü {X1 , X2 , X3 , αX4 + X5 }.Ñëó÷àé 4 (èñïîëüçóþòñÿ ïðåäñòàâèòåëè N4 è J1 ):00ξ=100001100001000000Óñëîâèå ïîäàëãåáðû âûïîëíåíî, ïîýòîìó â ΘL5 âêëþ÷àåì ïðåäñòàâèòåëü {X1 , X2 , X3 , X4 }.Ïðåäñòàâèòåëè ðàçìåðíîñòè 3 ïîëó÷àþòñÿ ñî÷åòàíèÿìè 3+0, 2+1 è 1+2 ðàçìåðíîñòåé ïðåäñòàâèòåëåé îïòèìàëüíûõñèñòåì ΘN è ΘJ .Ñëó÷àé 1 (èñïîëüçóþòñÿ ïðåäñòàâèòåëè N1 è J4 ):x1 x2 1 0 0ξ = y1 y2 0 1 0 z1 z2 0 0 1Äåéñòâèåì àâòîìîðôèçìîâ A1 è A2 äîáèâàåìñÿ òîãî, ÷òî y 1 = y 2 = 0.
Ïðîâåðèì âûïîëíåíèå óñëîâèÿ ïîäàëãåáðû(H1 = x1 X1 + x2 X2 + X3 , H2 = X4 , H3 = z 1 X1 + z 2 X2 + X5 ). Èìååì, [H1 , H2 ] = x1 X1 + x2 X2 è [H2 , H3 ] = −z 1 X1 − z 2 X2 .Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè íåíóëåâûõ xi è z i âûðàçèòü ýòè êîììóòàòîðû ÷åðåç Hi íåâîçìîæíî, ñëåäîâàòåëüíî x1 = x2 = z 1 =z 2 = 0 . Ñ ó÷åòîì ýòîãî [H1 , H3 ] = X3 = H1 è â ΘL5 âêëþ÷àåì ïðåäñòàâèòåëü {X3 , X4 , X5 }.Ñëó÷àé 2 (èñïîëüçóþòñÿ ïðåäñòàâèòåëè N2 è J2 ):x1 0 0 1 0ξ = y1 0 0 0 1 z1 1 0 0 099Äåéñòâèåì àâòîìîðôèçìà A1 çàíóëÿåì x1 . Âû÷èñëåíèå êîììóòàòîðîâ ïîêàçûâàåò, ÷òî óñëîâèå ïîäàëãåáðû âûïîëíåíîòîëüêî ïðè îáðàùåíèè â íóëü y 1 è z 1 .
 ΘL5 âêëþ÷àåì ïðåäñòàâèòåëü {X2 , X4 , X5 }.Äàëåå ñëåäóåò äåéñòâîâàòü ïî àíàëîãèè ñ ïðåäûäóùèì, àêêóðàòíî ðàññìàòðèâàÿ âñå âîçìîæíûå ñëó÷àè äëÿ ïðåäñòàâèòåëåé ðàíãà 3, 2 è 1. Ââèäó áîëüøîãî îáúåìà âûêëàäîê çäåñü îíè ïîëíîñòüþ íå ïðèâîäÿòñÿ.Îïòèìàëüíàÿ ñèñòåìà ΘL5 ïðåäñòàâëåíà â òàáëèöå 1.  ïåðâîì ñòîëáöå óêàçûâàåòñÿ ðàíã ïîäàëãåáðû r, âî âòîðîì ïîðÿäêîâûé íîìåð i äëÿ êàæäîãî r. Òåì ñàìûì êàæäûé ïðåäñòàâèòåëü èíäåêñèðóåòñÿ ïàðîé ÷èñåë (r, i).
 òðåòüåìñòîëáöå ïðèâåäåíû Nk ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ïîëó÷åíû ïðåäñòàâèòåëè îïòèìàëüíîé ñèñòåìû ïîäàëãåáð J ⊕ Nk . Â÷åòâåðòîì ñòîëáöå ïðèâåäåíû áàçèñû ïîäàëãåáðïðåäñòàâèòåëåé, çàïèñàííûå ÷åðåç îïåðàòîðû (6.25) â àááðåâèàòóðíîéôîðìå: âìåñòî îïåðàòîðà Xk óêàçûâàåòñÿ òîëüêî åãî íîìåð k .  ïîñëåäíåì ñòîëáöå óêàçàí íîðìàëèçàòîð êàæäîéïîäàëãåáðû.
 ñèëó íîðìàëèçîâàííîñòè ïîäàëãåáðû ΘL5 íîðìàëèçàòîð ñîäåðæèòñÿ â ýòîé æå òàáëèöå è ïîýòîìóóêàçàí òîëüêî åãî èíäåêñ (r, i).  äàííîì ñëó÷àå îïòèìàëüíàÿ ñèñòåìà ïîäàëãåáð ΘL5 ñîäåðæèò 40 ïðåäñòàâèòåëåé.Êàê âèäíî èç ðàññìîòðåííûõ ïðèìåðîâ, ÷èñëî ïðåäñòàâèòåëåé îïòèìàëüíîé ñèñòåìû ïîäàëãåáð ñóùåñòâåííî óâåëè÷èâàåòñÿ ïðè âîçðàñòàíèè ðàçìåðíîñòè àëãåáðû Ëè. Óðàâíåíèÿ ãàçîâîé äèíàìèêè äëÿ òðåõìåðíûõ íåóñòàíîâèâøèõñÿäâèæåíèé äîïóñêàþò àëãåáðó Ëè îïåðàòîðîâ L11 . Îïòèìàëüíàÿ ñèñòåìà ïîäàëãåáð ΘL11 ñîäåðæèò 223 ñåðèè ïðåäñòàâèòåëåé [2].  ñëó÷àå ïîëèòðîïíîãî ãàçà îïòèìàëüíûå ñèñòåìû ïîäàëãåáð ΘL13 è ΘL14 (ïîëèòðîïíûé ãàç ñ γ = 5/3)ñîäåðæàò 1342 è 1826 ïðåäñòàâèòåëåé. Óðàâíåíèÿ äâóìåðíûõ äâèæåíèé ïîëèòðîïíîãî ãàçà ñ γ = 2 (5.41) äîïóñêàþòàëãåáðó Ëè L9 , îïòèìàëüíàÿ ñèñòåìà ïîäàëãåáð êîòîðîé ñîäåðæèò 179 ïðåäñòàâèòåëåé.r i NkÁàçèñÍîðìàëèçàòîð1 1 N5 α4 + 5 2,1; (α = 0) 3,2; (α = −1) 3,321−4+52,8 (α = −1)32+52,6 (α = 0)4 N63+42,55 N743,16 N82+33,5734,18 N915,1924,2100Òàáëèöà 1: Îïòèìàëüíàÿ ñèñòåìà ïîäàëãåáðri5141234312NkN1N1N2N3N4N1N234Íîðìàëèçàòîðri=5,1112,3,4,5=4,121,2,4,5=4,231, 2, 3, α4 + 55,141,2,3,45,153,4,5=3,162,4,5=3,271,4,5N31, 3, α4 + 552+3,1,4+561,2+5,378910112Áàçèñ1,2,3,4,512N4N5N6N7N8N2N3=3,3=3,4 (α= 0);5,1 (α=3,54,3 (α1,3,44,11, 2, α4 + 54,21,2,3+44,41,2,45,1= 0)1,2,35,14,5=2,13, α4 + 53,132+3,4+5=2,341 − 4 + 5, 35N4N52,2 (α3,4= −1)3,182, α4 + 52, 1 − 4 + 51, α4 + 591,2+5= −1) 4,23,8 (α = −1)3,3; (α = 0) 4,23,8 (α = 0)N6N71,3+43,72,43,2N81,2+367101112131,41415N98= 0)3,2; (α4,14,3 (α1,35,11,25,1= 1)1019NkN5Áàçèñα4 + 51−4+52+5N6N7N8N9ΘL5Íîðìàëèçàòîð2,1; (α= −1)2,8 (α = −1)2,6 (α = 0)= 0)3,2; (α3+42,543,12+33,534,115,124,23,3Îòìåòèì, ÷òî àíàëîãè÷íûé äâóõøàãîâûé ïîäõîä ìîæåò ïðèìåíÿòüñÿ è äëÿ áåñêîíå÷íîìåðíûõ àëãåáð Ëè L =˙ L∞ .
Çäåñü ñóùåñòâåííóþ ðîëü èãðàåò òîò ôàêò, ÷òî áåñêîíå÷íîìåðíàÿ ÷àñòü L∞ ÿâëÿåòñÿ èäåàëîì â L. Ò àêèìLr ⊕îáðàçîì, â ðàçëîæåíèè èäåàë-ïîäàëãåáðà L∞ èãðàåò ðîëü èäåàëà, à Lr ïîäàëãåáðû. Ïðè ýòîì îáû÷íî íå ñòàâèòñÿ çàäà÷à îïèñàíèÿ êëàññîâ íåïîäîáíûõ ïîäàëãåáð âñåõ ðàçìåðíîñòåé, òàê êàê ýòî ïðàêòè÷åñêè ñëîæíî è ïîêà íåâîñòðåáîâàíî äëÿ ïðèëîæåíèé.  îñíîâíîì, îãðàíè÷èâàþòñÿ ïîñòðîåíèåì îïòèìàëüíûõ ñèñòåì ïîäàëãåáð ìàëûõ ðàçìåðíîñòåé.Ïðèìåð 36. Ïðîäåìîíñòðèðóåì ïîñòðîåíèå îïòèìàëüíûõ ñèñòåì îäíî- è äâóìåðíûõ ïîäàëãåáð äëÿ áåñêîíå÷íîìåðíîéàëãåáðû Ëè L èç ïðèìåðà 32.Ïîäàëãåáðû ðàçìåðíîñòè 1. Áàçèñíûé îïåðàòîð îäíîìåðíîé ïîäàëãåáðû L1 ∈ L çàïèøåì â âèäåX = x1 X1 + x2 X2 + hϕi1 + hψi2 .(6.26)Çàìåòèì, ÷òî êîîðäèíàòà x2 ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì ãðóïïû âíóòðåííèõ àâòîìîðôèçìîâ.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî x2 6= 0. Áåçîãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü x2 = 1. Òîãäà àâòîìîðôèçìîì A1 ñ ïàðàìåòðîì t1 = −x1 ìîæíî ñäåëàòü x1 = 0.Ïðè ýòîì èçìåíÿþòñÿ ôóíêöèè φ è ψ , áóäåì èõ èçìåíåííûå çíà÷åíèÿ îáîçíà÷àòü òåìè æå áóêâàìè. Ïðèìåíåíèåàâòîìîðôèçìà A3 (σ) ïîçâîëÿåò çàíóëèòü ôóíêöèþ ϕ. Äëÿ ýòîãî σ âûáèðàåòñÿ òàê, ÷òî ϕ − tσ̇ = 0. Îòìåòèì, ÷òîäëÿ îïðåäåëåíèÿ êîíêðåòíîãî âèäà àâòîìîðôèçìà â äàííîì ñëó÷àå íóæíî ðåøàòü äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿôóíêöèè σ(t).
Åãî ðåøåíèå, ïî êðàéíåé ìåðå ëîêàëüíî, ñóùåñòâóåò. Íàêîíåö, ïðèìåíåíèå àâòîìîðôèçìà A4 (τ ) ñíàäëåæàùåé ôóíêöèåé τ (t) äåëàåò ψ = 0. Òàêèì îáðàçîì, ëþáîé îäíîìåðíûé îïåðàòîð ñ íåíóëåâîé êîîðäèíàòîé x2ýêâèâàëåíòåí îïåðàòîðó X2 .Ïóñòü x2 = 0, íî x1 6= 0. Ïîñëåäîâàòåëüíîå ïðèìåíåíèå àâòîìîðôèçìîâ A3 (σ) è A4 (τ ) ñ ïîäõîäÿùèìè ôóíêöèÿìèσ è τ äåëàþò ϕ = ψ = 0. Òàêèì îáðàçîì, áàçèñíûé îïåðàòîð ýêâèâàëåíòåí îïåðàòîðó X1 .Ïóñòü x1 = x2 = 0, íî ϕ 6= 0.
Ïðèìåíåíèå àâòîìîðôèçìà A3 (σ) ñ ôóíêöèåé σ(t), óäîâëåòâîðÿþùåé óðàâíåíèþψ + σ̈ϕ − ϕ̈σ = 0 ïîçâîëÿåò çàíóëèòü ôóíêöèþ ψ . Òàêèì îáðàçîì, áàçèñíûé îïåðàòîð ñâîäèòñÿ ê hϕi1 .  ñèëó àâòîìîðôèçìîâ A1 è A2 ôóíêöèè ϕ(t), îòëè÷àþùèåñÿ ñäâèãîì èëè ðàñòÿæåíèåì àðãóìåíòà t ÿâëÿþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè. Íèæåìû áóäåì îáîçíà÷àòü ýòî çàïèñüþ hϕi1 mod A1 A2 . Âàæíî, ÷òî äàííûé îïåðàòîð ïîðîæäàåò îäíîìåðíóþ ïîäàëãåáðó{hϕi1 } ñ ïðîèçâîëüíîé, íî ôèêñèðîâàííîé ôóíêöèåé ϕ.Ïóñòü x1 = x2 = ϕ = 0. Òîãäà áàçèñíûì îïåðàòîðîì ÿâëÿåòñÿ hψi1 mod A1 A2 . Íà ýòîì êëàññèôèêàöèÿ íåïîäîáíûõ102îäíîìåðíûõ ïîäàëãåáð àëãåáðû L çàâåðøåíà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
