1626435102-9ccf6d0a03aed727d9bf8add4160ccd9 (844153), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Ðàíã ìíîãîîáðàçèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (3.17): ρ = 1 + 2 − 2 = 1.Òàêèì îáðàçîì, ìíîãîîáðàçèå M ÿâëÿåòñÿ ÷àñòè÷íî èíâàðèàíòíûì ìíîãîîáðàçèåì ãðóïïû G2 òèïà (1, 1).Ðàññìîòðèì ïîäãðóïïó G1 ⊂ G2 , ïîðîæäàåìóþ èíôèíèòåçèìàëüíûì îïåðàòîðîì X = X1 + X2 = y∂x − x∂y + v∂u −u∂v .
Äåéñòâèå îïåðàòîðà X íà ôóíêöèè ψ σ äàåò íóëè, ò.å. ìíîãîîáðàçèå M ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíûì ìíîãîîáðàçèåìãðóïïû G1 , ñëåäîâàòåëüíî δ 0 = 0. Äàëåå, èíâàðèàíòàìè ãðóïïû G1 ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèèj1 = x2 + y 2 ,j2 = u2 + v 2 ,j3 = xu + yv. ïðîñòðàíñòâå èíâàðèàíòîâ R3 (j1 , j2 , j3 ) ìíîãîîáðàçèå M çàäàåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìèM:Φ1 = j3 − j1 = 0,Φ2 = j32 − j2 = 0.Ïî ôîðìóëå (3.16) ðàíã ìíîãîîáðàçèÿ M, êàê èíâàðèàíòíîãî ìíîãîîáðàçèÿ ãðóïïû G1 ðàâåí ρ0 = 3 − 2 = 1.
Òàêèìîáðàçîì, ÷àñòè÷íî èíâàðèàíòíîå ìíîãîîáðàçèå M ãðóïïû G2 ðåäóöèðóåòñÿ ê èíâàðèàíòíîìó ìíîãîîáðàçèþ ãðóïïûG1 .533.6Çàäà÷è1. Âûÿñíèòü, îáðàçóþò ëè îïåðàòîðû X1 , . . . , Xr àëãåáðó Ëè Lr . Åñëè îáðàçóþò, íàéòè ïðåîáðàçîâàíèÿ, êîòîðûìèïîðîæäàåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùàÿ ãðóïïà Gr .(a) X1 = ∂t , X2 = ∂x , X3 = t∂x + ∂u , X4 = t∂t + x∂x , X5 = x∂x + u∂u + 2h∂h ;(b) X1 = ∂t , X2 = ∂x , X3 = 2t∂t + x∂x , X4 = 4t∂t − u∂u , X5 = x2 ∂x + xu∂u ;(c) X1 = ∂x + ∂p , X2 = ∂y + ∂q , X3 = y∂x − x∂y + q∂p − p∂q ;(d) X1 = t∂x + ∂u , X2 = t∂y + ∂v , X3 = ∂t ;(e) X1 = y∂x − x∂y + v∂u − u∂v , X2 = x∂x + y∂y + u∂u + v∂v ;(f) X1 = t∂x + ∂u , X2 = t∂y + ∂v , X3 = t2 ∂t + tx∂x + ty∂y + (x − tu)∂u + (y − tv)∂v ;(g) X1 = y∂x − x∂y + v∂u − u∂v , X2 = t2 ∂t + tx∂x + ty∂y + (x − tu)∂u + (y − tv)∂v ;(h) X1 = ∂t , X2 = ∂x , X3 = t∂x + ∂u , X4 = 2t∂t + x∂x − u∂u ,X5 = t2 ∂t + tx∂x + (x − tu)∂u .2.
Íàéòè èíâàðèàíòû ìíîãîïàðàìåòðè÷åñêèõ ãðóïï Ëè Lr îïåðàòîðîâ X1 , ..., Xr .(a) X1 = 2t∂t + x∂x , X2 = 2x∂x + u∂u ;(b) X1 = x∂x + y∂y + p∂p + q∂q , X2 = y∂x − x∂y + q∂p − p∂q ;(c) X1 = ∂x + ∂p , X2 = ∂y + ∂q , X3 = y∂x − x∂y + q∂p − p∂q ;(d) X1 = x∂x + y∂y + u∂u + v∂v , X2 = a∂t + y∂x − x∂y + v∂u − u∂v ;(e) X1 = ∂t , X2 = 2t∂t + x∂x + y∂y − c∂c − u∂u − v∂v ,X3 = t2 ∂t + tx∂x + ty∂y − tc∂c + (x − tu)∂u + (y − tv)∂v ;(f) X1 = y∂x − x∂y + v∂u − u∂v , X2 = x∂x + y∂y + u∂u + v∂v + c∂c ,X3 = (t2 + 1)∂t + tx∂x + ty∂y − tc∂c + (x − tu)∂u + (y − tv)∂v ;54(g) X1 = − sin(f t)∂x + (1 − cos(f t))∂y − f cos(f t)∂u + f sin(f t)∂v ,X2 = (1 − cos(f t))∂x + sin(f t)∂y + f sin(f t)∂u + f cos(f t)∂v ;(h) X1 = ∂t − f2 ∂θ ,X2 = cos(f t)∂t − f2 r sin(f t)∂r − f2 cos(f t)∂θ + f2 (U sin(f t) − f r cos(f t))∂U ++ f2 (V + f r) sin(f t)∂V + f h sin(f t)∂h ,X3 = sin(f t)∂t + f2 r cos(f t)∂r − f2 sin(f t)∂θ − f2 (U cos(f t) + f r sin(f t))∂U −− f2 (V + f r) cos(f t)∂V − f h cos(f t)∂h(f = const).3.
Ïîñòðîèòü ïðèìåð ïîëíîé ñèñòåìû îïåðàòîðîâ â R2 , íå ïîðîæäàþùèõ àëãåáðó Ëè.4. Âû÷èñëèòü ðàíã è äåôåêò ìíîãîîáðàçèÿ M îòíîñèòåëüíî ãðóïïû G, ïîðîæäàåìîé îïåðàòîðàìè Xα . Ïðîâåðèòü,èìååò ëè ìåñòî ðåäóêöèÿ ìíîãîîáðàçèÿ M. Îõàðàêòåðèçîâàòü îðáèòó ìíîãîîáðàçèÿ M.(a) M : ψ 1 =u+vx= 0, ψ 2 =y 2 +uvx2= 0,G : X1 = x∂x + y∂y , X2 = u∂u + v∂v ;(b) M : ψ 1 =yx+ 1 = 0, ψ 2 = u2 + v −xy=0G : X1 = x∂x + y∂y , X2 = ∂v ;(c) M : ψ 1 = arctg(y/x) − t = 0, ψ 2 =(x−y)u+(x+y)vx2 +y 2=0G : X1 = −y∂x + x∂y − v∂u + u∂v , X2 = ∂t , X3 = x∂x + y∂y + u∂u + v∂v ;(d) M : ψ 1 = (f t + 2θ)2 − (f r2 + 2V r)2 = 0, ψ 2 = f rU +f r2 sin(f t)1+cos(f t)=0G : X1 = ∂t − f2 ∂θ ,X2 = cos(f t)∂t − f2 r sin(f t)∂r − f2 cos(f t)∂θ + f2 (U sin(f t) − f r cos(f t))∂U ++ f2 (V + f r) sin(f t)∂V ,55X3 = sin(f t)∂t + f2 r cos(f t)∂r − f2 sin(f t)∂θ − f2 (U cos(f t) + f r sin(f t))∂U −− f2 (V + f r) cos(f t)∂V .4Àáñòðàêòíûå àëãåáðû Ëè4.1Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿÏóñòü L âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì R (èëè C), ñíàáæåííîå îïåðàöèåé êîììóòèðîâàíèÿ [·, ·], ò.å.
äëÿ ëþáûõX, Y ∈ L îïðåäåëåíî [X, Y ] ∈ L.Çàìêíóòîå îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè êîììóòèðîâàíèÿ [·, ·] âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî L íàçûâàåòñÿàëãåáðîé Ëè åñëè äëÿ ëþáûõ X, Y, Z ∈ L âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿÎïðåäåëåíèå 31.1. Áèëèíåéíîñòü: [c1 X + c2 Y, Z] = c1 [X, Z] + c2 [Y, Z], ∀ c1 , c2 ∈ R (èëè C).2. Àíòèñèììåòðè÷íîñòü: [X, Y ] = −[Y, X].3. Òîæäåñòâî ßêîáè: [X, Y ], Z + [Y, Z], X + [Z, X], Y = 0. êîíå÷íîìåðíîì ñëó÷àå ñóùåñòâóåò áàçèñ Lr = {X1 , .
. . , Xr }. Çäåñü è äàëåå {X1 , . . . , Xr } îáîçíà÷àåò ëèíåéíóþîáîëî÷êó óêàçàííûõ â ñêîáêàõ ýëåìåíòîâ. Àëãåáðà Ëè Lr ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ñâîåé òàáëèöåé êîììóòàòîðîâ:[Xi , Xj ] = Cijk Xk . Âåëè÷èíû Cijk ∈ R (èëè C) íàçûâàþòñÿ ñòðóêòóðíûìè êîíñòàíòàìè àëãåáðû Ëè Lr .
Ïðè ëèíåéíîéçàìåíå áàçèñà ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû èçìåíÿþòñÿ, êàê êîìïîíåíòû äâàæäû êîâàðèàíòíîãî è åäèíîæäû êîíòðàâàðèàíòíîãî òåíçîðà:mX i = ϕji Xj ; det ||ϕji || =6 0 ⇒ C p q ϕkm = Cikj ϕip ϕjq .(4.1)Äâå àëãåáðû Ëè îäèíàêîâîé ðàçìåðíîñòè, ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû êîòîðûõ ñâÿçàíû ðàâåíñòâàìè (4.1) ñ íåêîòîðîéjíåâûðîæäåííîé ïîñòîÿííîé ìàòðèöåé ||ϕi || ÿâëÿþòñÿ èçîìîðôíûìè. Àëãåáðà Ëè, âñå ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû êîòîðîéðàâíû íóëþ Cijk = 0 íàçûâàåòñÿ àáåëåâîé.
 àáåëåâîé àëãåáðå Ëè êîììóòàòîð ëþáûõ äâóõ ýëåìåíòîâ ðàâåí íóëþ.Êîììóòàíòîì äâóõ ïîäïðîñòðàíñòâ M, N ⊂ L àëãåáðû Ëè L íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî, ïîðîæäåííîå âñåìè âîçìîæíûìè êîììóòàòîðàìè: [M, N ] = {[X, Y ] |X ∈ M, Y ∈ N }.Îïðåäåëåíèå 32.56Ïîäàëãåáðîé àëãåáðû Ëè L íàçûâàåòñÿ åå âåêòîðíîå ïîäïðîñòðàíñòâî M , çàìêíóòîå îòíîñèòåëüíîîïåðàöèè êîììóòèðîâàíèÿ: [M, M ] ⊂ M .
Ïîäàëãåáðà N ⊂ L íàçûâàåòñÿ èäåàëîì åñëè [M, L] ⊂ M . Èäåàë N ⊂ Líàçûâàåòñÿ öåíòðîì àëãåáðû Ëè L åñëè [N, L] = {0}.Îïðåäåëåíèå 33.Êàæäàÿ àëãåáðà Ëè L âñåãäà ñîäåðæèò äâà òðèâèàëüíûõ èäåàëà: {0} è L.Èäåàë N ⊂ L íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííûì åñëè N 6= {0} è N 6= L. Íîðìàëèçàòîðîì ïîäàëãåáðûM â àëãåáðå Ëè L íàçûâàåòñÿ ìàêñèìàëüíàÿ ïî ðàçìåðíîñòè ïîäàëãåáðà N ⊂ L â êîòîðîé M ÿâëÿåòñÿ èäåàëîì.Èñïîëüçóåòñÿ îáîçíà÷åíèå N = Nor L M .Îïðåäåëåíèå 34.Íîðìàëèçàòîðîì èäåàëà ÿâëÿåòñÿ âñÿ àëãåáðà Ëè; åñëè íîðìàëèçàòîð ñîâïàäàåò ñ ñàìîé ïîäàëãåáðîé M = Nor L M ,ãîâîðÿò, ÷òî ïîäàëãåáðà ñàìîíîðìàëèçîâàíà â L.Îïðåäåëåíèå 35.Àëãåáðà Ëè íàçûâàåòñÿ ïðîñòîé åñëè îíà íå ñîäåðæèò ñîáñòâåííûõ èäåàëîâ.Ïðîèçâîäíîé DL àëãåáðû Ëè L íàçûâàåòñÿ êîììóòàíò àëãåáðû Ëè L ñ ñàìîé ñîáîé: DL = [L, L].Ñòàðøèå ïðîèçâîäíûå îïðåäåëÿþòñÿ ðåêóððåíòíî: Dk L = [Dk−1 L, Dk−1 L].
Âîçíèêàåò ðÿä ïðîèçâîäíûõ:Îïðåäåëåíèå 36.L ⊇ DL ⊇ D2 L ⊇ . . . ⊇ Dk L ⊇ . . .(4.2)Àëãåáðà Ëè L íàçûâàåòñÿ ðàçðåøèìîé åñëè ðÿä (4.2) ñòàáèëèçèðóåòñÿ íà íóëåâîé ïîäàëãåáðå, ò.å. ñóùåñòâóåò ÷èñëîk , äëÿ êîòîðîãî âûïîëíåíî Dk L = {0}.Àëãåáðà Ëè L íàçûâàåòñÿ ïîëóïðîñòîé åñëè îíà íå ñîäåðæèò ðàçðåøèìûõ èäåàëîâ. ÐàäèêàëîìR(L) àëãåáðû Ëè L íàçûâàåòñÿ åå ìàêñèìàëüíûé ïî ðàçìåðíîñòè ðàçðåøèìûé èäåàë.Îïðåäåëåíèå 37. ëþáîé àëãåáðå Ëè ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ðàäèêàë.Ïóñòü N èäåàë â L. Ýëåìåíòû X, Y ∈ L íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè X ∼ Y îòíîñèòåëüíîèäåàëà N åñëè X − Y ∈ N .Îïðåäåëåíèå 38.Ýòî òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîå îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè.
Ïî îòíîøåíèþ ê íåìó âñÿ àëãåáðà Ëè L ðàçáèâàåòñÿ íàêëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè. Îáîçíà÷èì èõ X , Y è ò.ä. Êàæäûé êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè õàðàêòåðèçóåòñÿ ñâîèì ïðåäñòàâèòåëåì: X = X + N , X ∈ X . Ìíîæåñòâî êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè îáðàçóåò àëãåáðó Ëè îòíîñèòåëüíî êîììóòàòîðà[X , Y] = [X + N, Y + N ] = [X, Y ] + N.57(4.3)Îïðåäåëåíèå 39.Àëãåáðà Ëè êëàññîâ ýêâèâàëåíòíîñòè íàçûâàåòñÿ ôàêòîðàëãåáðîé àëãåáðû Ëè L ïî èäåàëó N èîáîçíà÷àåòñÿ L/N .Ïðèìåð 23.
Ðàññìîòðèì êîíå÷íîìåðíóþ ÷àñòü ãðóïïû Ëè, äîïóñêàåìîé óðàâíåíèåì òåïëîïðîâîäíîñòè ut = uxx . Åéñîîòâåòñòâóåò øåñòèìåðíàÿ àëãåáðà Ëè L6 , ïîðîæäàåìàÿ îïåðàòîðàìè:1X1 = ∂x , X2 = ∂t , X3 = 2t∂t + x∂x − u∂u21X4 = 2t∂x − xu∂u , X5 = t2 ∂t + tx∂x − (x2 + 2t)u∂u , X6 = u∂u .4Òàáëèöà êîììóòàòîðîâ àëãåáðû L6 :X1X10X20X3X1X4−X6X2002X22X1X30X3−X1−2X20X42X50X4X6−2X1 −X4000X5 − 12 X4 −X3 −2X5000X6000000X 5 X6X4 012Ëþáîå îäíîìåðíîå ïîäïðîñòðàíñòâî L6 îáðàçóåò îäíîìåðíóþ àáåëåâó ïîäàëãåáðó. Äâóìåðíûìè ïîäàëãåáðàìè áóäóò,íàïðèìåð, ïîäàëãåáðû {X1 , X2 }, {X1 + X4 , X2 + X3 }.
Ïðè ýòîì,Nor L6 {X1 , X2 } = {X1 , X2 , X3 , X6 },Nor L6 {X1 + X4 , X2 + X3 } = {X1 + X4 , X2 + X3 , X6 }.Òðåõìåðíàÿ ïîäàëãåáðà {X1 , X4 , X6 } ÿâëÿþòñÿ èäåàëîì. Îíà æå ïîðîæäàåò ðàäèêàë R(L6 ) (äîêàçàòåëüñòâî ýòîãîôàêòà áóäåò ïðèâåäåíî ïîçæå). Îäíîìåðíàÿ ïîäàëãåáðà {X6 } ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì àëãåáðû Ëè L6 . Ïðîèçâîäíàÿ àëãåáðàDL ñîâïàäàåò ñ L ýòî îçíà÷àåò, ÷òî àëãåáðà L6 íå ÿâëÿåòñÿ ðàçðåøèìîé.  òî æå âðåìÿ èäåàë M = {X1 , X4 , X6 }ðàçðåøèì, ïîñêîëüêó DM = {X6 }, D2 M = {0}.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî L6 íå ÿâëÿåòñÿ íè ïðîñòîé íè ïîëóïðîñòîé.584.2Ñòðóêòóðíûå ñâîéñòâà àëãåáð ËèÏóñòü M, N ⊂ L. Ñóììîé ïîäïðîñòðàíñòâ íàçûâàåòñÿ ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà âñåâîçìîæíûõ ñóììýëåìåíòîâ èç îáîèõ ïîäïðîñòðàíñòâ: M + N = {X + Y | X ∈ M, Y ∈ N }. Åñëè M ∩ N = {0} è [M, N ] = {0}, òî ñóììà˙ N.íàçûâàåòñÿ ïðÿìîé: M ⊕ N .
Åñëè æå M ∩ N = {0}, íî [M, N ] 6= {0}, òî ñóììà íàçûâàåòñÿ ïîëóïðÿìîé: M ⊕Îïðåäåëåíèå 40.Òåîðåìà 16àëãåáðû N :(Ëåâè-Ìàëüöåâà). Ëþáàÿ àëãåáðà Ëè L ðàçëàãàåòñÿ â ïîëóïðÿìóþ ñóììó ðàäèêàëà R è ïîëóïðîñòîé˙ N.L = R⊕(4.4)Ïîëóïðîñòàÿ àëãåáðà N íàçûâàåòñÿ ôàêòîðîì Ëåâè.  îòëè÷èè îò ðàäèêàëà, ôàêòîð Ëåâè îïðåäåëåí íåîäíîçíà÷íî.Òåîðåìà 17.Âñÿêàÿ ïîëóïðîñòàÿ àëãåáðà Ëè L ðàçëàãàåòñÿ â ïðÿìóþ ñóììó ïðîñòûõ èäåàëîâN = N1 ⊕ N2 ⊕ . . . ⊕ Nk .˙ N , ãäåÏðèìåð 24. Ïðîäîëæàåì îáñóæäåíèå àëãåáðû Ëè L6 èç ïðèìåðà 23. Ðàçëîæåíèå Ëåâè èìååò âèä L6 = R ⊕R = {X1 , X4 , X6 }, à N = {X2 , X3 , X5 }.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
