1626435102-9ccf6d0a03aed727d9bf8add4160ccd9 (844153), страница 14
Текст из файла (страница 14)
. , x ) åñòü−3x2 3x10 0 −x30x1 0 .ad x = 0−3x3 3x2 0 000 0Ñ êàæäûì èç âåêòîðîâ ei âû÷èñëåíèå ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòû äàåò ìàòðè÷íîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ áàçèñíûõ àâòîìîðôèçìîâ (6.11)(6.12)1 3t10 1A1 (t1 ) = exp(t1 ad e1 ) = 0 00 0 −3t2e 0A2 (t2 ) = exp(t2 ad e2 ) = 00883t21 /2t1100 01 00 e3t20 000,0100,011 −t3A3 (t3 ) = exp(t3 ad e3 ) = 3t23 /2010A4 (t4 ) = exp(t3 ad e4 ) = 006.201−3t30010000100 00 0,1 00 100.01Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ.
Ïîñòðîåíèå îïòèìàëüíûõ ñèñòåì ïîäàëãåáð äëÿ àëãåáð Ëè ìàëîé ðàçìåðíîñòèÏðè èçó÷åíèè ñâîéñòâ ôàêòîðñèñòåìû E/H óæå ââîäèëîñü ïîíÿòèå ïîäîáèÿ ïîäãðóïï äîïóñêàåìîé ãðóïïû G è ãîâîðèëîñü î òîì, ÷òî èç ïîäîáèÿ ïîäãðóïï ñëåäóåò ïîäîáèå ïîðîæäàåìûõ èìè ïîäìîäåëåé (òåîðåìà 22). Íèæå ýòî æåñâîéñòâî îïèñûâàåòñÿ â òåðìèíàõ àëãåáðû Ëè.Ïîäàëãåáðû H, K ⊂ L íàçûâàþòñÿ ïîäîáíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò âíóòðåííèé àâòîìîðôèçì A ∈IntL, ñ êîòîðûì K = AH .Îïðåäåëåíèå 51.Ôîðìóëà x = f (x, a) äëÿ ïðåîáðàçîâàíèé â ïðîñòðàíñòâå Rn , ïðèíàäëåæàùèõ ãðóïïå G1 (X), ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ïåðåõîä îò ñèñòåìû êîîðäèíàò x ê ñèñòåìå êîîðäèíàò x.
Äëÿ ëþáîãî îïåðàòîðà X ∈ Lr , çàïèñàííîãî âêîîðäèíàòàõ x ôîðìóëîéX=nXξ i (x)i=1∂∂xiñèìâîëîì X áóäåò îáîçíà÷àòüñÿ òîò æå îïåðàòîð, ïðåîáðàçîâàííûé ê êîîðäèíàòàì x. Ïóñòü A âíóòðåííèé àâòîìîðôèçì è ôóíêöèÿ J : Rn → R èíâàðèàíò îïåðàòîðà X .Ëåììà. Åñëè ôóíêöèÿ J(x) åñòü èíâàðèàíò îïåðàòîðà X , òî J(x) åñòü èíâàðèàíò îïåðàòîðà AX .Òàêèì îáðàçîì, îïåðàòîðû X è AX èìåþò îäíè è òå æå èíâàðèàíòû, çàïèñàííûå â ðàçíûõ ñèñòåìàõ êîîðäèíàò x èx. Òî æå âåðíî è äëÿ ïîäàëãåáð. Ïåðåõîä îò êîîðäèíàò x ê êîîðäèíàòàì x âîçìîæåí è â ñèñòåìå äèôôåðåíöèàëüíûõ089óðàâíåíèé, äîïóñêàþùèõ Lr .
Ïðè òàêîì ïåðåõîäå ýòà ñèñòåìà ñîõðàíèòñÿ (ïîñêîëüêó X ∈ Lr ) è áóäåò äîïóñêàòü àëãåáðó Ëè L0r . Èç ëåììû ñëåäóåò, ÷òî ëþáîå H ðåøåíèå äàííîé ñèñòåìû, êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ íàáîðîì èíâàðèàíòîâïîäàëãåáðû H ∈ Lr , çàìåíîé ïåðåìåííûõ x = f (x, a) áóäåò ïåðåâîäèòüñÿ â H 0 ðåøåíèå ïðåîáðàçîâàííîé ñèñòåìûîòíîñèòåëüíî òîãî æå ñàìîãî íàáîðà èíâàðèàíòîâ.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïîäîáíûå ïîäàëãåáðû ïðîèçâîäÿò ïîäîáíûå ïîäìîäåëè.Ïî îòíîøåíèþ ïîäîáèÿ âñå ïîäàëãåáðû çàäàííîé àëãåáðû Ëè ðàçáèâàþòñÿ íà êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè.Ñîâîêóïíîñòü ïðåäñòàâèòåëåé êëàññîâ ïîäîáíûõ ïîäàëãåáð (ïî îäíîìó îò êàæäîãî êëàññà) íàçûâàåòñÿ îïòèìàëüíîé ñèñòåìîé ïîäàëãåáð è îáîçíà÷àåòñÿ ΘL. Ñîâîêóïíîñòü ïðåäñòàâèòåëåé êëàññîâ íå ïîäîáíûõïîäàëãåáð ôèêñèðîâàííîé ðàçìåðíîñòè s áóäåì îáîçíà÷àòü Θs L.Îïðåäåëåíèå 52. ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 21 ôàêòîðñèñòåìà E/H äîïóñêàåò ïðåáîðàçîâàíèÿ èç íîðìàëèçàòîðà Nor L H/H .
Ïîýòîìó ïðè ïîñòðîåíèè îïòèìàëüíîé ñèñòåìû æåëàòåëüíî, ÷òîáû âìåñòå ñ ëþáîé ïîäàëãåáðîé H â ΘL ñîäåðæàëñÿ è ååíîðìàëèçàòîð Nor L H . Òàêàÿ îïòèìàëüíàÿ ñèñòåìà ïîäàëãåáð íàçûâàåòñÿ íîðìàëèçîâàííîé. Äëÿ ëþáîé àëãåáðû ËèL íîðìàëèçîâàííàÿ îïòèìàëüíàÿ ñèñòåìà ΘL ñóùåñòâóåò.Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ñëó÷àé êîíå÷íîìåðíîé àëãåáðû Ëè Lr . Êàæäûé ýëåìåíò ýòîé àëãåáðû ìîæåò áûòü ðàçëîæåíïî áàçèñó â âèäå X = xi Xi . Ïîäàëãåáðà M ⊂ L ðàçìåðíîñòè s îïèñûâàåòñÿ íàáîðîì ñâîèõ áàçèñíûõ ýëåìåíòîâM = {Hα = xiα Xi ; α = 1, . .
. , s}.Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ìàòðèöó èç êîýôôèöèåíòîâ îïåðàòîðîâ Hα :x11ξ = ...x1s.........xn1... xnsÄëÿ óäîáñòâà ìû ðàñïîëîæèëè êîîðäèíàòû êàæäîãî èç âåêòîðîâ Hα â ñòðîêàõ ìàòðèöû ξ . Ìàòðèöà ξ îïðåäåëÿåòíåêîòîðóþ s-ìåðíóþ ïîäàëãåáðó â L òîëüêî åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå äâà óñëîâèÿ:• rank ξ = s;γ• âûïîëíåíû óñëîâèÿ ïîäàëãåáðû [Hα , Hβ ] = KαβHγ .90Íà ìíîæåñòâå ìàòðèö ξ äåéñòâóþò ïðåîáðàçîâàíèÿ ñòðîê (B -ïðåîáðàçîâàíèÿ) Hα0 = ωαβ Hβ , det ω 6= 0 è ïðåîáðàçîâàíèÿ ñòîëáöîâ, îïðåäåëÿåìûå âíóòðåííèìè àâòîìîðôèçìàìè A ∈ Int L: ξ 0 = ξA.
Òðåáóåòñÿ èñïîëüçîâàòü äàííûåïðåîáðàçîâàíèÿ ñ öåëüþ ìàêñèìàëüíîãî óïðîùåíèÿ ìàòðèöû ξ . ñëó÷àå àëãåáð Ëè íåáîëüøîé ðàçìåðíîñòè (r ≤ 4) ïîñòðîåíèå îïòèìàëüíîé ñèñòåìû ïîäàëãåáð íå âñòðå÷àåòñóùåñòâåííûõ çàòðóäíåíèé è âïîëíå îáîçðèìî.Ïðèìåð 34. Ïîñòðîèì îïòèìàëüíóþ ñèñòåìó ïîäàëãåáð àëãåáðû Ëè L3 îïåðàòîðîâX1 = y∂x − x∂y ,X2 = z∂x − x∂z ,X3 = z∂y − y∂z ,çàäàþùèõ ãðóïïó âðàùåíèé â R3 . Âûïèøåì òàáëèöó êîììóòàòîðîâX1X2X3X1 X2X30 X3 −X2X3 0X1X2 −X1 0123= 1,= −1, C23= 1, C13è ïðèâåäåì íåíóëåâûå ñòðóêòóðíûå ïîñòîÿííûå Cijk (íàïîìíèì, ÷òî [Xi , Xj ] = Cijk Xk ): C12123C21 = −1, C31 = 1, C32 = −1.
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ãðóïïû âíóòðåííèõ àâòîìîðôèçìîâ íóæíî ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé(6.21).  ðåçóëüòàòå èíòåãðèðîâàíèÿ íàõîäèì àâòîìîðôèçìû Ai (ti ):A1 (t1 ) :x̄1 = x1 ,x̄2 = x2 cos t1 + x3 sin t1 ,x̄3 = x3 cos t1 − x2 sin t1 ;A2 (t2 ) :x̄1 = x1 cos t2 − x3 sin t2 ,x̄2 = x2 ,A3 (t3 ) :x̄1 = x1 cos t3 + x2 sin t3 ,x̄2 = −x1 sin t3 + x2 cos,x̄3 = x2 sin t2 + x3 cos t2 ;x̄3 = x3 .ÿâëÿåòñÿ ñàìà ðàññìàòðèâàåìàÿ àëãåáðà Ëè: N1 = L3 . Äåéñòâèòåëüíî, ìàòðèöàòðåõìåðíîé ïîäàëãåáðû èìååò ðàçìåðû 3 × 3 è íåâûðîæäåíà, à çíà÷èò ïðè ïîìîùè B -ïðåîáðàçîâàíèé âñåãäà ìîæåòáûòü ïðèâåäåíà ê åäèíè÷íîé.Ïðåäñòàâèòåëè ðàçìåðíîñòè 2.
Çäåñü ìàòðèöà ïðîèçâîëüíîé ïîäàëãåáðû èìååò âèäÏðåäñòàâèòåëåì ðàçìåðíîñòè 3ξ=x1 x2 x3y1 y2 y391.Íåîáõîäèìî ðàññìîòðåòü âñå âîçìîæíîñòè ðàñïîëîæåíèÿ ðàíãîâîãî ìèíîðà â ξ .1) Ðàíãîâûé ìèíîð íàõîäèòñÿ â ïîñëåäíèõ äâóõ ñòîëáöàõ. B -ïðåîáðàçîâàíèÿìè âñåãäà ìîæíî äîáèòüñÿ ñëåäóþùåãîξ=x1 1 0y1 0 1.Èìååì H1 = x1 X1 + X2 , H2 = y 1 X1 + X3 . Ïðîâåðèì âûïîëíåíèå óñëîâèÿ ïîäàëãåáðû:[H1 , H2 ] = [x1 X1 + X2 , y 1 X1 + X3 ] = −x1 H1 − y 1 H2 + ((x1 )2 + (y 1 )2 + 1)X1 . äàííîì ñëó÷àå ïðè ëþáûõ âåùåñòâåííûõ çíà÷åíèÿõ x1 è y 1 óñëîâèå òîãî, ÷òî îïåðàòîðû H1 è H2 îáðàçóþò ïîäàëãåáðóíåâîçìîæíî, ïîñêîëüêó (x1 )2 + (y 1 )2 + 1 6= 0.2) Ðàíãîâûé ìèíîð íàõîäèòñÿ â ïåðâîì è òðåòüåì ñòîëáöàõ ξ :ξ=1 0 00 y2 1(ýëåìåíò x2 = 0, èíà÷å ñâîäèòñÿ ê ïðåäûäóùåìó).
 ýòîì ñëó÷àå H1 = X1 , H2 = y 2 X2 + X3 . Óñëîâèå ïîäàëãåáðû íåâûïîëíÿåòñÿ, òàê êàê êîììóòàòîð[H1 , H2 ] = [X1 , y 2 X2 + X3 ] = y 2 H2 − (1 + (y 2 )2 )X2íå âûðàæàåòñÿ ÷åðåç H1 è H2 .3) Ðàíãîâûé ìèíîð ξ íàõîäèòñÿ â ïåðâûõ äâóõ ñòîëáöàõ. Îïÿòü æå, ìû èñêëþ÷àåì óæå ðàññìîòðåííûå ñëó÷àè.ξ=1 0 00 1 0.Óñëîâèå ïîäàëãåáðû òàêæå íå âûïîëíÿåòñÿ, ïîñêîëüêó[H1 , H2 ] = [X1 , X2 ] = X392íå âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ Hi . Ñëåäîâàòåëüíî, ïðåäñòàâèòåëåé ðàçìåðíîñòè 2 â îïòèìàëüíîé ñèñòåìåïîäàëãåáð â äàííîì ïðèìåðå íåò.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðàññìàòðèâàåìàÿ àëãåáðà L3 , ñîîòâåòñòâóþùàÿ ãðóïïå âðàùåíèéSO(3) íå ñîäåðæèò äâóìåðíûõ ïîäàëãåáð.Ïðåäñòàâèòåëè ðàçìåðíîñòè 1. Î÷åâèäíî, ÷òî äåéñòâèåì àâòîìîðôèçìîâ A2 , A3 è íîðìèðîâêîé âåêòîð ξ = (x1 , x2 , 1)ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó ξ 0 = (0, 0, 1). Ïîýòîìó â îïòèìàëüíóþ ñèñòåìó ïîäàëãåáð âêëþ÷àåì îäíîìåðíûé ïðåäñòàâèòåëü N2 = {X3 }. Çàìåòèì, ÷òî âûáîð ïðåäñòàâèòåëåé îïòèìàëüíîé ñèñòåìû ïîäàëãåáð íå ÿâëÿåòñÿ îäíîçíà÷íûì.Äåéñòâèòåëüíî, â êà÷åñòâå ýëåìåíòà M1 ìîæíî âûáðàòü ëþáóþ ôèêñèðîâàííóþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ îïåðàòîðîâXi .Òàêèì îáðàçîì, îïòèìàëüíàÿ ñèñòåìà ïîäàëããåáð ΘL3 ðàññìàòðèâàåìîé àëãåáðû L3 ñîäåðæèò ñëåäóþùèå ïðåäñòàâèòåëè:N1 = L3 ,N2 = {X3 },N3 = {0}.Ïðåäñòàâèòåëè N1 è N2 ÿâëÿþòñÿ ñàìîíîðìàëèçîâàííûìè (ïîäàëãåáðû ñîâïàäàþò ñî ñâîèìè íîðìàëèçàòîðàìè); íîðìàëèçàòîðîì íóëåâîé àëãåáðû N3 ÿâëÿåòñÿ âñÿ àëãåáðà L3 .6.3Äâóõøàãîâûé àëãîðèòìÄëÿ ïîñòðîåíèÿ îïòèìàëüíûõ ñèñòåì ïîäàëãåáð àëãåáðû Ëè ðàçìåðíîñòè r ≥ 5 öåëåñîîáðàçíî ïðèìåíÿòü äâóõøàãîâûéàëãîðèòì, ïðåäëîæåííûé Ë.Â.
Îâñÿííèêîâûì [4]. Ðåàëèçàöèÿ äâóõøàãîâîãî àëãîðèòìà îñíîâàíà íà êîìïîçèöèîííîìðÿäå èäåàëîâ äëÿ L:L ⊃ Jk ⊃ Jk−1 ⊃ . . . ⊃ J1 ⊃ {0}.(6.22)Çäåñü êàæäàÿ èç ïîäàëãåáð Js ÿâëÿåòñÿ èäåàëîì â L. Óäîáíî âûáðàòü áàçèñ â L òàê, ÷òîáû êàæäûé èç èäåàëîâïîðîæäàëñÿ íàáîðîì ïåðâûõ áàçèñíûõ âåêòîðîâ àëãåáðû Ëè L:Js = {X1 , . . .
, Xrs }.Íåîáõîäèìî ïðîâåðèòü, íà êàêèõ øàãàõ ðÿäà (6.22) âîçìîæíî ðàçëîæåíèå àëãåáðû L â ïîëóïðÿìóþ ñóììó èäåàëà˙ N . Âûáèðàåòñÿ íåêîòîðîå òàêîå ðàçëîæåíèå. Ãðóïïà âíóòðåííèõ àâòîìîðôèçìîâ Int LJ è ïîäàëãåáðû N : L = J ⊕ðàçáèâàåòñÿ ñîîòâåòñòâåííî:Int L = AJ AN , AJ = {exp(t ad X)|X ∈ J}, AN = {exp(t ad X)|X ∈ N }.93Àâòîìîðôèçìû AJ äåéñòâóþò òðèâèàëüíî íà ïîäàëãåáðå N (àâòîìîðôèçìû äåéñòâóþò ¾ñïðàâà-íàëåâî¿).
Ìàòðèöàξ êîîðäèíàò ýëåìåíòîâ ïîäàëãåáðû òàêæå ïðè ïîìîùè B -ïðåîáðàçîâàíèé âñåãäà ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ê áëî÷íîìóâèäó:ξ=T NkJs 0(6.23)Çäåñü áëîê Nk îòâå÷àåò ÷àñòè êîîðäèíàò, îòíîñÿùèõñÿ ê N , áëîêè T è Js îòâå÷àþò êîîðäèíàòàì èäåàëà J .Âíà÷àëå íóæíî ïîñòðîèòü îïòèìàëüíóþ ñèñòåìó ïîäàëãåáð ΘN îòíîñèòåëüíî ãðóïïû âíóòðåííèõ àâòîìîðôèçìîâAN . Äðóãèå âíóòðåííèå àâòîìîðôèçìû àëãåáðû L íà ýòîì áëîêå äåéñòâóþò òðèâèàëüíî. Çàòåì îòäåëüíî êîíñòðóèðóåòñÿ ΘJ îòíîñèòåëüíî àâòîìîðôèçìîâ AJ .
Ïîñëå ýòîãî, äëÿ êàæäîãî Nk ∈ ΘN è Js ∈ ΘJ ñîñòàâëÿåòñÿ ìàòðèöàâèäà (6.23) ñ íåîïðåäåëåííûì áëîêîì T . Îíà ïîäâåðãàåòñÿ äîïîëíèòåëüíûì óïðîùåíèÿì çà ñ÷åò ïðåîáðàçîâàíèé èçñòàáèëèçàòîðà àëãåáðû Nk :St Nk = {A ∈ Int L|ANk = Nk }.Ïîëó÷åííûå ïðè ýòîì ïðåäñòàâèòåëè îáðàçóþò îïòèìàëüíóþ ñèñòåìó ïîäàëãåáð ΘL.Íà ïîñëåäíåì ýòàïå ïîëó÷åííóþ îïòèìàëüíóþ ñèñòåìó ïîäàëãåáð íåîáõîäèìî ïðèâåñòè ê íîðìàëèçîâàííîé.
Ò.å.âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðîèçâîëîì â âûáîðå ïðåäñòàâèòåëåé îïòèìàëüíîé ñèñòåìû ñ òåì, ÷òîáû äëÿ êàæäîé ïîäàëãåáðûM ∈ ΘL áûëî âûïîëíåíî Nor L M ∈ ΘL. Ýòîãî ìîæíî äîáèòüñÿ, äåéñòâóÿ ¾ñâåðõó-âíèç¿, ò.å. íà÷èíàÿ ñ ïðåäñòàâèòåëåé îïòèìàëüíîé ñèñòåìû ñòàðøèõ ðàçìåðíîñòåé è äâèãàÿñü ê ìëàäøèì ðàçìåðíîñòÿì ìîäèôèöèðîâàòü ïîäàëãåáðûîïòèìàëüíîé ñèñòåìû òàê, ÷òîáû èõ íîðìàëèçàòîðû ïîïàäàëè â òó æå îïòèìàëüíóþ ñèñòåìó.Çàìå÷àíèå 5.
Ïðèâåäåííûé äâóõøàãîâûé àëãîðèòì ìîæíî èñïîëüçîâàòü íåñêîëüêî ðàç, íà êàæäîì øàãå êîìïîçèöèîííîãî ðÿäà (6.22), äîïóñêàþùåì ðàçëîæåíèå àëãåáðû L â ïîëóïðÿìóþ ñóììó èäåàëà è ïîäàëãåáðû.Ïðèìåð 35. Óðàâíåíèÿ ìåëêîé âîäûut + uux + hx = 0,ht + (uh)x = 0(6.24)äîïóñêàþò àëãåáðó Ëè L5 îïåðàòîðîâX1 = ∂x , X2 = ∂t , X3 = t∂x + ∂u ,X4 = t∂t + x∂x , X5 = x∂x + u∂u + 2h∂h .94(6.25)Òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü îïòèìàëüíóþ ñèñòåìó ïîäàëãåáð äëÿ äàííîé àëãåáðû Ëè L5 .Âû÷èñëèì òàáëèöó êîììóòàòîðîâX1X2X 3 X4 X 5000 X1 X 100X 1 X2 00 −X1 00 X3−X1 −X2 00 0−X1 0 −X3 0 0X1X2X3X4X5Îòìåòèì, ÷òî äàííàÿ àëãåáðà Ëè ÿâëÿåòñÿ ðàçðåøèìîé, ïîñêîëüêó DL = {X1 , X2 , X3 }, D2 L = {X1 }, D3 L = {0}.Êîìïîçèöèîííûé ðÿä èäåàëîâ ñ ìàêñèìàëüíûì ÷èñëîì ðàçëîæåíèé èìååò âèäL5 ⊃ {X1 , X2 , X3 , X4 } ⊃ {X1 , X2 , X3 } ⊃ {X1 , X2 } ⊃ {X1 } ⊃ {0}.Íà êàæäîì øàãå ýòîãî êîìïîçèöèîííîãî ðÿäà âîçìîæíî ðàçëîæåíèå L5 â ïîëóïðÿìóþ ñóììó èäåàëà è ïîäàëãåáðû.Ìàòðèöà ïðèñîåäèíåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ èìååò âèäad x = −x4 − x5 −x3 x20−x4 000 −x5000000x1x2000x10x300.Ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (6.21) çàäàþò áàçèñíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðóïïû âíóòðåííèõ àâòîìîðôèçìîâ:A1 (t1 ) :A2 (t2 ) :A3 (t3 ) :A4 (t4 ) :A5 (t5 ) :x̄1x̄1x̄1x̄1x̄1= x1 − t1 (x4 + x5 );= x1 − t2 x3 ,= x1 + t3 x2 ,= x1 exp(t4 ),= x1 exp(t5 ),95x̄2x̄3x̄2x̄3= x 2 − t2 x 4 ,= x 3 − t3 x 5 ;= x2 exp(t4 );= x3 exp(t5 ).Îòìåòèì, ÷òî àâòîìîðôèçìû äåéñòâóþò ¾ñïðàâà-íàëåâî¿, ò.å.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
